@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: produit scalaire et trigonométrie
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, trigonométrie, produit scalaire, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie et produit scalaire},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: trigonométrie et produit scalaire},
    pdfkeywords={Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, 
    cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
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    linkcolor = red,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Correction du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
On a 
$\V{AB}\lp 4;3\rp$, et $\V{AC}\lp -1;1\rp$, 
et donc, 
$\V{AB}\cdot\V{AC}=4\tm(-1)+3\tm(1)=-1$. 

On a aussi, 
$\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\tm AC\tm\cos\lp\V{AB},\V{AC}\rp$, 

avec, 
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$ 
et 
$AC=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$, 
d'o\`u 
$\cos\lp\V{AB},\V{AC}\rp=\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}$, 

et donc 
$\widehat{BAC}=\lp\V{AB},\V{AC}\rp=\cos^{-1}\lp\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}\rp
\simeq \cos^{-1}\lp -0,14\rp\simeq 98^\circ$.

\enex


\bgex
\bgen
\item Pour tout point $M$ on a 
  \[\bgar{ll}
  MA^2+MB^2
  &=\V{MA}^2+\V{MB}^2 \\[.5em]
  &=\lp\V{MI}+\V{IA}\rp^2+\lp\V{MI}+\V{IB}\rp^2\\[.7em]
  &=\lp\V{MI}+\V{IA}\rp^2+\lp\V{MI}-\V{IA}\rp^2
  \enar\]
  car $I$ est le milieu de $[AB]$ et donc $\V{IA}=-\V{IB}$. 
  On obtient alors, en developpant
  \[\bgar{ll}
  MA^2+MB^2
  &=MI^2+2\V{MI}\cdot\V{IA}+IA^2+MI^2-2\V{MI}\cdot\V{IA}+IA^2\\[.5em]
  &=2MI^2+2IA^2
  \enar\]
  Or $IA=\dfrac{AB}{2}=2$ d'où 
  $MA^2+MB^2=2MI^2+8$. 

\item $M\in\mathcal{E}\iff MA^2+MB^2=10\iff 2MI^2+8=10
  \iff MI^2=1 \iff MI=1$. 

  Ainsi, $\mathcal{E}$ est le cercle de centre $I$ et de rayon 1. 
\enen

\enex


\bgex
Dans $\R$, 
\[\bgar{ll}
\cos\lp2x\rp=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}
&\iff 
\la\bgar{ll}
2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi,\ k\in\Z \vspd\\
2x=-\dfrac{\pi}{3}+k'2\pi,\ k'\in\Z 
\enar\right. \\[2.8em]
&\iff 
\la\bgar{ll}
x=\dfrac\pi6+k\pi,\ k\in\Z \vspd\\
x=-\dfrac\pi6+k'\pi,\ k'\in\Z 
\enar\right.\,.\enar\]
Il y a donc 4 solutions dans $[0;2\pi[$, 
$\mathcal{S}=\la \dfrac\pi6;\dfrac{7\pi}{6}; 
    \dfrac{5\pi}{6}; \dfrac{11\pi}{6}\ra$

\enex


\bgex
On \'ecrit $(E)$ sous forme canonique: 
\[x^2+2x+y^2-3y-\dfrac{35}{4}=0
\iff
\lp x+1\rp^2+\lp y-\dfrac{3}{2}\rp^2=12\] 

Il s'agit donc d'une \'equation du cercle de centre 
$I\lp -1;\dfrac32\rp$ et de rayon $R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. 

\enex


\bgex
\bgen
\item $\vec{n}(1;1)$ et $\vec{u}(-1;1)$
\item Soit $C$ le milieu de $[AB]$, alors $C$ a pour coordonn\'ees 
  $C\lp\dfrac{2+1}{2};\dfrac{-1+3}{2}\rp$, 
  soit $C\lp\dfrac{3}{2};1\rp$. 

  On a alors 
  $M(x;y)\in T\iff \V{CM}\perp\V{AB}
  \iff\V{CM}\cdot\V{AB}=0$. 

  On a les coordonn\'ees des vecteurs: 
  $\V{CM}\lp x-\dfrac{3}{2};y-1\rp$ et 
  $\V{AB}(-1;4)$, 
  d'o\`u, 
  \[\V{CM}\cdot\V{AB}=0
  \iff \lp x-\dfrac{3}{2}\rp\tm(-1)+\lp y-1\rp\tm(4)=0
  \iff -x+4y-\dfrac{5}{2}=0\]
  La m\'ediatrice $T$ a donc pour \'equation: 
  $-x+4y-\dfrac{5}{2}=0$.
\enen

\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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