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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: suites numériques
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, suites, suites numériques, suite arithmétique, suite géométrique, sens de variation d'une suite, tude de fonction, suite définie par récurrence, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: suites},
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% Raccourcis diverses:
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\nwc{\Cnp}[2]{\lp\bgar{c}\!\!#1\!\!\\\!\!#2\!\!\enar\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
La suite $(u_n)$ est définie explicitement par 
$u_n=f(n)$ avec la fonction $f:x\mapsto\dfrac{3x-1}{2-5x}$ 
définie sur $\R\setminus\la\dfrac25\ra$. 

On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec 
$u(x)=3x-1$ donc $u'(x)=3$ 
et $v(x)=2-5x$ donc $v'(x)=-5$. 

On a alors 
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
soit 
$f'(x)=\dfrac{3(2-5x)-(3x-1)(-5)}{(2-5x)^2}
=\dfrac{1}{(2-5x)^2}$. 

Comme pour tout $x\not=\dfrac25$, on a 
$(2-5x)^2>0$, on a aussi $f'(x)>0$, 
et donc $f$ est strictement croissante sur 
$\Bigl]-\infty;\dfrac25\Bigr[$ et sur 
$\Bigl]\dfrac25;+\infty[$. 

La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante pour $n\geqslant 3$. 

\medskip
\textsl{Remarque: on ne sait pas si $(u_n)$ est croissante sur $\N$ 
tout entier. 
D'ailleurs ici, calculs faits, on s'aperçoit du contraire: 
$u_0=-\frac12>u_1=-\frac23$}
\enex


\bgex
Soit $q$ la raison de $(v_n)$ 
alors on a 
$v_4=q^2v_2\iff q^2=\dfrac{v_4}{v_2}=\dfrac{-162}{-18}=9$. \\
On en déduit que $q=3$ ou $q=-3$. 

On a alors soit
$v_3=qv_2=3\tm(-18)=-54$ 
et $v_5=qv_4=3\tm(-162)=-486$ 

ou $v_3=-3v_2=54$ et $v_5=-3v_4=486$. 
\enex

\bgex
On a, pour tout entier naturel $n$, 
$u_{n+1}-u_n=2u_n^2+u_n+3-u_n=2u_n^2+3$. 

Comme $u_n^2\geqslant0$, on a 
$u_{n+1}-u_n\geqslant3>0$, et ainsi, $(u_n)$ est strictement croissante. 
\enex


\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme 
$u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
\bgen
\item $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac53$ 
  et $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac{19}{9}$. 
\item On a $u_1-u_0=\dfrac23\not=u_2-u_1=\dfrac49$ 
  donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique. 

  De m\^eme, 
  $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac53\not=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{19}{15}$ 
  donc $(u_n)$ n'est pas géométrique non plus. 

\item On pose, pour tout entier naturel $n$, 
  $v_n=u_n-3$. 
  \bgen[a)]
  \item Pour tout entier $n$, 
    $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2=\dfrac23\lp u_n-3\rp
    =\dfrac23v_n$. 

    Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac23$ 
    et de premier terme $v_0=u_0-3=-2$. 

  \item On en déduit que, pour tout entier $n$,  
    $v_n=v_0q^n=-2\lp\dfrac23\rp^n$. 
  \item On obtient alors, $v_n=u_n-3\iff u_n=v_n+3=-2\lp\dfrac23\rp^n+3$. 
  \enen
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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