Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: suites},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
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\nwc{\Cnp}[2]{\lp\bgar{c}\!\!#1\!\!\\\!\!#2\!\!\enar\rp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
La suite $(u_n)$ est définie explicitement par
$u_n=f(n)$ avec la fonction $f:x\mapsto\dfrac{3x-1}{2-5x}$
définie sur $\R\setminus\la\dfrac25\ra$.
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec
$u(x)=3x-1$ donc $u'(x)=3$
et $v(x)=2-5x$ donc $v'(x)=-5$.
On a alors
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{3(2-5x)-(3x-1)(-5)}{(2-5x)^2}
=\dfrac{1}{(2-5x)^2}$.
Comme pour tout $x\not=\dfrac25$, on a
$(2-5x)^2>0$, on a aussi $f'(x)>0$,
et donc $f$ est strictement croissante sur
$\Bigl]-\infty;\dfrac25\Bigr[$ et sur
$\Bigl]\dfrac25;+\infty[$.
La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante pour $n\geqslant 3$.
\medskip
\textsl{Remarque: on ne sait pas si $(u_n)$ est croissante sur $\N$
tout entier.
D'ailleurs ici, calculs faits, on s'aperçoit du contraire:
$u_0=-\frac12>u_1=-\frac23$}
\enex
\bgex
Soit $q$ la raison de $(v_n)$
alors on a
$v_4=q^2v_2\iff q^2=\dfrac{v_4}{v_2}=\dfrac{-162}{-18}=9$. \\
On en déduit que $q=3$ ou $q=-3$.
On a alors soit
$v_3=qv_2=3\tm(-18)=-54$
et $v_5=qv_4=3\tm(-162)=-486$
ou $v_3=-3v_2=54$ et $v_5=-3v_4=486$.
\enex
\bgex
On a, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}-u_n=2u_n^2+u_n+3-u_n=2u_n^2+3$.
Comme $u_n^2\geqslant0$, on a
$u_{n+1}-u_n\geqslant3>0$, et ainsi, $(u_n)$ est strictement croissante.
\enex
\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme
$u_0=1$ et par la relation, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
\bgen
\item $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac53$
et $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac{19}{9}$.
\item On a $u_1-u_0=\dfrac23\not=u_2-u_1=\dfrac49$
donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
De m\^eme,
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac53\not=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{19}{15}$
donc $(u_n)$ n'est pas géométrique non plus.
\item On pose, pour tout entier naturel $n$,
$v_n=u_n-3$.
\bgen[a)]
\item Pour tout entier $n$,
$v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2=\dfrac23\lp u_n-3\rp
=\dfrac23v_n$.
Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac23$
et de premier terme $v_0=u_0-3=-2$.
\item On en déduit que, pour tout entier $n$,
$v_n=v_0q^n=-2\lp\dfrac23\rp^n$.
\item On obtient alors, $v_n=u_n-3\iff u_n=v_n+3=-2\lp\dfrac23\rp^n+3$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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