@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: trigonométrie
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1S: trigonométrie},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, trigonométrie, cercle trigonométrique, 
    cosinus, sinus, valeurs remarquables, angles associés}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}		% default=0pt (no line)
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
$\cos\dfrac{7\pi}{3}=\cos\lp\dfrac{6\pi}{3}+\dfrac\pi3\rp
=\cos\lp2\pi+\dfrac\pi3\rp
=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$ 
 
$\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\lp\pi-\dfrac\pi6\rp
=\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$
%$\sin\dfrac{5\pi}{4}=\sin\lp\pi+\dfrac\pi4\rp
%=-\cos\dfrac\pi4=-\dfrac{\sqrt2}{2}$

\enex

\bgex
\[\cos\lp2x+\dfrac\pi3\rp=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3
\iff
\la\bgar{l}
2x+\dfrac\pi3=\dfrac\pi3+k2\pi\\[.8em]
2x+\dfrac\pi3=-\dfrac\pi3+k2\pi
\enar\right., k\in\Z
\iff
\la\bgar{l}
x=k\pi\\[.8em]
x=-\dfrac\pi3+k\pi
\enar\right., k\in\Z
\]
Dans $[0;2\pi[$, l'ensemble des solutions est 
$\mathcal{S}=\la 0;\dfrac{2\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\ra$ 
\enex

\bgex
\`A l'aide du cercle trigonométrique, 
on trouve 
$\cos(x)\geqslant\dfrac{\sqrt2}{2}
\iff x\in\lb-\dfrac\pi4;\dfrac\pi4\rb$.
\[\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
  \pscircle(0,0){1}
  \psline(-1.1,0)(1.1,0)
  \psline(0,-1.1)(0,1.1)
  \psline[linestyle=dashed](.707,-.707)(.707,.707)
  \rput(0.6,-.2){$\frac{\sqrt2}{2}$}
  \psarc[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0){1}{-45}{45}
  \psline(0,0)(1,-1)\rput(1.4,.5){$\dfrac\pi4$}
  \psarc[arrowsize=7pt]{<-}(0,0){1.3}{-45}{-1}
  \psline(0,0)(1,1)\rput(1.4,-.5){$-\dfrac\pi4$}
  \psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0){1.3}{1}{45}
\end{pspicture}\]
\enex



\bgex
\[\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-.2,-.25)(1.2,1.2)
  \pscircle(0,0){1}
  \psline(-1.2,0)(1.2,0)
  \psline(0,-1.2)(0,1.2)
  \rput(-.1,-.15){$O$}
  \rput(1,0){$\bullet$}\rput(1.1,-.15){$I$}
  \rput(0.85,0.5){$\bullet$}\rput(1,.7){$A$}
  \psline(1,0)(.85,.5)
  \rput(.925,.25){$\bullet$}\rput(1.1,.3){$B$}
\end{pspicture*}\]
\enex
\bgen
\item $A\lp\cos\dfrac\pi6;\sin\dfrac\pi6\rp$, 
  soit $A\lp\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\rp$ 
  et $B\lp\dfrac{x_I+x_A}{2};\dfrac{y_I+y_A}{2}\rp$, 
  soit $B\lp\dfrac{2+\sqrt3}{4};\dfrac14\rp$. 
\item $OB^2=\lp\dfrac{2+\sqrt3}{4}\rp^2+\lp\dfrac14\rp^2
  =\dfrac{8+4\sqrt3}{16}=\dfrac{2+\sqrt3}{4}$ 
  et donc 
  $OB=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$.

\item Le triangle $OAI$ est isocèle en $O$, car $A$ et $I$ étant des 
  points du cercle on a $OA=OI=1$. 

  Ainsi, $(OB)$ est la médiane issue de $A$ dans $OAI$, 
  mais aussi la bissectrice et la hauteur. 

  Le triangle $OBI$ est donc rectangle en $B$. 
\item D'après ce qui précède, 
  $\lp\V{OI},\V{OB}\rp=\dfrac12\lp\V{OI},\V{OA}\rp=\dfrac{\pi}{12}$
\item Dans le triangle rectangle $OBI$ on a alors 
  $\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\widehat{IOB}=\dfrac{OB}{OI}$, 
  et comme $OI=1$, on obtient 
  $\cos\dfrac{\pi}{12}=OB
  =\sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$.
\enen

\label{LastPage}
\end{document}

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