@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, première S: trigonométrie, équations et fonctions trigonométrique
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, dérivation, trigonométrie, cosinus, sinus, équation trigonométrique, dérivée, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, correction, corrigé, devoir, trigonométrie, cercle trigonométrique, 
    cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
\bgen
\item 
  $\bgar[t]{ll}
  A(x)
  &=\sin\lp-x\rp-\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp
  +\cos\lp-x\rp
  +\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp \vspd\\
  &=-\sin(x)-\sin(x)+\cos(x)+\cos(x) \vspd\\
  &=-2\sin(x)+2\cos(x)
  \enar$

\item 
  $\bgar[t]{ll}
  B(x)
  &=\sin\lp\pi-x\rp+\cos\lp\dfrac{\pi}{2}+x\rp\cos\lp3\pi-x\rp+\sin\lp\dfrac{\pi}{2}+x\rp \vspd\\
  &=\sin(x)-\sin(x)-\cos(x)+\cos(x) =0
  \enar$
\enen

\enex


\bgex

Dans $\R$, 
$\cos\lp2x\rp=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3
\iff 
\la\bgar{ll}
2x=\dfrac\pi3+k2\pi,\ k\in\Z \vspd\\
2x=-\dfrac\pi3+k'2\pi,\ k'\in\Z 
\enar\right.
\iff 
\la\bgar{ll}
x=\dfrac\pi6+k\pi,\ k\in\Z \vspd\\
x=-\dfrac\pi6+k'\pi,\ k'\in\Z 
\enar\right.\,.
$

\vspd
Il y a donc 4 solutions dans $]-\pi;\pi[$: 
$\la -\dfrac{5\pi}{6} ; 
-\dfrac\pi6 ; 
\dfrac\pi6 
\dfrac{5\pi}{6}
\ra$
\enex

\bgex
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\R$: \\[.4em]
$f=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\sin(x)$ 
donc $v'(x)=\cos(x)$, 
et alors $f'=u'v+uv'$, soit  
$f'(x)=\sin(x)+x\cos(x)$. 

\medskip

$g=\cos(u)$ avec $u(x)=3x+\dfrac\pi5$ donc $u'(x)=3$ 
et alors $g'=-u'\sin(u)$ 
soit $g'(x)=-3\sin\lp3x+\dfrac\pi5\rp$. 

\medskip
$h=\dfrac{u}{v}$ 
avec $u(x)=\cos(x)$ donc $u'x)=-\sin(x)$ 
et $v(x)=2+\sin(x)$ donc $v'(x)=\cos(x)$, 
et alors 
$h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
soit 
$h'(x)=\dfrac{-\sin(x)(2+\sin(x))-\cos(x)\cos(x)}{\lp2+\cos(x)\rp^2}
=\dfrac{-2\sin(x)-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\lp2+\cos(x)\rp^2}
=\dfrac{-2\sin(x)-1}{\lp2+\cos(x)\rp^2}$
\enex




\bgex
\bgen
\item $P(1)=2\tm1^3-17\tm1^2+7\tm1+8=0$, et donc $1$ est bien une
  racine de $P$. 
  
  On en d\'eduit que $P$ se factorise selon 
  $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$, 
  d'o\`u, en identifiant les coefficients:  
  $\la\bgar{ll}
  a=2 \\
  -a+b=-17 \\
  -b+c=7 \\
  -c=8
  \enar\right.
  \iff
  \la\bgar{ll}
  a=2 \\
  b=-15 \\
  c=-8
  \enar\right.$

  Ainsi, le polyn\^ome $P$ se factorise suivant: 
  $P(x)=(x-1)(2x^2-15x-8)$. 
\item L'\'equation s'\'ecrit, en utilisant le polyn\^ome $P$ pr\'ec\'edent: 
  $P(\sin x)=0$. 

  On recherche donc les racines de $P$. 

  $P(x)=0\iff (x-1)(2x^2-15x-8)=0$. 
  Le discriminant du trin\^ome du second degr\'e est 
  $\Delta=(-15)^2-4\tm2\tm(-8)=289=17^2>0$. 
  Ce trin\^ome admet donc deux racines distinctes: 
  $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=8$. 

  Le polyn\^ome $P$ admet donc 3 racines: 
  $x_0=1$, $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_3=8$. 

  \vspd
  Les solutions de l'\'equation sont donc les valeurs de $x$ telles que 

  \bgit
  \item[$\bullet$] $\sin x = x_0=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$  
  \item[$\bullet$] 
    $\sin x = x_1=-\dfrac{1}{2}=\sin\lp-\dfrac{\pi}{6}\rp
    \iff x=-\dfrac{\pi}{6} +k2\pi$ 
    ou $x=\pi-\lp-\dfrac{\pi}{6}\rp+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$. 
  \item[$\bullet$] $\sin x = x_3=8$: impossible, car pour tout $x$,
    $\sin x<1$. 
  \enit

  Les solutions de l'\'equation sont donc, 
  $\mathcal{S}
  =\la \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\ ;\ 
  -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\ ;\ 
  \dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\ ;\ 
  k\in\Z
  \ra$
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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