Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques en Première S


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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir commun de mathématiques, première S: nombre dérivée et fonction dérivée, étude de fonction - Second degré et équation et inéquation quotient. Étude d'une fonction rationnelle à l'aide d'une fonction auxiliaire polynomiale de degré 3. Résolution approchée d'une équation (TVI). Géométrie analytique et vecteurs.
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, dérivabilité en un point, nombre dérivé, fonction dérivée, taux d'accroissement, sens de variation, variation, intersection de deux courbes
Voir aussi:

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Source Latex de la correction du devoir

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=27.2cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-2cm
\topmargin=-2.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}


%\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Correction du devoir commun de math�matiques}}


\bgex
\bgit
\item[1.] Le discriminant de ce trin�me du second degr� est 
  $\Delta=3^2-4\tm2\tm1=1>0$. 
  L'�quation admet donc deux solutions r�elles distinctes: 
  $\dsp x_1=\frac{-3-1}{2\tm2}=-1$ et 
  $\dsp x_1=\frac{-3+1}{2\tm2}=-\frac{1}{2}$, 
  soit la \ul{r�ponse $c$}.
  \vsp
\item[2.] $f(x)$ est d�fini pour des valeurs de $x$ 
  telles que $-x^2+4x+5\geq 0$. 

  Le discriminant de ce trin�me du second degr� est 
  $\Delta=4^2-4\tm(-1)\tm5=36=6^2>0$. 
  Ce trin�me admet donc deux racines r�elles distinctes: 
  $\dsp x_1=\frac{-4-6}{2\tm(-1)}=5$ et 
  $\dsp x_1=\frac{-4+6}{2\tm(-1)}=-1$. 
  Enfin, ce trin�me est positif, donc du signe de $-a$, � l'int�rieur
  de ses racines, soit sur l'intervalle $[-1;5]$, 
  soit la \ul{r�ponse $a$}.
  \vsp
\item[3.] L'�quation de la tangente au point d'abscisse $1$ est 
  $y=f'(1)(x-1)+f(1)$, avec $f'(x)=6x^2-4$, soit $f'(1)=2$, et 
  $f(1)=-1$. 

  Ainsi, l'�quation de la tangente est 
  $y=2(x-1)-1=2x-3$, soit la \ul{r�ponse $b$}.
  \vsp
\item[4.] $\dsp g\circ f(x)=g\lp f(x)\rp=g(-3x)
  =\frac{1}{(-3x)^2+1}=\frac{1}{9x^2+1}$, 
  soit la \ul{r�ponse $c$}.
  \vsp
\item[5.] $x^2+y^2-6x+4y+1=0 \Longleftrightarrow
  (x-3)^2+(y+2)^2=12$. 
  Il s'agit de l'�quation d'un cercle de 
  centre $\Omega(3;-2)$ et de rayon $\sqrt{12}$, 
  soit la \ul{r�ponse $a$}.
  \vsp
\item[6.] Les coordonn�es polaires de $M$ sont $M(r;\theta)$, avec 
  $r=OM=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=2$, et l'angle $\theta$ tel que 
  $\la\bgar{ll} 
  \cos \theta &\dsp=-\frac{1}{2} \\ 
  \sin \theta &\dsp=-\frac{\sqrt{3}}{2} \enar\right.$, 
  soit $\dsp \theta=-\frac{2\pi}{3}$, 
  soit la \ul{r�ponse $c$}.
\enit
\enex


\bgex
\bgit
\item[1.] $f$ est une fonction polyn�me, donc d�rivable sur $\R$,
  avec, pour tout $x$ r�el, 
  $f'(x)=3x^2+2x-16$. 
  Le discriminant de ce trin�me du second degr� est 
  $\Delta=4-4\tm3\tm(-16)=-188<0$. 
  Ce trin�me n'admet donc aucune racine r�elle, et est toujours du
  signe de $a=3>0$. 

  Ainsi, $f$ est d�rivable, strictement croissante sur $\R$ donc aussi sur
  $[0;1]$, avec de plus, \mbox{$f(0)=-5<0$} et $f(1)=13>0$. 
  On en d�duit, d'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires, 
  que l'�quation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0;1[$. 

      \vspd
\item[2.] On trouve � l'aide de la calculatrice que 
  \ul{$0,30<\alpha<0,31$}.
\enit
\enex

\bgex
\bgit
\item[1.] 
  \bgit
  \item[a)] 
    $f$ est d�finie sur 
    $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la2\ra=]-\infty;2[\,\cup\,]2;+\infty[$. 
      
      \ul{Limites en l'infini:} 
      $f$ est une fonction rationnelle, donc a la m�me limite en l'infini
      que le quotient de ses termes de plus haut degr�, soit 
      $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{-2x^2}{x}
      \lim_{x\to-\infty}(-2x)=+\infty$, et, de m�me, 
      $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty$.

      \vspd
      \ul{Limites en $2$:}
      $\dsp\lim_{x\to2}(-2x^2+7x-5)=1$, 
      et, 
      $\dsp\lim_{x\to2^-}(x-2)=0^-$, 
      d'o�, $\dsp\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$, 
      et de m�me, 
      $\dsp\lim_{x\to2^+}(x-2)=0^+$, 
      d'o�, 
      $\dsp\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$. 
    \item[b)] On d�duit du calcul de limites en $2$, que la droite
      d'�quation $x\!=\!2$ est asymptote verticale �~$\mathcal{C}_f$. 
    \enit
    \vspd
  \item[2.] 
    \bgit
    \item[a)] Pour tout $x\not=2$, 
      $\dsp -2x+3+\frac{1}{x-2}=\frac{(-2x+3)(x-2)+1}{x-2}
      =\frac{-2x^2+7x-5}{x-2}$ qui est bien �gal � $f(x)$. 

      On a alors, $\dsp f(x)-(-2x+3)=\frac{1}{x-2}$, 
      d'o�, 
      $\dsp \lim_{x\to-\infty}\Big[f(x)-(-2x+3)\Big]=0$, 
      de m�me que, 
      $\dsp \lim_{x\to+\infty}\Big[f(x)-(-2x+3)\Big]=0$. 

      On en d�duit que la droite $\mathcal{D}$ d'�quation $y=-2x+3$
      est asymptote 
      oblique � $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
      \vspd
    \item[b)] Pour tout $x\not=2$, 
      $\dsp f(x)-(-2x+3)=\frac{1}{x-2}$. 
      Ainsi, lorsque $x<2$, $\dsp\frac{1}{x-2}<0$, c'est-�-dire 
      $f(x)-(-2x+3)<0$, ou encore $f(x)<-2x+3$: 
      \ul{$\mathcal{C}_f$ est au dessous de $\mathcal{D}$ sur
      $]-\infty;2[$}.

      De m�me, lorsque $x>2$, $\dsp\frac{1}{x-2}>0$, et donc 
      $f(x)>-2x+3$: 
      \ul{$\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{D}$ sur
      $]2;+\infty[$}. 
    \enit
    \vspd
  \item[3.] 
    \bgit
    \enit

    \hspace{-0.5cm}
    \bgmp{10cm}
    \bgit
    \item[a)] $f$ est le quotient des fonctions 
      $u:x\mapsto -2x^2+7x-5$ et $v:x\mapsto x-2$ qui sont d�rivables
      sur $\R$, avec $v(x)=0\Longleftrightarrow x=2$, donc 
      $f$ est d�rivable sur $\R\setminus\la 2\ra$, avec, 
      pour tout $x\not=2$, 

      $\dsp f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
      =\frac{-2x^2+8x-9}{(x-2)^2}$. 

      \vspd
    \item[b)] %\vspace{-2.5cm}
      \bgmp[t]{10cm}
      Le discriminant du trin�me du second degr� au num�rateur
      de $f'$ est $\Delta=8^2-4\tm(-2)\tm(-9)=-8<0$. 
      Ce trin�me n'admet pas de racine r�elle et est donc toujours du
      signe de $a=-2<0$. 
      \enmp

      \vspq
      \hspace{0.3cm}
      \bgmp{8cm}%\vspace{2.5cm}
      \begin{tabular}{|c|p{0.3cm}ccp{0.3cm}c|}\hline
        $x$ & $-\infty$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
        $-2x^2+8x-9$ && $-$ & $|$ & $-$ & \\\hline
        $(x-2)^2$    && $+$ & \zb & $+$ & \\\hline
        $f'(x)$      && $-$ & \db & $-$ & \\\hline
        &$+\infty$&&&&\\
        $f$ && \Large{\mbox{$\searrow$}} &
        \rput(-0.4,-0.45){$-\infty$}
        \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.6)(0,0.8)
        \psline[linewidth=0.5pt](0.05,-0.6)(0.05,0.8)
        \rput(0.45,0.65){$+\infty$}
        &
        \Large{\mbox{$\searrow$}} & \\
        &&&& &$-\infty$       \\\hline
      \end{tabular}
      \enmp
    \enit
    \enmp\hspace{0.2cm}
    \bgmp{8cm}
    \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.4cm}
    \begin{pspicture}(-7,-12)(8,14)
      \psline[linewidth=1.pt]{->}(-6.5,0)(7.5,0)
      \psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-12.5)(0,14.5)
      \multido{\i=-6+1}{14}{
        \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-12.1)(\i,14.1)
        \rput(\i.2,-0.4){\scriptsize{\i}}
      }
      \multido{\i=-12+1}{27}{
        \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-6.1,\i)(7.1,\i)
        \rput(-0.3,\i.2){\scriptsize{\i}}
      }
      \psplot[linewidth=1.5pt]{-5.7}{1.91}{
        -2 x mul x mul 7 x mul add -5 add
        x -2 add div}
      \psplot[linewidth=1.5pt]{2.065}{7}{
        -2 x mul x mul 7 x mul add -5 add
        x -2 add div}
      \psplot[linewidth=1.3pt]{-5.7}{7}{
        -2 x mul 3 add}
      \psline[linewidth=1.2pt](2,-12)(2,7)
    \end{pspicture}
    \enmp
\enit
\enex

\bgex
\bgit
\item[1.] $f$ est une fonction polyn�me, donc d�rivable sur $\R$,
  avec, pour tout $x$ r�el, 
  $f'(x)=-3x^2+2ax+b$. 

\item[2.] Au point d'abscisse $-1$, la tangente � $\mathcal{C}$ est
  horizontale, d'o� \ul{$f(-1)=-3-2a+b=0$}.
  
  La tangente � $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour �quation 
  $y=4x+3$, d'o� on en d�duit que \ul{$f'(0)=b=4$}, et que 
  \ul{$f(0)=c=3$}. 
  Finalement, la premi�re �quation donne \ul{$a=\frac{1}{2}$}. 
\enit
\enex


\bgex
\bgit
\item[1.]
  \bgit
  \item[a)] $\V{AB}\lp\bgar{c} x_B-x_A\\y_B-y_A \enar\rp$, 
    soit $\V{AB}\lp\bgar{l} -1\\ -2\enar\rp$, 
    de m�me\ \ $\V{AC}\lp\bgar{c} -3\\ 2\enar\rp$, 
    et, $\V{BC}\lp\bgar{c} -2\\ 4\enar\rp$. 

    $\V{AB}\cdot\V{AC}=-1\tm(-3)+(-2)\tm2=-1$

    $\V{BA}\cdot\V{BC}=-\V{AB}\cdot\V{BC}=-\Big(-1\tm(-2)+(-2)\tm4)=6$

    $\V{CA}\cdot\V{CB}=\V{AC}\cdot\V{BC}=-3\tm(-2)+2\tm4=14$

    \vsp
  \item[b)] $\V{BA}\cdot\V{BC}=BA\tm BC\tm \cos \widehat{ABC}=6$, 
    avec
    $BA\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$, 
    et, 
    $BC=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}$. 

    On en d�duit que 
    $\dsp\cos\widehat{ABC}=\frac{6}{\sqrt{5}\sqrt{20}}
    =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$, 
    soit, � la calculatrice, \ul{$\widehat{ABC}\sim 53^\circ$}. 
  \enit
  \vsp
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] \ 

    \vspace*{-0.55cm}
    $\bgar{ll}
    M(x,y)\in \Delta 
    &\Longleftrightarrow (AM)\perp (BC) 
    \Longleftrightarrow \V{AM}\cdot\V{BC}=0\\
    &\Longleftrightarrow (2-x)\tm(-2)+(1-y)\tm4=0
    \Longleftrightarrow 2x-4y=0
    \Longleftrightarrow \ul{x-2y=0}
    \enar$

    \vsp
  \item[b)] Le point $H$ est l'intersection des droites $\Delta$ et
    $(BC)$. 

    Equation de $(BC)$: $y=ax+b$, avec
    le coefficient directeur 
    $\dsp a=\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=\frac{-4}{2}=-2$. 

    De plus, $B\in (BC)$, et donc, 
    $y_B=ax_B+b$, soit, $-1=-2\tm1+b$, d'o�, $b=1$. 

    Au final, l'�quation de $(BC)$ est $y=-2x+1$. 

    $H(x;y)\in (BC)\cap\Delta$, soit 
    $\la\bgar{ll}y=-2x+1\\x-2y=0\enar\right.
    \Longleftrightarrow 
    \la\bgar{ll}y=-4y+1\\x=2y\enar\right.
    \la\bgar{ll}y=\frac{1}{5}\\x=2y=\frac{2}{5}\enar\right.
    $, 
    d'o�, 
    \ul{$\dsp H\lp\frac{2}{5};\frac{1}{5}\rp$}.
    
  \enit
\enit
\enex


\bgex

\bgmp{12.5cm}
\bgit
\item[1.] Pour tout point $M$ du plan, $\V{MC}+3\V{MD}=4\V{MF}$, 
  soit, en choisissant $M=D$, 
  \ul{$\dsp\V{DF}=\frac{1}{4}\V{DC}$}.

  \vsp
\item[2.] Le centre de gravit� $E$ de $ABC$ est aussi l'isobarycentre
  de $A$, $B$ et $C$, soit le barycentre de 
  $(A;1)$, $(B;1)$ et $(C;1)$. 

  D'apr�s le th�or�me d'associativit�, 
  $G$ est alors aussi le barycentre de $(E;3)$ et $(D;3)$,
  c'est-�-dire l'isobarycentre de $E$ et $D$, ou encore le milieu de
  $[ED]$. 
\enit
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,2)
  \psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,0)
  \psline[linewidth=0.8pt](3,0)(3,2)
  \psline[linewidth=0.8pt](3,2)(0,2)
  \psline[linewidth=0.8pt](0,2)(0,0)

  \rput(-0.2,2){$A$}\rput(3.2,2){$B$}
  \rput(3.2,0){$C$}\rput(-0.2,0){$D$}

  \psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,2)
  \psline[linewidth=0.8pt](0,2)(3,0)

  \psline[linewidth=0.6pt](1.5,1.9)(1.5,2.1)
  \rput(1.6,2.2){$I$}

  \psline[linewidth=0.8pt](1.5,2)(3,0)
  \rput(2.2,1.3){$E$}

  \psline[linewidth=0.6pt](0.75,-0.1)(0.75,0.1)
  \rput(0.9,0.15){$F$}

  %\rput(1.1,0.7){$\tm$}
  \rput(1,0.9){$G$}

  \psline[linewidth=0.6pt](-0.1,0.5)(0.1,0.5)\rput(-0.2,0.6){$K$}

  \psline[linewidth=0.6pt](2.9,1)(3.1,1)\rput(3.1,1){$J$}
  
  \psline(0,0.5)(3,1)

\end{pspicture}
\enmp

\vsp
\bgit
\item[3.] $F$ est le barycentre de $(C;1)$ et $(D;3)$, 
  et $I$ est le barycentre de $(A;1)$ et $(B;1)$. 
  D'apr�s le th�or�me d'associativit�, 
  $G$ est alors aussi le barycentre de $(I;2)$ et $(F;4)$. 
  Ainsi, \ul{$G\in (IF)$}. 

  \vsp
\item[4.] 
  $\dsp \V{AK}=\frac{3}{4}\V{AD}
  \Longleftrightarrow 4\V{AK}-3\V{AD}=\V{0}
  \Longleftrightarrow 4\V{AK}-3\V{AK}-3\V{KD}=\V{0}
  \Longleftrightarrow \V{AK}+3\V{DK}=\V{0}
  $, 
  et ainsi, $K$ est le barycentre de $(A;1)$ et $(D;3)$. 

  Comme $J$ est le barycentre de $(B;1)$ et $(C;1)$, 
  d'apr�s le th�or�me d'associativit�, 
  $G$ est aussi le barycentre de 
  $(K;4)$ et $(J;2)$, et donc, \ul{$J\in (GK)$}.
  \enit
\enex

\bgex

\bgit
\item[1.] La somme des coefficients est $1+2-1=2\not=0$, donc il
  existe un unique point $G$ barycentre de 
  $(A;1)$, $(B;2)$ et $(C;-1)$, et en particulier tel que 
  $\V{GA}+2\V{GB}-\V{GC}=\V{0}$.

  \vsp
  Pour tout point $M$, $2\V{MB}-\V{MC}=\V{MI}$, soit, en choisissant 
  $M=B$, \ul{$\V{BC}=\V{BI}$}.
  
  \vsp
  D'apr�s le th�or�me d'associativit� du barycentre, $G$ est aussi le
  barycentre de $(A;1)$ et $(I;1)$, c'est-�-dire que $G$ est
  l'isobarycentre de $A$ et $I$, ou encore 
  \ul{$G$ est le milieu de $[AI]$}.
  
  \vspd
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Pour tout point $M$ du plan, 
    \ul{$\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC}=2\V{MG}$}.
    
    \vspd
  \item[b)] 
    $-\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC}=\V{AM}+\V{MB}+\V{MB}+\V{CM}
    =\V{AB}+\V{CB}=\V{AI}$; 
    en particulier, ce vecteur est bien ind�pendant de $M$. 
  \enit

  \vspd
\item[3.] D'apr�s ce qui pr�c�de, 

  \bgmp{12cm}
  $\|\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC} \|=\| -\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC} \|$

  $\Longleftrightarrow \|2\V{MG}\|=\|\V{AI}\|$ 
  $\dsp\Longleftrightarrow MG=\frac{AI}{2}$. 

  \ul{L'ensemble $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $G$ et de rayon
  $\dsp\frac{AI}{2}$}. 
  \enmp
  \bgmp{5cm}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(5,2.1)
    \psline[linewidth=0.8pt](0,0)(4,0)
    \psline[linewidth=0.8pt](4,0)(3,2)
    \psline[linewidth=0.8pt](2,0)(3,2)
    \psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,2)
    
    \pscircle(1.5,1){1.80}
    
    \rput(-0.2,0){$I$}
    \rput(1.8,-0.2){$B$}
    \rput(4.2,0){$C$}
    \rput(3.2,2.2){$A$}
    \psdot(1.5,1)\rput(1.2,1.2){$G$}
    \rput(1.8,3){$\mathcal{C}$}
  \end{pspicture}
  \enmp
\enit
\enex


\bgex
L'aire du carr� est $\mathcal{A}_C=(10-x)^2$. 

\bgmp{18cm}
L'aire du triangle est 
$\dsp\mathcal{A}_T=\frac{x\tm h}{2}$, 
o� $h$ est la hauteur du triangle, donn�e par 
$\dsp h=x\sin \frac{\pi}{3}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$, 
d'o�, $\dsp\mathcal{A}_T=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$. 

L'aire totale est donc 
$\dsp\mathcal{A}(x)=\mathcal{A}_C+\mathcal{A}_T=
(10-x)^2+\frac{x^2\sqrt{3}}{4}
=\lp 1+\frac{\sqrt{3}}{4}\rp x^2-20x+100$
\enmp

\bgmp{12cm}
$\mathcal{A}$ est une fonction trin�me du second degr�, donc en
particulier d�rivable sur $\R$, avec, pour tout $x$ r�el, 
$\dsp\mathcal{A}'(x)=2\lp1+\frac{\sqrt{3}}{4}\rp x-20$

\ul{L'aire est minimale lorsque 
$\dsp x=\frac{10}{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}$}.

\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|cp{0.2cm}ccc|}\hline
  $x$ & $0$ && $\frac{10}{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}$ && $10$ \\\hline
  $\mathcal{A}'(x)$ && $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
  \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\mathcal{A}$} 
  && \Large{\mbox{$\searrow$}} 
  && \Large{\mbox{$\nearrow$}} &\\\hline
\end{tabular}
\enmp

\enex


\end{document}


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