Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1cm}
%\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
{\Large Devoir surveill�}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.8cm}
\bgex Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec
$a\not=0$.
Montrer que si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors la courbe
repr�sentative de la fonction $f$ coupe exactement deux fois l'axe des
abscisses.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par $f(x)=9x^2+3x+1$.
On note $\mathcal{P}$ la parabole repr�sentant graphiquement $f$ dans
un rep�re.
\vspd
\bgit
\item[1)] Pour $p$ un nombre r�el, on note $(\mathcal{D}_p)$ la droite
d'�quation $y=x+p$.
\vsp
Pour quelles valeurs de $p$ la droite $(\mathcal{D}_p)$ coupe-t-elle
la parabole en un seul point ? en deux points disctincts ?
\vspd
\item[2)] Pour $m$ un nombre r�el, on note $(\Delta_m)$ la droite
d'�quation $y=mx$.
\vsp
Pour quelles valeurs de $m$ la droite $(\Delta_p)$ coupe-t-elle la
parabole en un unique point ?
\enit
\enex
\bgex Dans le plan orient�, $ABC$ est un triangle rectangle isoc�le en
$A$ tel que $\dsp (\V{CA},\V{CB})=\frac{\pi}{4}$.
$M$ est un point de $(AB)$, $N$ est le sym�trique de $M$ par rapport �
$(AC)$ et $P$ celui de $N$ par rapport � $(BC)$.
On souhaite d�montrer que le triangle $CMP$ est rectangle isoc�le.
\vspd
\bgit
\item[1)] Justifier les �galit�s $(\V{CM},\V{CA})=(\V{CA},\V{CN})$ et
$(\V{CB},\V{CP})=(\V{CN},\V{CB})$.
\vspd
\item[2)] D�terminer une mesure de l'angle $(\V{CM},\V{CP})$.
Conclure.
\enit
\enex
\bgex
\parbox{11.5cm}{
$ABCDE$ est un pentagone r�gulier inscrit dans un cercle
trigonom�trique $\mathcal{C}$ de centre $O$.
\vspd
\bgit
\item[1)] Indiquer les mesures des angles :
\[ \lp \V{OA},\V{OB}\rp \ ,\
\lp \V{OA},\V{OC}\rp \ ,\
\lp \V{OA},\V{OD}\rp \ ,\
\lp \V{OA},\V{OE}\rp \, .
\]
\vspd
\item[2)] Quelles sont les coordonn�es des points $A$, $B$, $C$, $D$
et $E$ ?
\vspd
\item[3)] Montrer la relation \
$\dsp \V{OB}+\V{OE}=2\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp\V{OA}$.
On admettra de m�me la relation
$\dsp \V{OC}+\V{OD}=2\cos\lp\frac{4\pi}{5}\rp\V{OA}$.
\enit
}
\hspace{0.4cm}
\parbox{6cm}{
\psset{unit=2.5cm}%{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psline[linewidth=0.6pt](-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=0.6pt](0,-1.2)(0,1.2)
\pscircle(0,0){1}
\psline[linewidth=0.6pt](0.31,0.95)(1,0)
\psline[linewidth=0.6pt](0.31,-0.95)(1,0)
\psline[linewidth=0.6pt](0.31,0.95)(-0.81,0.59)
\psline[linewidth=0.6pt](0.31,-0.95)(-0.81,-0.59)
\psline[linewidth=0.6pt](-0.81,-0.59)(-0.81,0.59)
\put(-0.14,-0.14){$O$}
\put(1.1,0.1){$A$}
\put(0.31,1){$B$}
\put(-0.88,0.7){$C$}
\put(-0.88,-0.75){$D$}
\put(0.31,-1.1){$E$}
\end{pspicture}
}
\enex
\bgit
\item[4)] $ABCDE$ �tant un pentagone r�gulier, on a (cette relation
vectorielle n'est pas � d�montrer):
\[\V{OA}+\V{OB}+\V{OC}+\V{OD}+\V{OE}=\V{0}\,.
\]
\vsp
En d�duire alors une relation reliant $\dsp\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp$ et
$\dsp\cos\lp\frac{4\pi}{5}\rp$.
\vspd
\item[5)] On admet la formule de duplication :
pour tout nombre r�el $a$, $\cos(2a)=2\lp\cos(2a)\rp^2-1$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer que $\dsp\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp$ est solution de
l'�quation : $4x^2+2x-1=0$.
\vspd
\item[b)] En d�duire la valeur de $\dsp\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp$.
\enit
\enit
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $I=]1;+\infty[$ par
l'expression : \ $\dsp f(x)=\frac{-x^2+2x+1}{x-1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe repr�sentative de $f$ dans un
rep�re.
\vspd
\bgit
\item[1)] D�terminer les r�els $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout
$x\in I$,
$\dsp f(x)=\alpha x+\beta + \frac{2}{x-1}$
\vspd
\item[2)]
Donner le sens de variation de la fonction $f$.
\vspd
\item[3)] On consid�re la droite $(\Delta)$ d'�quation $y=-x+1$.
Pour $x\in I$, on note $P$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
$x$, et $Q$ le point de $(\Delta)$ d'abscisse $x$.
\bgit
\item[a)] D�terminer, en fonction de $x$, la distance alg�brique $PQ$.
\vspd
\item[b)] Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de
la droite $(\Delta)$ ?
\vspd
\item[c)] Que peut-on dire de la distance $PQ$ lorsque $x$ devient
(tr�s) grand ?
\enit
\vspd
\item[4)] Repr�senter l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enit
\enex
\end{document}
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