Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=27.2cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-2cm
\topmargin=-2.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
%\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Correction du devoir commun de math�matiques}}
\bgex
\bgit
\item[1.] Le discriminant de ce trin�me du second degr� est
$\Delta=3^2-4\tm2\tm1=1>0$.
L'�quation admet donc deux solutions r�elles distinctes:
$\dsp x_1=\frac{-3-1}{2\tm2}=-1$ et
$\dsp x_1=\frac{-3+1}{2\tm2}=-\frac{1}{2}$,
soit la \ul{r�ponse $c$}.
\vsp
\item[2.] $f(x)$ est d�fini pour des valeurs de $x$
telles que $-x^2+4x+5\geq 0$.
Le discriminant de ce trin�me du second degr� est
$\Delta=4^2-4\tm(-1)\tm5=36=6^2>0$.
Ce trin�me admet donc deux racines r�elles distinctes:
$\dsp x_1=\frac{-4-6}{2\tm(-1)}=5$ et
$\dsp x_1=\frac{-4+6}{2\tm(-1)}=-1$.
Enfin, ce trin�me est positif, donc du signe de $-a$, � l'int�rieur
de ses racines, soit sur l'intervalle $[-1;5]$,
soit la \ul{r�ponse $a$}.
\vsp
\item[3.] L'�quation de la tangente au point d'abscisse $1$ est
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$, avec $f'(x)=6x^2-4$, soit $f'(1)=2$, et
$f(1)=-1$.
Ainsi, l'�quation de la tangente est
$y=2(x-1)-1=2x-3$, soit la \ul{r�ponse $b$}.
\vsp
\item[4.] $\dsp g\circ f(x)=g\lp f(x)\rp=g(-3x)
=\frac{1}{(-3x)^2+1}=\frac{1}{9x^2+1}$,
soit la \ul{r�ponse $c$}.
\vsp
\item[5.] $x^2+y^2-6x+4y+1=0 \Longleftrightarrow
(x-3)^2+(y+2)^2=12$.
Il s'agit de l'�quation d'un cercle de
centre $\Omega(3;-2)$ et de rayon $\sqrt{12}$,
soit la \ul{r�ponse $a$}.
\vsp
\item[6.] Les coordonn�es polaires de $M$ sont $M(r;\theta)$, avec
$r=OM=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=2$, et l'angle $\theta$ tel que
$\la\bgar{ll}
\cos \theta &\dsp=-\frac{1}{2} \\
\sin \theta &\dsp=-\frac{\sqrt{3}}{2} \enar\right.$,
soit $\dsp \theta=-\frac{2\pi}{3}$,
soit la \ul{r�ponse $c$}.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.] $f$ est une fonction polyn�me, donc d�rivable sur $\R$,
avec, pour tout $x$ r�el,
$f'(x)=3x^2+2x-16$.
Le discriminant de ce trin�me du second degr� est
$\Delta=4-4\tm3\tm(-16)=-188<0$.
Ce trin�me n'admet donc aucune racine r�elle, et est toujours du
signe de $a=3>0$.
Ainsi, $f$ est d�rivable, strictement croissante sur $\R$ donc aussi sur
$[0;1]$, avec de plus, \mbox{$f(0)=-5<0$} et $f(1)=13>0$.
On en d�duit, d'apr�s le th�or�me des valeurs interm�diaires,
que l'�quation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0;1[$.
\vspd
\item[2.] On trouve � l'aide de la calculatrice que
\ul{$0,30<\alpha<0,31$}.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)]
$f$ est d�finie sur
$\mathcal{D}_f=\R\setminus\la2\ra=]-\infty;2[\,\cup\,]2;+\infty[$.
\ul{Limites en l'infini:}
$f$ est une fonction rationnelle, donc a la m�me limite en l'infini
que le quotient de ses termes de plus haut degr�, soit
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{-2x^2}{x}
\lim_{x\to-\infty}(-2x)=+\infty$, et, de m�me,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty$.
\vspd
\ul{Limites en $2$:}
$\dsp\lim_{x\to2}(-2x^2+7x-5)=1$,
et,
$\dsp\lim_{x\to2^-}(x-2)=0^-$,
d'o�, $\dsp\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$,
et de m�me,
$\dsp\lim_{x\to2^+}(x-2)=0^+$,
d'o�,
$\dsp\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$.
\item[b)] On d�duit du calcul de limites en $2$, que la droite
d'�quation $x\!=\!2$ est asymptote verticale �~$\mathcal{C}_f$.
\enit
\vspd
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Pour tout $x\not=2$,
$\dsp -2x+3+\frac{1}{x-2}=\frac{(-2x+3)(x-2)+1}{x-2}
=\frac{-2x^2+7x-5}{x-2}$ qui est bien �gal � $f(x)$.
On a alors, $\dsp f(x)-(-2x+3)=\frac{1}{x-2}$,
d'o�,
$\dsp \lim_{x\to-\infty}\Big[f(x)-(-2x+3)\Big]=0$,
de m�me que,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\Big[f(x)-(-2x+3)\Big]=0$.
On en d�duit que la droite $\mathcal{D}$ d'�quation $y=-2x+3$
est asymptote
oblique � $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\vspd
\item[b)] Pour tout $x\not=2$,
$\dsp f(x)-(-2x+3)=\frac{1}{x-2}$.
Ainsi, lorsque $x<2$, $\dsp\frac{1}{x-2}<0$, c'est-�-dire
$f(x)-(-2x+3)<0$, ou encore $f(x)<-2x+3$:
\ul{$\mathcal{C}_f$ est au dessous de $\mathcal{D}$ sur
$]-\infty;2[$}.
De m�me, lorsque $x>2$, $\dsp\frac{1}{x-2}>0$, et donc
$f(x)>-2x+3$:
\ul{$\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{D}$ sur
$]2;+\infty[$}.
\enit
\vspd
\item[3.]
\bgit
\enit
\hspace{-0.5cm}
\bgmp{10cm}
\bgit
\item[a)] $f$ est le quotient des fonctions
$u:x\mapsto -2x^2+7x-5$ et $v:x\mapsto x-2$ qui sont d�rivables
sur $\R$, avec $v(x)=0\Longleftrightarrow x=2$, donc
$f$ est d�rivable sur $\R\setminus\la 2\ra$, avec,
pour tout $x\not=2$,
$\dsp f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
=\frac{-2x^2+8x-9}{(x-2)^2}$.
\vspd
\item[b)] %\vspace{-2.5cm}
\bgmp[t]{10cm}
Le discriminant du trin�me du second degr� au num�rateur
de $f'$ est $\Delta=8^2-4\tm(-2)\tm(-9)=-8<0$.
Ce trin�me n'admet pas de racine r�elle et est donc toujours du
signe de $a=-2<0$.
\enmp
\vspq
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}%\vspace{2.5cm}
\begin{tabular}{|c|p{0.3cm}ccp{0.3cm}c|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
$-2x^2+8x-9$ && $-$ & $|$ & $-$ & \\\hline
$(x-2)^2$ && $+$ & \zb & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \db & $-$ & \\\hline
&$+\infty$&&&&\\
$f$ && \Large{\mbox{$\searrow$}} &
\rput(-0.4,-0.45){$-\infty$}
\psline[linewidth=0.5pt](0,-0.6)(0,0.8)
\psline[linewidth=0.5pt](0.05,-0.6)(0.05,0.8)
\rput(0.45,0.65){$+\infty$}
&
\Large{\mbox{$\searrow$}} & \\
&&&& &$-\infty$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enit
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(8,14)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(-6.5,0)(7.5,0)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-12.5)(0,14.5)
\multido{\i=-6+1}{14}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-12.1)(\i,14.1)
\rput(\i.2,-0.4){\scriptsize{\i}}
}
\multido{\i=-12+1}{27}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-6.1,\i)(7.1,\i)
\rput(-0.3,\i.2){\scriptsize{\i}}
}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-5.7}{1.91}{
-2 x mul x mul 7 x mul add -5 add
x -2 add div}
\psplot[linewidth=1.5pt]{2.065}{7}{
-2 x mul x mul 7 x mul add -5 add
x -2 add div}
\psplot[linewidth=1.3pt]{-5.7}{7}{
-2 x mul 3 add}
\psline[linewidth=1.2pt](2,-12)(2,7)
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.] $f$ est une fonction polyn�me, donc d�rivable sur $\R$,
avec, pour tout $x$ r�el,
$f'(x)=-3x^2+2ax+b$.
\item[2.] Au point d'abscisse $-1$, la tangente � $\mathcal{C}$ est
horizontale, d'o� \ul{$f(-1)=-3-2a+b=0$}.
La tangente � $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour �quation
$y=4x+3$, d'o� on en d�duit que \ul{$f'(0)=b=4$}, et que
\ul{$f(0)=c=3$}.
Finalement, la premi�re �quation donne \ul{$a=\frac{1}{2}$}.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] $\V{AB}\lp\bgar{c} x_B-x_A\\y_B-y_A \enar\rp$,
soit $\V{AB}\lp\bgar{l} -1\\ -2\enar\rp$,
de m�me\ \ $\V{AC}\lp\bgar{c} -3\\ 2\enar\rp$,
et, $\V{BC}\lp\bgar{c} -2\\ 4\enar\rp$.
$\V{AB}\cdot\V{AC}=-1\tm(-3)+(-2)\tm2=-1$
$\V{BA}\cdot\V{BC}=-\V{AB}\cdot\V{BC}=-\Big(-1\tm(-2)+(-2)\tm4)=6$
$\V{CA}\cdot\V{CB}=\V{AC}\cdot\V{BC}=-3\tm(-2)+2\tm4=14$
\vsp
\item[b)] $\V{BA}\cdot\V{BC}=BA\tm BC\tm \cos \widehat{ABC}=6$,
avec
$BA\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$,
et,
$BC=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}$.
On en d�duit que
$\dsp\cos\widehat{ABC}=\frac{6}{\sqrt{5}\sqrt{20}}
=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,
soit, � la calculatrice, \ul{$\widehat{ABC}\sim 53^\circ$}.
\enit
\vsp
\item[2.]
\bgit
\item[a)] \
\vspace*{-0.55cm}
$\bgar{ll}
M(x,y)\in \Delta
&\Longleftrightarrow (AM)\perp (BC)
\Longleftrightarrow \V{AM}\cdot\V{BC}=0\\
&\Longleftrightarrow (2-x)\tm(-2)+(1-y)\tm4=0
\Longleftrightarrow 2x-4y=0
\Longleftrightarrow \ul{x-2y=0}
\enar$
\vsp
\item[b)] Le point $H$ est l'intersection des droites $\Delta$ et
$(BC)$.
Equation de $(BC)$: $y=ax+b$, avec
le coefficient directeur
$\dsp a=\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=\frac{-4}{2}=-2$.
De plus, $B\in (BC)$, et donc,
$y_B=ax_B+b$, soit, $-1=-2\tm1+b$, d'o�, $b=1$.
Au final, l'�quation de $(BC)$ est $y=-2x+1$.
$H(x;y)\in (BC)\cap\Delta$, soit
$\la\bgar{ll}y=-2x+1\\x-2y=0\enar\right.
\Longleftrightarrow
\la\bgar{ll}y=-4y+1\\x=2y\enar\right.
\la\bgar{ll}y=\frac{1}{5}\\x=2y=\frac{2}{5}\enar\right.
$,
d'o�,
\ul{$\dsp H\lp\frac{2}{5};\frac{1}{5}\rp$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex
\bgmp{12.5cm}
\bgit
\item[1.] Pour tout point $M$ du plan, $\V{MC}+3\V{MD}=4\V{MF}$,
soit, en choisissant $M=D$,
\ul{$\dsp\V{DF}=\frac{1}{4}\V{DC}$}.
\vsp
\item[2.] Le centre de gravit� $E$ de $ABC$ est aussi l'isobarycentre
de $A$, $B$ et $C$, soit le barycentre de
$(A;1)$, $(B;1)$ et $(C;1)$.
D'apr�s le th�or�me d'associativit�,
$G$ est alors aussi le barycentre de $(E;3)$ et $(D;3)$,
c'est-�-dire l'isobarycentre de $E$ et $D$, ou encore le milieu de
$[ED]$.
\enit
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,2)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt](3,0)(3,2)
\psline[linewidth=0.8pt](3,2)(0,2)
\psline[linewidth=0.8pt](0,2)(0,0)
\rput(-0.2,2){$A$}\rput(3.2,2){$B$}
\rput(3.2,0){$C$}\rput(-0.2,0){$D$}
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,2)
\psline[linewidth=0.8pt](0,2)(3,0)
\psline[linewidth=0.6pt](1.5,1.9)(1.5,2.1)
\rput(1.6,2.2){$I$}
\psline[linewidth=0.8pt](1.5,2)(3,0)
\rput(2.2,1.3){$E$}
\psline[linewidth=0.6pt](0.75,-0.1)(0.75,0.1)
\rput(0.9,0.15){$F$}
%\rput(1.1,0.7){$\tm$}
\rput(1,0.9){$G$}
\psline[linewidth=0.6pt](-0.1,0.5)(0.1,0.5)\rput(-0.2,0.6){$K$}
\psline[linewidth=0.6pt](2.9,1)(3.1,1)\rput(3.1,1){$J$}
\psline(0,0.5)(3,1)
\end{pspicture}
\enmp
\vsp
\bgit
\item[3.] $F$ est le barycentre de $(C;1)$ et $(D;3)$,
et $I$ est le barycentre de $(A;1)$ et $(B;1)$.
D'apr�s le th�or�me d'associativit�,
$G$ est alors aussi le barycentre de $(I;2)$ et $(F;4)$.
Ainsi, \ul{$G\in (IF)$}.
\vsp
\item[4.]
$\dsp \V{AK}=\frac{3}{4}\V{AD}
\Longleftrightarrow 4\V{AK}-3\V{AD}=\V{0}
\Longleftrightarrow 4\V{AK}-3\V{AK}-3\V{KD}=\V{0}
\Longleftrightarrow \V{AK}+3\V{DK}=\V{0}
$,
et ainsi, $K$ est le barycentre de $(A;1)$ et $(D;3)$.
Comme $J$ est le barycentre de $(B;1)$ et $(C;1)$,
d'apr�s le th�or�me d'associativit�,
$G$ est aussi le barycentre de
$(K;4)$ et $(J;2)$, et donc, \ul{$J\in (GK)$}.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.] La somme des coefficients est $1+2-1=2\not=0$, donc il
existe un unique point $G$ barycentre de
$(A;1)$, $(B;2)$ et $(C;-1)$, et en particulier tel que
$\V{GA}+2\V{GB}-\V{GC}=\V{0}$.
\vsp
Pour tout point $M$, $2\V{MB}-\V{MC}=\V{MI}$, soit, en choisissant
$M=B$, \ul{$\V{BC}=\V{BI}$}.
\vsp
D'apr�s le th�or�me d'associativit� du barycentre, $G$ est aussi le
barycentre de $(A;1)$ et $(I;1)$, c'est-�-dire que $G$ est
l'isobarycentre de $A$ et $I$, ou encore
\ul{$G$ est le milieu de $[AI]$}.
\vspd
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Pour tout point $M$ du plan,
\ul{$\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC}=2\V{MG}$}.
\vspd
\item[b)]
$-\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC}=\V{AM}+\V{MB}+\V{MB}+\V{CM}
=\V{AB}+\V{CB}=\V{AI}$;
en particulier, ce vecteur est bien ind�pendant de $M$.
\enit
\vspd
\item[3.] D'apr�s ce qui pr�c�de,
\bgmp{12cm}
$\|\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC} \|=\| -\V{MA}+2\V{MB}-\V{MC} \|$
$\Longleftrightarrow \|2\V{MG}\|=\|\V{AI}\|$
$\dsp\Longleftrightarrow MG=\frac{AI}{2}$.
\ul{L'ensemble $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $G$ et de rayon
$\dsp\frac{AI}{2}$}.
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,2.1)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt](4,0)(3,2)
\psline[linewidth=0.8pt](2,0)(3,2)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,2)
\pscircle(1.5,1){1.80}
\rput(-0.2,0){$I$}
\rput(1.8,-0.2){$B$}
\rput(4.2,0){$C$}
\rput(3.2,2.2){$A$}
\psdot(1.5,1)\rput(1.2,1.2){$G$}
\rput(1.8,3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\enex
\bgex
L'aire du carr� est $\mathcal{A}_C=(10-x)^2$.
\bgmp{18cm}
L'aire du triangle est
$\dsp\mathcal{A}_T=\frac{x\tm h}{2}$,
o� $h$ est la hauteur du triangle, donn�e par
$\dsp h=x\sin \frac{\pi}{3}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$,
d'o�, $\dsp\mathcal{A}_T=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.
L'aire totale est donc
$\dsp\mathcal{A}(x)=\mathcal{A}_C+\mathcal{A}_T=
(10-x)^2+\frac{x^2\sqrt{3}}{4}
=\lp 1+\frac{\sqrt{3}}{4}\rp x^2-20x+100$
\enmp
\bgmp{12cm}
$\mathcal{A}$ est une fonction trin�me du second degr�, donc en
particulier d�rivable sur $\R$, avec, pour tout $x$ r�el,
$\dsp\mathcal{A}'(x)=2\lp1+\frac{\sqrt{3}}{4}\rp x-20$
\ul{L'aire est minimale lorsque
$\dsp x=\frac{10}{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}$}.
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|cp{0.2cm}ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $\frac{10}{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}$ && $10$ \\\hline
$\mathcal{A}'(x)$ && $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\mathcal{A}$}
&& \Large{\mbox{$\searrow$}}
&& \Large{\mbox{$\nearrow$}} &\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex
\end{document}
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