Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={devoir corrigé, correction,
Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique,
cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$\sin\lp\dfrac{5\pi}{4}\rp
=\sin\lp\pi+\dfrac\pi4\rp
=-\sin\dfrac\pi4
=-\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\cos\lp-\dfrac{17\pi}{3}\rp
=\cos\lp-\dfrac{18\pi}{3}+\dfrac\pi3\rp
=\cos\lp-3\tm2\pi+\dfrac\pi3\rp
=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$
\enex
\bgex
Dans $\R$, on a, pour tout entier relatif $k$,
\[\cos\lp3x+\dfrac{\pi}{3}\rp=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3
\iff
\la\bgar{l}
3x+\dfrac\pi3=\dfrac\pi3+k2\pi\\[.5em]
3x+\dfrac\pi3=-\dfrac\pi3+k2\pi
\enar\right.
\iff
\la\bgar{l}
x=k\dfrac{2\pi}{3}\\[.5em]
x=-\dfrac{2\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}
\enar\right.
\]
Et alors, dans $[0;\pi]$, on a les trois solutions:
$\la 0; \dfrac{4\pi}{9}; \dfrac{2\pi}{3} \ra$.
\enex
\bgex \[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
\rule[-.8em]{0em}{2.2em}
$x$ & $-\pi$ && $-\dfrac\pi2$ && $\dfrac\pi2$ && $\pi$
\\\hline
$\cos x$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb&$-$&\\\hline
\end{tabular}
\]
\enex
\bgex
\noindent
\bgmp{14cm}
\begin{enumerate}
\item $M$ est un point du cercle trigonométrique,
donc a pour coordonnées $\lp\cos\dfrac\pi6;\sin\dfrac\pi6\rp$,
soit $M\lp\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\rp$.
\item $N$ est sur l'axe des ordonnées, donc $N\lp 0;y_N\rp$.
On a donc $\V{IN}\lp -1;y_N\rp$.
Comme par ailleurs, $\V{IM}\lp\dfrac{\sqrt3}{2}-1;\dfrac12\rp$,
on a
\[\bgar{ll}
N\in(IM)
\iff -1\dfrac12-y_N\lp\dfrac{\sqrt3}{2}-1\rp=0\\
\iff y_N=-\dfrac12\tm\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt3}{2}-1}
=-\dfrac{1}{\sqrt3-2}=\sqrt3+2\enar\]
\item Comme $I$ et $M$ sont des points du cercle trigonométrique,\\
on a $OI=OM=1$, et donc le triangle $OIM$ est isocèle en $0$.
On en déduit que
$\widehat{OIM}=\dfrac12\lp\pi-\dfrac\pi6\rp=\dfrac{5\pi}{12}$.
Enfin, dans le triangle rectangle $ONI$,
on a $\widehat{ONI}=\pi-\dfrac\pi2-\widehat{OIM}=\dfrac{\pi}{12}$.
\item $IN^2=(-1)^2+\lp\sqrt3+2\rp^2=8+4\sqrt3=4\lp2+\sqrt3\rp$,\\
et donc, $IN=2\sqrt{2+\sqrt3}$.
\item Dans le triangle rectangle $ONI$, on a
\[\sin\widehat{ONI}=\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{OI}{IN}
=\dfrac{1}{2\sqrt{2+\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}\]
\end{enumerate}
\enmp
\bgmp{4.5cm}
\[\psset{unit=1.6cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1.4,5)
\psline{->}(-1.1,0)(1.5,0)
\psline{->}(0,-1.2)(0,5)
\pscircle(0,0){1}
\rput(-.2,-.2){$O$}
\rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.1,.55){$M$}
\rput(1,0){$\bullet$}\rput(.85,-.2){$I$}
\rput(0,3.73){$\bullet$}\rput(.2,3.7){$N$}
\psplot{-.3}{1.3}{-3.73 x mul 3.73 add}
\end{pspicture}\]
\enmp
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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