@ccueil Colles

Source LaTeX icone DS-Trigonometrie-bis-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: trigonométrie
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={devoir corrigé, correction, 
      Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, 
      cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
$\sin\lp\dfrac{5\pi}{4}\rp
=\sin\lp\pi+\dfrac\pi4\rp
=-\sin\dfrac\pi4
=-\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\cos\lp-\dfrac{17\pi}{3}\rp
=\cos\lp-\dfrac{18\pi}{3}+\dfrac\pi3\rp
=\cos\lp-3\tm2\pi+\dfrac\pi3\rp
=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$
\enex


\bgex
Dans $\R$, on a, pour tout entier relatif $k$, 
\[\cos\lp3x+\dfrac{\pi}{3}\rp=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3
\iff
\la\bgar{l} 
3x+\dfrac\pi3=\dfrac\pi3+k2\pi\\[.5em]
3x+\dfrac\pi3=-\dfrac\pi3+k2\pi
\enar\right.
\iff 
\la\bgar{l} 
x=k\dfrac{2\pi}{3}\\[.5em]
x=-\dfrac{2\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}
\enar\right.
\] 
Et alors, dans $[0;\pi]$, on a les trois solutions: 
$\la 0; \dfrac{4\pi}{9}; \dfrac{2\pi}{3} \ra$. 
\enex

\bgex \[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
\rule[-.8em]{0em}{2.2em}
$x$ & $-\pi$ && $-\dfrac\pi2$ && $\dfrac\pi2$ && $\pi$ 
\\\hline
$\cos x$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb&$-$&\\\hline
\end{tabular}
\]
\enex


\bgex

\noindent
\bgmp{14cm}
\begin{enumerate}
\item $M$ est un point du cercle trigonométrique, 
  donc a pour coordonnées $\lp\cos\dfrac\pi6;\sin\dfrac\pi6\rp$, 
  soit $M\lp\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\rp$.
\item $N$ est sur l'axe des ordonnées, donc $N\lp 0;y_N\rp$. 
  On a donc $\V{IN}\lp -1;y_N\rp$. 

  Comme par ailleurs, $\V{IM}\lp\dfrac{\sqrt3}{2}-1;\dfrac12\rp$, 
  on a 
  \[\bgar{ll}
  N\in(IM)
  \iff -1\dfrac12-y_N\lp\dfrac{\sqrt3}{2}-1\rp=0\\
  \iff y_N=-\dfrac12\tm\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt3}{2}-1}
  =-\dfrac{1}{\sqrt3-2}=\sqrt3+2\enar\]
\item Comme $I$ et $M$ sont des points du cercle trigonométrique,\\
  on a $OI=OM=1$, et donc le triangle $OIM$ est isocèle en $0$. 

  On en déduit que 
  $\widehat{OIM}=\dfrac12\lp\pi-\dfrac\pi6\rp=\dfrac{5\pi}{12}$. 

  Enfin, dans le triangle rectangle $ONI$, 
  on a $\widehat{ONI}=\pi-\dfrac\pi2-\widehat{OIM}=\dfrac{\pi}{12}$. 
\item $IN^2=(-1)^2+\lp\sqrt3+2\rp^2=8+4\sqrt3=4\lp2+\sqrt3\rp$,\\
  et donc, $IN=2\sqrt{2+\sqrt3}$. 
  
\item Dans le triangle rectangle $ONI$, on a 
  \[\sin\widehat{ONI}=\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{OI}{IN}
  =\dfrac{1}{2\sqrt{2+\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}\]
\end{enumerate}
\enmp
\bgmp{4.5cm}
\[\psset{unit=1.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1.4,5)
\psline{->}(-1.1,0)(1.5,0)
\psline{->}(0,-1.2)(0,5)
\pscircle(0,0){1}
\rput(-.2,-.2){$O$}
\rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.1,.55){$M$}
\rput(1,0){$\bullet$}\rput(.85,-.2){$I$}
\rput(0,3.73){$\bullet$}\rput(.2,3.7){$N$}
\psplot{-.3}{1.3}{-3.73 x mul 3.73 add}
\end{pspicture}\]
\enmp
\enex
\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page