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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: probabilité, variable aléatoire et loi binomiale
Niveau
Première S
Table des matières
  • Calculs de probabilités pour la loi binomiale
  • Calculs de probabilité, epsérance et écart type d'une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée
  • Loi binomiale: probabilité de remplissge d'un avion et surbooking
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, loi binomiale, variable aléatoire, loi de porbabilité, espérance, écart type, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

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pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correigé du devoir de mathématiques en 1S: probabilités, loi binomiale},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques: probabilités - Loi binomiale},
    pdfkeywords={probabilités, loi binomiale}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}


\bgex 
Avec la calculatrice: 
\bgen[a)]
\item $P\lp X=7\rp\simeq0,2668 $. 
\item $P\lp X\leqslant7\rp\simeq 0,6172$
\item $P\lp X>7\rp=1-P\lp X\leqslant7\rp\simeq0,3828$. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item On a $P\lp X\geqslant \rp=1-P\lp X<0\rp=1-\dfrac14=\dfrac34$
\item L'espérance est 
  \[E(X)=
  \dfrac14\tm(-2)+\dfrac13\tm1+\dfrac14\tm2+\dfrac1{12}\tm3+\dfrac1{12}\tm5
  =\dfrac{12}{12}=1
  \]
\item La variance est 
  \[\bgar{ll}V(X)&=
  \dfrac14\tm(-2-1)^2+\dfrac13\tm(1-1)^2+\dfrac14\tm(2-1)^2+\dfrac1{12}\tm(3-1)^2+\dfrac1{12}\tm(5-1)^2\\[.8em]
  &=\dfrac{9}{4}+0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{16}{12}\\[.8em]
  &=\dfrac{50}{12}=\dfrac{25}{6}
  \enar\]
L'écart type est alors 
$\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{25}6}=\dfrac5{\sqrt6}\simeq2$
\enen
\enex

\bgex
Un avion a une capacité de 100 personnes. 
On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet 
ne se présente pas à l'embarquement est de 5\%. 

\bgen
\item 100 billets, un par place, ont été vendus. 

  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes 
  qui se présentent à l'embarquement. 

  \bgen[a)]
  \item On répète $n=100$ fois l'épreuve de Bernoulli: 
    un client au hasard se présente ou non à l'embarquement, 
    dont le succès est S:"le client se présente" de probabilité 95\%=0,95. 

    La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès, 
    c'est-à-dire au nombre de personnes dans l'avion, 
    suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,95$. 

  \item La probabilité que l'avion soit plein est 
    $P\lp X=100\rp=0,95^{100}\simeq 0,0059\simeq0,59\%$. 

    L'avion a donc très peu de chance d'\^etre plein !
  \item La probabilité pour qu'il reste des places 
    libres dans cet avion est 
    $P\lp X<100\rp=1-P\lp X=100\rp\simeq 99,41\%$. 

    C'est l'événement contraire de la question précédente: 
    il y a de très fortes chances pour que l'avion ne soit pas plein !

  \item La probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes 
    dans l'avion est, avec la calculatrice  
    $P\lp X<96\rp=P\lp X\leqslant 95\rp\simeq 0,564\simeq56\%$. 

    Il ya donc plus d'une chance sur deux pour qu'il y a it plus de 5 places 
    libres dans cet avion. 
  \enen

\item On reprend le raisonnement précédent, en notant $Y$ la variable 
  aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à 
  l'embarquement, et qui suit maintenant la loi binomiale de 
  paramètres $n=105$ et $p=0,95$. 
  
  La probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place 
  est la probabilité que moins de 100 personnes ne se présentent 
  à l'embarquement, soit 
  $P\lp Y\leqslant100\rp\simeq0,608$. 

  En vendant 5 billets supplémenaires 
  (c'est ce qu'on appelle du \textit{surbooking}), il a presque deux chances 
  sur trois pour que personne ne soit lésé en se retrouvant sans place dans 
  l'avion. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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