Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, correction, corrigé, devoir, trigonométrie, cercle trigonométrique,
cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
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\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item
$\bgar[t]{ll}
A(x)
&=\sin\lp-x\rp-\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp
+\cos\lp-x\rp
+\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp \vspd\\
&=-\sin(x)-\sin(x)+\cos(x)+\cos(x) \vspd\\
&=-2\sin(x)+2\cos(x)
\enar$
\item
$\bgar[t]{ll}
B(x)
&=\sin\lp\pi-x\rp+\cos\lp\dfrac{\pi}{2}+x\rp\cos\lp3\pi-x\rp+\sin\lp\dfrac{\pi}{2}+x\rp \vspd\\
&=\sin(x)-\sin(x)-\cos(x)+\cos(x) =0
\enar$
\enen
\enex
\bgex
Dans $\R$,
$\cos\lp2x\rp=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3
\iff
\la\bgar{ll}
2x=\dfrac\pi3+k2\pi,\ k\in\Z \vspd\\
2x=-\dfrac\pi3+k'2\pi,\ k'\in\Z
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
x=\dfrac\pi6+k\pi,\ k\in\Z \vspd\\
x=-\dfrac\pi6+k'\pi,\ k'\in\Z
\enar\right.\,.
$
\vspd
Il y a donc 4 solutions dans $]-\pi;\pi[$:
$\la -\dfrac{5\pi}{6} ;
-\dfrac\pi6 ;
\dfrac\pi6
\dfrac{5\pi}{6}
\ra$
\enex
\bgex
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\R$: \\[.4em]
$f=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\sin(x)$
donc $v'(x)=\cos(x)$,
et alors $f'=u'v+uv'$, soit
$f'(x)=\sin(x)+x\cos(x)$.
\medskip
$g=\cos(u)$ avec $u(x)=3x+\dfrac\pi5$ donc $u'(x)=3$
et alors $g'=-u'\sin(u)$
soit $g'(x)=-3\sin\lp3x+\dfrac\pi5\rp$.
\medskip
$h=\dfrac{u}{v}$
avec $u(x)=\cos(x)$ donc $u'x)=-\sin(x)$
et $v(x)=2+\sin(x)$ donc $v'(x)=\cos(x)$,
et alors
$h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$h'(x)=\dfrac{-\sin(x)(2+\sin(x))-\cos(x)\cos(x)}{\lp2+\cos(x)\rp^2}
=\dfrac{-2\sin(x)-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\lp2+\cos(x)\rp^2}
=\dfrac{-2\sin(x)-1}{\lp2+\cos(x)\rp^2}$
\enex
\bgex
\bgen
\item $P(1)=2\tm1^3-17\tm1^2+7\tm1+8=0$, et donc $1$ est bien une
racine de $P$.
On en d\'eduit que $P$ se factorise selon
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$,
d'o\`u, en identifiant les coefficients:
$\la\bgar{ll}
a=2 \\
-a+b=-17 \\
-b+c=7 \\
-c=8
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
a=2 \\
b=-15 \\
c=-8
\enar\right.$
Ainsi, le polyn\^ome $P$ se factorise suivant:
$P(x)=(x-1)(2x^2-15x-8)$.
\item L'\'equation s'\'ecrit, en utilisant le polyn\^ome $P$ pr\'ec\'edent:
$P(\sin x)=0$.
On recherche donc les racines de $P$.
$P(x)=0\iff (x-1)(2x^2-15x-8)=0$.
Le discriminant du trin\^ome du second degr\'e est
$\Delta=(-15)^2-4\tm2\tm(-8)=289=17^2>0$.
Ce trin\^ome admet donc deux racines distinctes:
$x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=8$.
Le polyn\^ome $P$ admet donc 3 racines:
$x_0=1$, $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_3=8$.
\vspd
Les solutions de l'\'equation sont donc les valeurs de $x$ telles que
\bgit
\item[$\bullet$] $\sin x = x_0=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
\item[$\bullet$]
$\sin x = x_1=-\dfrac{1}{2}=\sin\lp-\dfrac{\pi}{6}\rp
\iff x=-\dfrac{\pi}{6} +k2\pi$
ou $x=\pi-\lp-\dfrac{\pi}{6}\rp+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$.
\item[$\bullet$] $\sin x = x_3=8$: impossible, car pour tout $x$,
$\sin x<1$.
\enit
Les solutions de l'\'equation sont donc,
$\mathcal{S}
=\la \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\ ;\
-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\ ;\
\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\ ;\
k\in\Z
\ra$
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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