@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: produti scalaire et trigonométrie
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, trigonométrie, produit scalaire, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie et produit scalaire},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: trigonométrie et produit scalaire},
    pdfkeywords={Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, 
    cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}		% default=0pt (no line)
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Correction du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
$\bgar[t]{ll}
A(x)
&=\sin\lp-x\rp-\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp
+\cos\lp-x\rp
-\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp \vspd\\
&=-\sin(x)-\sin(x)+\cos(x)-\cos(x) \vspd\\
&=-2\sin(x)
\enar$
\enex

\bgex
    $\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}
    \iff
    \la\bgar{ll}
    x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\[0.3cm]
    x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi
    \enar\right.
    \quad,\quad k\in\Z
    $.
    
    Dans l'intervalle $]0;2\pi]$ les solutions sont donc, 
        $\mathcal{S}=\la \dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\ra$.
\enex




\bgex
\bgen
\item $\V{AB}\lp -14;26\rp$;\ $\V{AC}\lp 16;-5\rp$
\item $\|\V{AB}\|=AB=\sqrt{\lp-14\rp^2+26^2}\simeq 29,53$;\ 
  $\|\V{AC}\|=AC=\sqrt{16^2+\lp-5\rp^2}=16,76$

\item $\V{AB}\cdot\V{AC}=-14\tm16+26\tm(-5)=-354$

\item On a aussi, 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}
  =AB\tm AC\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
  \simeq 19,53\tm16,76\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
  \simeq 494,92\cos\lp\widehat{BAC}\rp
  $. 

  On en d\'eduit que 
  $\cos\lp\widehat{BAC}\rp\simeq \dfrac{-354}{494,92}$, 
  soit $\lp\widehat{BAC}\rp\simeq 135,7^\circ$
\enen

\enex

\bgex
  \bgen[a.]
  \item
    $\V{MA}\cdot\V{MB}
    =\lp\V{MI}+\V{IA}\rp\cdot\lp\V{MI}+\V{IB}\rp
    =MI^2+\V{MI}\cdot\lp \V{IA}+\V{IB}\rp+\V{IA}\cdot\V{IB}
    $

    or, $\V{IA}+\V{IB}=\V{O}$ car $I$ est le milieu de $[AB]$, 
    et de m\^eme $\V{IA}\cdot\V{IB}=\V{IA}\cdot\lp -\V{IA}\rp=-IA^2$. 

    On a donc bien ainsi, 
    $\V{MA}\cdot\V{MB}=MI^2-IA^2$. 

  \item On a alors, 
    $M\in\mathcal{E}
    \iff \V{MA}\cdot\V{MB}=7
    \iff MI^2-IA^2=7
    $
    or, $IA=\dfrac{AB}{2}=3$, d'o\`u $IA^2=9$, 
    et donc, 
    $M\in\mathcal{E}\iff MI^2=7+IA^2=16$. 
  \item $\mathcal{E}$ est donc le cercle de centre $I$ et de rayon
    $\sqrt{16}=4$. 
  \enen


\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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