Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie et produit scalaire},
pdftitle={Devoir de mathématiques: trigonométrie et produit scalaire},
pdfkeywords={Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique,
cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\vspace{-.2em}
\bgex
Simplifier l'expression:
$A(x)
=\sin\lp-x\rp-\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp
+\cos\lp-x\rp
-\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp $
\enex
\bgex
R\'esoudre dans l'intervalle $]0;2\pi]$ l'\'equation
$\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\enex
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
Une machine \`a commande num\'erique fabrique des pi\`eces, dont celle
sch\'ematis\'ee ci-contre.
Lors du per\c cage des trous $B$ et $C$, la pi\`ece est plac\'ee dans un
rep\`ere orthonormal.
\vspd
On donne $A(5;15)$, $B(-9;41)$ et $C(21;10)$.
\bgen
\item Calculer les coordonn\'ees des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$,
puis les normes de ces vecteurs.
\item En calculant le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$ de
deux manières différentes,
déterminer une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au
dixi\`eme de degr\'e pr\`es.
\enen
\enex\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=.8cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(5,5)
\psline{->}(-3,0)(5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,5)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
%
\pscircle(-1.5,4){0.6}
\psline[linestyle=dashed](-2.4,4)(-0.6,4)
\psline[linestyle=dashed](-1.5,3.1)(-1.5,4.9)
\rput(-1.75,4.25){$B$}
%
\pscircle(3,1.3){0.6}
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.3)(3.9,1.3)
\psline[linestyle=dashed](3,0.4)(3,2.2)
\rput(3.25,1.55){$C$}
%
\psline[linestyle=dashed](0.5,1)(0.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](-0.4,1.8)(1.4,1.8)
\rput(0.75,2){$A$}
%
\pscurve[linewidth=1.6pt]%,showpoints=true]
(-3.2,4.)(-3,5.)(-1.5,5)
(-0.15,4)(-0.1,3.8)(-0.1,3)(-0.1,2.5)(-0.1,2.2)(0.2,1.8)
(1,1.5)(2,2)(3,2.2)(4.5,1)
(3,0.1)(2,0.)(0,0.)
(-0.5,0.1)(-1,0.5)(-1.5,1.5)
(-2,2.8)(-3,2.9)
(-3.2,4.)
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB=6$\,cm.
$I$ est le milieu du segment $[AB]$.
On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ tels que:
$\V{MA}\cdot\V{MB}=7$.
\bgen[a.]
\item D\'emontrer que $\V{MA}\cdot\V{MB}=MI^2-IA^2$.
\item En d\'eduire que $M$ appartient \`a $\mathcal{E}$ si et seulement
si: $MI^2=16$.
\item D\'eterminer alors l'ensemble $\mathcal{E}$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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