Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.5cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\topmargin=-2.5cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Correction du devoir surveill�}}
%\vspd\vspd
\bgex
1)\, a)
$\left.\bgar{ll}
\dsp \lim_{x\to+\infty} \frac{6x}{x^2-2}
=\lim_{x\to+\infty} \frac{6x}{x^2}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{x}=0 \vspd\\
\dsp\lim_{x\to+\infty}(3x-12)=+\infty
\enar\right\}
\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty
$
\vspd
b)
$\dsp
\lim_{x\to+\infty} g(x)=
\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^3}{4x^3}
=\lim_{x\to+\infty} \frac{3}{4}=\frac{3}{4}
$
\vspd
c)
$\dsp
h(x)=\frac{\sqrt{x}+3}{x-9}
=\frac{1}{\sqrt{x}}
\frac{1+\frac{3}{\sqrt{x}}}{1-\frac{9}{x}}
$\ ;\
$\dsp \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$,
et,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}
\frac{1+\frac{3}{\sqrt{x}}}{1-\frac{9}{x}}=1$,
d'o�,
$\dsp \dsp \lim_{x\to+\infty} h(x)=0$.
\vspd
d)
$\dsp k(x)=\sqrt{x^2-6x}-x
=x\lb\sqrt{1-\frac{6}{x}}-1\rb
=x\frac{-\frac{6}{x}}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1}
=\frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1}
$\ ;
$\dsp \lim_{x\to+\infty} \lp\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}+1\rp=2$,
d'o�,
$\dsp \lim_{x\to+\infty} k(x)=-3$.
\vspd
e)
$\dsp l(x)=\frac{(x-1)^2}{1-2x^2}
=\frac{x^2-2x+1}{1-2x^2}
$,
et donc
$\dsp \lim_{x\to+\infty} l(x)
=\lim_{x\to+\infty} \frac{x^2}{-2x^2}
=\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}
$
\vsp\noindent
2) $\dsp f(x)-(3x-12)=\frac{6x}{x^2-2}$,
d'o�
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-(3x-12)\rb=
\lim_{x\to+\infty} \frac{6x}{x^2}=0
$, et
\mbox{$\dsp\lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-(3x-12)\rb=0$. }
On en d�duit que $\Delta:y=3x-12$ est asymptote � $\mathcal{C}_f$ en
$-\infty$ et en $+\infty$.
\enex
\bgex
\noindent
La fonction $f$ est paire; sa courbe repr�sentative admet donc l'axe
des ordonn�es comme axe de sym�trie. La courbe repr�sentative de $f$
ne peut donc �tre que $\mathcal{C}_2$.
\vspd\noindent
$\dsp \lim_{x\to+\infty} h(x)=
\lim_{x\to+\infty} l(x) \frac{x}{x}=1$.
La courbe repr�sentative de $h$ admet donc la droite d'�quation $y=1$
comme asymptote en $+\infty$; il s'agit donc de la courbe
$\mathcal{C}_3$.
\vspd\noindent
$\dsp \lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$. La courbe repr�sentative de
$g$ ne peut donc �tre que la courbe $\mathcal{C}_1$.
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] La fonction $f$ est d�finie sur
$\mathcal{D}_f=\R\setminus\{1;4\}$, et pour
$x\in\mathcal{D}_f$,
$\dsp f(x)=\frac{x}{x^2-5x+4}$.
$f$ est le quotient des fonctions $u:x\mapsto x$ et
$v:x\mapsto x^2-5x+4$ qui sont d�rivables sur $\R$,
et $v(x)=0 \Longleftrightarrow x\in\{1;4\}$.
On en d�duit que $f$ est d�rivable sur $\mathcal{D}_f$.
Pour tout $x\in\mathcal{D}_f$,
$\dsp f'(x)=\frac{(x^2-5x+4)-x(2x-5)}{(x^2-5x+4)^2}
=\frac{-x^2+4}{(x^2-5x+4)^2}
$
\begin{tabular}{|c|ccccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $1$ && $2$ && $4$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \zb & $+$ &\db&$+$ &\zb &$-$&\db&$-$ & \\\hline
&&&&&&&$-1$&&&&\\
$f$
&& \Large{$\searrow$}
&& \Large{$\nearrow$}
& \psline(0,-.5)(0,.6)\,\psline(0,-.5)(0,.6)
& \Large{$\nearrow$}
&& \Large{$\searrow$}
& \psline(0,-.5)(0,.6)\,\psline(0,-.5)(0,.6)
& \Large{$\searrow$} &\\
&&&$\dsp-\frac{1}{9}$&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[2)]
$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=
\lim_{x\to-\infty} \frac{x}{x^2}=\lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x}=0
$, et de m�me, $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$
$\dsp \lim_{x\to1} f(x)=
\lim_{x\to1}\frac{1}{(x-1)(-3)}
$
et donc,
\limcdt{x\to1}{x<1}{f(x)}{+\infty}
et
\limcdt{x\to1}{x>1}{f(x)}{-\infty}.
On en d�duit que la droite d'�quation $x=1$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$.
\vspd
De m�me,
$\dsp \lim_{x\to4} f(x)=
\lim_{x\to1}\frac{4}{3(x-4)}
$
et donc,
\limcdt{x\to4}{x<4}{f(x)}{-\infty}
et
\limcdt{x\to4}{x>4}{f(x)}{+\infty}.
On en d�duit que la droite d'�quation $x=4$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$.
\item[3)]
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-4.2)(7,5.2)
\psline[linewidth=.6pt]{->}(-3,0)(8.5,0)
\psline[linewidth=.6pt]{->}(0,-5.5)(0,5)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)
\psplot[linewidth=1.2pt]{-3}{0.94}{x x x mul -5 x mul add 4 add div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{1.07}{3.75}{x x x mul -5 x mul add 4 add div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{4.25}{8}{x x x mul -5 x mul add 4 add div}
% Asymptotes
\psline[linewidth=0.8pt](1,-5.5)(1,5)
\psline[linewidth=0.8pt](4,-5.5)(4,5)
% Tangentes horizontales
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(-2.5,-0.12)(-.5,-0.12)
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(.5,-1)(3.5,-1)
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\item[4)] On d�duit du graphique (et du tableau de variation) que
l'�quation $f(x)=m$ admet:
\vspd
\hspace*{0.9cm}
\bgmp{7.2cm}
\bgit
\item
deux solutions pour $m<-1$
\vspd
\item
une unique solution pour $m=-1$
\vspd
\item
aucune solution pour $-1<m<-\frac{1}{9}$
\vspd
\item
une unique solution pour $m=-\frac{1}{9}$
\vspd
\item
deux solutions pour $m>-\frac{1}{9}$
\enit
\enmp
\enmp
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)]
La d�riv�e de $f$ est, pour $x>0$,
$\dsp f'(x)=-\frac{1}{x^2}$.
\vsp
L'�quation de la tangente $(T_a)$ est
$\dsp y=f'(a)(x-a)+f(a)=-\frac{1}{a^2}(x-a)+\frac{1}{a}
$,
soit \ul{$\dsp(T_a):y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}$}.
L'�quation de $(T_{\frac{1}{a}})$ est
$\dsp y=f'(\frac{1}{a})(x-\frac{1}{a})+f(\frac{1}{a})
=-a^2(x-\frac{1}{a})+a
$,
soit \ul{$(T_{\frac{1}{a}}): y=-a^2x+2a$}.
\vspd
$B$ a pour ordonn�e $y=0$, et comme $B\in(T_{\frac{1}{a}})$,
$0=-a^2x+2a$, soit $\dsp x=\frac{2}{a}$.
\vsp
$C$ a pour ordonn�e $y=0$, et comme $C\in(T_a)$,
$\dsp 0=-\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a}$, soit
$x=2a$.
\ul{Les points $B$ et $C$ ont pour coordonn�es
$B(\frac{2}{a};0)$ et $C(2a;0)$}.
\vspd
\item[2)] Le point $A(x;y)$ est sur la droite $(\Delta)$, donc $y=x$,
et est aussi sur la droite $(T_a)$, donc
$\dsp y=x=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}$,
soit, $\dsp x=y=\frac{2a}{1+a^2}$.
Ainsi, les coordonn�es de $A$ sont
\ul{$\dsp A\lp\frac{2a}{1+a^2};\frac{2a}{1+a^2}\rp$}.
\vsp
L'�quation de $(T_{\frac{1}{a}})$ est $(T_{\frac{1}{a}}):
y=-a^2x+2a$.
Or, si $x=y$, alors, $y=x=-a^2+2a$, et $\dsp y=x=\frac{2a}{1+a^2}$, et
donc le point $A$ est aussi sur la droite
$(T_{\frac{1}{a}})$.
\vspd
\item[3)] L'aire du triangle est donn�e par
$\dsp S(a)=\frac{1}{2}(x_C-x_B)\tm y_A
=\frac{1}{2}(2a-\frac{2}{a})\frac{2a}{1+a^2}
=2\frac{a^2-1}{1+a^2}
$
\vspd
\item[4)] $S(a)$ est une fonction rationnelle, et donc,
$\dsp \lim_{a\to+\infty} S(a)
=\lim_{a\to+\infty} 2\frac{a^2}{a^2}=2
$
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgmp{12cm}
\bgit
\item[a)]
Pour tout point $M$,
$\V{MA}+2\V{MB}+3\V{MC}=6\V{MG}$,
soit, en choisissant par exemple $M=A$,
$\dsp \V{AG}=\frac{1}{3}\V{AB}+\frac{1}{2}\V{AC}$
\item[b)] Pour tout point $M$,
$\V{MA}+2\V{MB}=3\V{MI}$,
soit, en choisissant par exemple $M=A$,
$\dsp \V{AI}=\frac{2}{3}\V{AB}$
\item[c)] $H$ est l'isobarycentre de $I$ et de $C$,
ou encore le milieu de $[IC]$.
\enit
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(5,3.5)
\rput(0,0){$\tm$}\rput(-0.4,-0.2){$B$}
\rput(3,3){$\tm$}\rput(3,3.3){$A$}
\rput(5,-1){$\tm$}\rput(5.2,-1.3){$C$}
\psline[linewidth=0.6pt](3,3)(0,0)
\psline[linewidth=0.6pt](3,3)(5,-1)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(3,3)(2,2)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(3,3)(4,1)
\psline[linewidth=0.6pt](2,2)(3,0)
\psline[linewidth=0.6pt](4,1)(3,0)
\rput(3,0){$\tm$}\rput(3,-0.3){$G=H$}
\rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.1){$I$}
\end{pspicture}
\enmp
\item[2.] On remarque que les points $G$ et $H$ sont confondus.
\vsp
Cela �tait effectivement pr�visible, car d'apr�s le th�or�me
d'associativit� des barycentres,
$G$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$ et $(C,3)$, donc $G$ est
aussi le barycentre de
$(I,3)$ et $(C,3)$.
En d'autres termes, $G$ est l'isobarycentre de $I$ et $C$, tout comme
$H$, d'o�, $G=H$.
\enit
\enex
\end{document}
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