Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1STI2D: probabilités, loi binomiale},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: probabilités - Loi binomiale},
pdfkeywords={probabilités, loi binomiale}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Avec la calculatrice:
\bgen[a)]
\item $P\lp X=8\rp\simeq0,302 $.
\item $P\lp X\leqslant8\rp\simeq 0,6242$
\item $P\lp X>8\rp=1-P\lp X\leqslant8\rp\simeq0,3758$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item On a $P\lp X\geqslant \rp=1-P\lp X<0\rp=1-\dfrac14=\dfrac34$
\item L'espérance est
\[E(X)=
\dfrac14\tm(-2)+\dfrac13\tm1+\dfrac14\tm2+\dfrac1{12}\tm3+\dfrac1{12}\tm5
=\dfrac{12}{12}=1
\]
\item La variance est
\[\bgar{ll}V(X)&=
\dfrac14\tm(-2-1)^2+\dfrac13\tm(1-1)^2+\dfrac14\tm(2-1)^2+\dfrac1{12}\tm(3-1)^2+\dfrac1{12}\tm(5-1)^2\\[.8em]
&=\dfrac{9}{4}+0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{16}{12}\\[.8em]
&=\dfrac{50}{12}=\dfrac{25}{6}
\enar\]
L'écart type est alors
$\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{25}6}=\dfrac5{\sqrt6}\simeq2$
\enen
\enex
\bgex
Un avion a une capacité de 100 personnes.
On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet
ne se présente pas à l'embarquement est de 5\%.
\bgen
\item 100 billets, un par place, ont été vendus.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes
qui se présentent à l'embarquement.
\bgen[a)]
\item On répète $n=100$ fois l'épreuve de Bernoulli:
un client au hasard se présente ou non à l'embarquement,
dont le succès est S:"le client se présente" de probabilité 95\%=0,95.
La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès,
c'est-à-dire au nombre de personnes dans l'avion,
suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,95$.
\item La probabilité que l'avion soit plein est
$P\lp X=100\rp=0,95^{100}\simeq 0,0059\simeq0,59\%$.
L'avion a donc très peu de chance d'\^etre plein !
\item La probabilité pour qu'il reste au moins une place
libre dans cet avion est
$P\lp X<100\rp=1-P\lp X=100\rp\simeq 99,41\%$.
C'est l'événement contraire de la question précédente:
il y a de très fortes chances pour que l'avion ne soit pas plein !
\item La probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes
dans l'avion est, avec la calculatrice
$P\lp X<96\rp=P\lp X\leqslant 95\rp\simeq 0,564\simeq56\%$.
Il ya donc plus d'une chance sur deux pour qu'il y a it plus de 5 places
libres dans cet avion.
\enen
\item On reprend le raisonnement précédent, en notant $Y$ la variable
aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à
l'embarquement, et qui suit maintenant la loi binomiale de
paramètres $n=105$ et $p=0,95$.
La probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place
est la probabilité que moins de 100 personnes ne se présentent
à l'embarquement, soit
$P\lp Y\leqslant100\rp\simeq0,608$.
En vendant 5 billets supplémenaires
(c'est ce qu'on appelle du \textit{surbooking}), il a presque deux chances
sur trois pour que personne ne soit lésé en se retrouvant sans place dans
l'avion.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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