Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\topmargin=-1.cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir commun de math�matiques}}
\vspd\vspd
\bgmp{10cm}
\bgex
On donne ci-contre une partie de la courbe $\mathcal{C}_f$
repr�sentant une fonction $f$ d�finie et d�rivable sur $\R$.
La droite $\Delta$ est tangente � $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse
$1$.
La tangente � $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$ est parall�le �
l'axe des abscisses.
\vspd
\bgit
\item[1.] Par lecture graphique, donner sans justifier:
\bgit
\item[a)] $f(0)$, $(f(1)$, $f'(1)$, $f'(2)$
\vspd
\item[b)] Le tableau de variation de $f$.
\enit
\vspd
\item[2.] Soit $h$ la fonction d�finie par $h(x)=\lb f(x)\rb^2$.
\bgit
\item[a)] Exprimer $h'(x)$ en fonction de $f(x)$ et de $f'(x)$.
\vspd
\item[b)] Etudier le signe de $h'(x)$ sur $[0;2]$ et en d�duire les
variations de $h$.
\enit
\enit
\enex
\enmp
\hspace{0.4cm}
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(5,5.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.3,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3.3)(0,5.3)
\multido{\i=-2+1}{7}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,5.2)
\rput(\i,-0.2){\i}
}
\multido{\i=-3+1}{9}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.4,\i)(4.2,\i)
\rput(-0.3,\i){\i}
}
%\pscurve(-1,-1)(0,1)(1,0)(2,-1)(3,1)
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.4pt]{-1.4}{3.65}{
0.5 x mul x mul x mul
-1.5 x mul x mul add
1 add
}
\rput(-1.6,-2.5){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[linewidth=1pt]{-2.5}{3.2}{-1.5 x mul 1.5 add}
\rput(-1.6,4.6){$\Delta$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie par l'expression:
$\dsp f(x)=\frac{2x^2-4x-2}{-x^2+4x+5}$.
\vspd
\bgit
\item[a.] Donner l'ensemble de d�finition de $f$.
\vspd
\item[b.] R�soudre l'�quation $f(x)=0$.
\vspd
\item[c.] R�soudre l'�quation $f(x)>0$.
\vspd
\item[d.] R�soudre l'�quation $f(x)=-2$.
\enit
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re
$(O;\vec{i},\vec{j})$.
\vspd
\bgit
\item[1.]{it Etude d'une fonction auxiliaire}
On pose $g(x)=x^3-3x-4$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Etudier le sens de variaiton de $g$ et ses limites en
$+\infty$ et $-\infty$.
\vspd
\item[b)] Montrer que l'�quation $g(x)=0$ admet une unique solution
not�e $\alpha$.
\vspd
\item[c)] Donner un encadrement de $\alpha$ � 0,1 pr�s.
\vspd
\item[d)] En d�duire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\enit
\vspt
\item[2.] {\it Etude des variations de $f$}
\bgit
\item[a)] D�terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\vspd
\item[b)] D�terminer les limites de $f$ en $-1$ et $1$.
Pr�ciser les �ventuelles asymptotes.
\vspd
\item[c)] Montrer que $\dsp f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-1)^2}$, et en d�duire
le tableau de variation de $f$.
\enit
\vspt
\item[3.] {\it Asymptote oblique}
\bgit
\item[a)] Montrer qu'il existe des r�els $a$, $b$ et $c$ tels que
$\dsp f(x)ax+b+\frac{cx+d}{x^2-1}$.
\vspd
\item[b)] En d�duire que $f$ admet une asymptote oblique
d'�quation $y=x+2$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\enit
\vspt
\item[4.] {\it Tangente}
D�terminer l'�quation de la tagente $(T)$ � $\mathcal{C}_f$ au point
d'abscisse 2.
\enit
\enex
\bgex
Le plan est rapport� � un rep�re orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$.
On consd�re les points $A(2;1)$, $B(1;-1)$ et $C(-1;3)$.
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] D�terminer les produits scalaires
$\V{AB}\cdot\V{AC}$, $\V{BA}\cdot\V{BC}$ et $\V{CA}\cdot\V{CB}$.
\item[b)] D�terminer une valeur approch�e en degr� de l'angle
$\widehat{ABC}$.
\enit
\item[2.] D�terminer une �quation de la hauteur issue de $A$ dans le
triangle $ABC$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $ABCD$ un rectangle, $I$ le milieu de $[AB]$
et $E$ le centre de gravit� du triangle $ABC$.
\vspd
\bgit
\item[1)] Construire le barycentre $F$ de $(C;1)$ et $(D,3)$.
\vspd
\item[2)] Soit $G$ le barycentre de
$(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et $(D,3)$.
Montrer que $G$ est le milieu de $[ED]$.
\vspd
\item[3)] Montrer que $G$ appartient � la droite $(IF)$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $ABC$ un triangle.
\vspd
\bgit
\item[1)] Justifier qu'il existe un point $G$ unique du plan tel que :
$\V{GA}+2\V{GB}-\V{GC}=\V{0}$.
Soit $I$ le barycentre des points pond�r�s $(B;2)$ et $(C;-1)$.
Construire en justifiant le point $I$ puis le point $G$.
\vspd
\item[2)] Soit $M$ un point quelconque du plan.
\bgit
\item[a)] Exprimer le vecteur $\V{MA}+\V{MB}-\V{MC}$ en fonction du
vecteur $\V{MG}$.
\item[b)] Justifier que le vecteur $-\V{MA}+\V{MB}-\V{MC}$ est un
vecteur ind�pendant de $M$ que l'on d�terminera et que l'on
exprimera le plus simplement possible (en utilisant les points
d�j� d�finis).
\vspd
\enit
\item[3)] Quel est l'ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que
$\|\V{MA}+\V{MB}-\V{MC}\|=\|-\V{MA}+\V{MB}-\V{MC}\| $.
\enit
\enex
\end{document}
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