@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: suites numériques
Niveau
Première S
Mots clé
suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\selectlanguage{francais}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: suites},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, suites, devoir corrigé}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\nwc{\Cnp}[2]{\lp\bgar{c}\!\!#1\!\!\\\!\!#2\!\!\enar\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
$u_{10}=u_0+10r=3+10\tm\dfrac52=28$. 
\enex

\bgex
$w_{n+1}-w_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^n}
=\dfrac1{2^n}\lp\dfrac{n+1}2-n\rp
=\dfrac1{2^n}\lp \dfrac{-n+1}2\rp
=\dfrac{-n+1}{2^{n+1}}$

On a $2^{n+1}>0$ pour tout entier $n$, 
et pour $n\geqslant1$, $-n+1\leqslant0$ 
et donc $\lp u_n\rp$ est décroissante dès que $n\geqslant1$. 
\enex

\bgex
$v_n=\dfrac{n+1}{2n+1}=f(n)$ avec la fonction 
$f:x\mapsto \dfrac{x+1}{2x+1}$. 

On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec 
$u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$ 
et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$. 

Ainsi, 
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
soit 
$f'(x)=\dfrac{1(2x+1)-(x+1)2}{(2x+1)^2}
=\dfrac{-1}{(2x+1)^2}<0$. 

Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\R_+$, 
et $(v_n)$ est strictement décroissante sur $\N$. 
\enex


\bgex
\bgen
\item $u_1=\dfrac12u_0+1=5$, 
  $u_2=\dfrac12u_1+1=\dfrac72$ 
  et $u_3=\dfrac12u_2+1=\dfrac{11}4$

\item 
  \bgen[a)]
  \item $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $\dfrac12>0$ 
    donc est strictement croissante sur $\R$. 
  \item Soit $M(x;y)\in\mathcal{C}_f\cap\mathcal{D}$, 
    alors $y=x=f(x)$ soit 
    $y=x=\dfrac12x+1\iff y=x=2$. 

    Il y a donc un unique point d'intersection $M(2;2)$. 
  \item 
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.2,-.2)(9.4,7)
 \psline{->}(-0.2,0)(9.2,0)
 \psline{->}(0,-0.2)(0,6.8)
 \psline(1,-0.1)(1,0.1)%
 \psline(-0.1,1)(0.1,1)%
 \rput[r](-0.2,1){1}%
 \rput(1,-0.3){1}%
 \rput(2,2){\large\bf$\tm$}\rput(1.9,2.2){$M$}
 % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
 %\newcommand{\f}[1]{3 #1 mul #1 1 sub mul 1 add}
\newcommand{\f}[1]{1 2 div #1 mul 1 add}
 % Et son tracer:
 \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{9}{\f{x}}
 % ainsi que le tracer de la droite y=x
 \psplot{-0.2}{6.6}{x}

 % Defintion de la fonction itérée:
 % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
 \newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
 }
 % Valeur initiale (u_0)
 \def\xinit{8}
 \def\nmax{4}

 % Initialisation pour u_0
 \psline[linestyle=dashed]
 (\xinit,0)
 (!\xinit\space\f{\xinit})
 (!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
 \rput(\xinit,-0.3){$u_0$}
 % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
 \multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed]
  (!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$}
 }
\end{pspicture}\]

  \enen

\item 
  \bgen[a)]
  \item $v_0=u_0-2=6$, $v_1=u_1-2=5-2=3$ 
    et $v_2=u_2-2=\dfrac72-2=\dfrac32$. 
  \item $v_{n+1}=u_{n+1}-2=\lp\dfrac12u_n+1\rp-2=\dfrac12u_n-1$ 
    
    or $v_n=u_n-2\iff u_n=v_n+2$ 
    et donc, $v_{n+1}=\dfrac12\lp v_n+2\rp-1=\dfrac12v_n$
  \item La suite $\lp v_n\rp$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac12$ 
    et de premier terme $v_0=6$ et donc, pour tout entier $n$, 
    $v_n=v_0q^n=6\tm\lp\dfrac12\rp^n=\dfrac3{2^{n-1}}$. 

    On déduit alors que $u_n=v_n+2=\dfrac3{2^{n-1}}+2$. 
  \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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