Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=27cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.cm
\topmargin=-1.5cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir Surveill�}}
%\vspd\vspd
\bgex
1) Calculer les limites en $+\infty$ des fonctions suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{lll}
a) $\dsp f(x)=3x-12 + \frac{6x}{x^2-2}$
&
b) $\dsp g(x)=\frac{3x^3+2x^2-18x+37}{4x^3-56x^2+2}$
&
c) $\dsp h(x)=\frac{\sqrt{x}+3}{x-9}$
\vspd\\
d) $\dsp k(x)=\sqrt{x^2-6x}-x$
&
e) $\dsp l(x)=\frac{(x-1)^2}{1-2x^2}$
\end{tabular}
\vspd\noindent
2) Montrer que la droite $\Delta:y=3x-12$ est asymptote � la courbe
repr�sentative de la fonction $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\enex
\bgex
Associer � chacune des trois fonctions suivantes sa courbe
repr�sentative. (Justifier)
\bgmp{4cm}
$\dsp f(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$\vspd
$\dsp g(x)=\frac{x^2-1}{x}$\vspd
$\dsp h(x)=\frac{x-1}{x}$
\enmp
\begin{tabular}{ccc}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psline{->}(-4,0)(4,0)
\psline{->}(0,-4)(0,4)
\psplot{-3}{-0.25}{x x mul 1 sub x div}
\psplot{0.22}{3}{x x mul 1 sub x div}
\rput(-1.5,1){$\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,2)
\psline{->}(-4,0)(4,0)
\psline{->}(0,-4)(0,2)
\psplot{-4}{-0.45}{x x mul 1 sub x x mul div}
\psplot{0.45}{4}{x x mul 1 sub x x mul div}
\rput(-2,1.5){$\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psline{->}(-4,0)(4,0)
\psline{->}(0,-4)(0,4)
\psplot{-4}{-0.3}{x 1 sub x div}
\psplot{0.2}{4}{x 1 sub x div}
\rput(-1.5,1.){$\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{tabular}
\enex
\vspace{-0.4cm}
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression
$\dsp f(x)=\frac{x}{(x-1)(x-4)}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe repr�sentative de la fonction $f$
dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\vsp
\bgit
\item[1)] Dresser le tableau de variations de $f$.
\vsp
\item[2)] D�terminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de
d�finition.
Pr�ciser les �ventuelles asymptotes � $\mathcal{C}_f$.
\vsp
\item[3)] Tracer $\mathcal{C}_f$, puis discuter graphiquement, selon
les valeurs du nombre r�el $m$, le
nombre de solutions de l'�quation \mbox{$f(x)=m$}.
\enit
\enex
\bgex
\vspace{-1.8cm}
\bgmp{9.5cm}
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0;+\infty[$ par
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$, et $\mathcal{H}$ sa courbe repr�sentative
dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\vspd
On note, pour $a>1$, $(T_a)$ la tangente � $\mathcal{H}$ au point
d'abscisse $a$ et $(T_{\frac{1}{a}})$ la tangente �
$\mathcal{H}$ au point d'abscisse $\dsp\frac{1}{a}$.
\vspd
Soit de plus $A$ le point d'intersection de $(T_a)$ et de la droite
$(\Delta):y=x$,
$B$ et $C$ les points d'intersection respectifs de $(T_{\frac{1}{a}})$
et de $(T_a)$ et de l'axe des abscisses.
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.8,0)(4.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-.5)(0,4.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.25}{4}{1 x div}
\rput(0.5,4){$\mathcal{H}$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-0.5}{3}{x}
\rput(3.7,3){$(\Delta): y=x$}
% a=1.7
\psplot[linewidth=1.pt]{-0.25}{4}{-1 1.7 1.7 mul div x mul 2 1.7 div add}
\rput(-0.4,1.5){$(T_a)$}
\psplot[linewidth=1.pt]{-0.25}{1.3}{-1.7 1.7 mul x mul 2 1.7 mul add}
\rput(-0.4,3.6){$(T_{\frac{1}{a}})$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.59)
\rput(1.7,-0.2){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.59,0)(0.59,1.7)
\rput(0.59,-0.3){$\frac{1}{a}$}
\rput(0.8,0.65){$A$}
\rput(1.3,0.15){$B$}
\rput(3.3,-0.15){$C$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-1.8cm}
\bgit
\item[1)] D�terminer les �quations des tangentes $(T_a)$ et
$(T_{\frac{1}{a}})$, puis d�terminer les coordonn�es des points $B$
et $C$.
\vspd
\item[2)] D�terminer les coordonn�es du point $A$, et montrer que $A$
est � l'intersection des droites $(\Delta)$, $(T_a)$ et
$(T_{\frac{1}{a}})$.
\vspd
\item[3)] D�terminer l'aire $S(a)$ du triangle $ABC$.
\vspd
\item[4)] Etudier la limite de l'aire $S(a)$ lorsque $a$ tend vers
$+\infty$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
\bgit
\item[1.] Placer les points suivants:
\bgit
\item[a)] $G$ barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$ et $(C,3)$.
\item[b)] $I$ barycentre de $(A,1)$ et $(B,2)$.
\item[c)] $H$ barycentre de $(I,1)$ et $(C,1)$.
\enit
\vsp
\item[2.] Que remarque-t-on ? Etait-ce pr�visible (Expliquer).
\enit
\enex
\end{document}
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