@ccueil Colles

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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir maison de mathématiques, première S: fonction rationnelle, étude et limite, asymptote oblique, barycentres et lieu de points:lignes de niveau.
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, barycentre, ligne de niveau, étude de fonction, limite, dérivée, tangente, asymptote, maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=27cm
\textwidth=19.5cm
\oddsidemargin=-2cm
\topmargin=-1.5cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}


\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir Surveill}}
%\vspd\vspd


\bgex
\bgit
\item[1.]
  \bgit
  \item[a)] $P(2)=2\tm8-5\tm4-2+6=0$, donc $2$ est une racine de $P$
    qui se factorise donc par $(x-2)$: 
    $P(x)=(x-2)(2x^2-x-3)$. 

    Par ailleurs, $Q$ est un trinme du second degr de racine
    vidente $x_1=1$, et donc, comme $x_1 x_2=2$, $x_2=2$. 
    Ainsi, $Q(x)=(x-1)(x-2)$. 

    \vsp
    On a alors, pour tout $x\in\R\setminus\{1;2\}$, 
    $\dsp f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}
    =\frac{(x-2)(2x^2-x-3)}{(x-1)(x-2)}
    =\frac{2x^2-x-3}{x-1}
    $
  \item[b)] $\dsp\lim_{x\to2} (2x^2-x-3)=3$ et 
    $\dsp\lim_{x\to2} (x-1)=1$, d'o 
    $\dsp\lim_{x\to2} f(x)=3$. 

    Il n'y a pas d'asymptote en $x=2$: $f$ est continue en $x=2$. 
  \enit
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] $f$ est une fonction rationnelle, et donc, 
    $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x) =\lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3}{x^2}
    =\lim_{x\to-\infty}2x=-\infty$, et de mme, 

    $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x) =\lim_{x\to-\infty} 2x=+\infty$. 

  \item[b)] Pour tout $x\in\R\setminus\{1;2\}$, 
    $\dsp f(x)-(2x+1)=\frac{-2}{x-1}$. 

    On en dduit que $\dsp \lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-(2x+1)\rb=0$ et
    que $\dsp \lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-(2x+1)\rb=0$, et donc que la
    droite d'quation $y=2x+1$ est asymptote  $\mathcal{C}_f$ en
    $-\infty$ et $+\infty$. 
  \enit
\enit
\enex

\bgex
On considre la fonction dfinie sur $\R\setminus\{-1;1\}$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2-6}{x^2-1}$.

\bgit
\item[1.] {\it Etude d'une fonction auxiliaire}
  
  \vsp
  Soit le polynme $P(x)=x^3-3x+8$. 
  \bgit
  \item[a)] 
    \vspace{-1.5cm}
    \bgmp[t]{8.5cm}
$P$ est une fonction ploynme, donc somme de fonctions
    puissances drivables sur $\R$, et est donc drivable sur $\R$,
    avec,    
    pour tout $x\in\R$, 

    $P'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$. 
    \enmp\hspace{0.4cm}
    \bgmp{6cm}\vspace{1.cm}
    \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
      $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
      $P'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$& \\\hline
      &&&$10$&&&&$+\infty$\\
      $P(x)$ && \Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
      &$-\infty$&&&&$6$&&\\\hline
    \end{tabular}
    \enmp

    $P$ est une fonction polynme, donc ses limites en $-\infty$ et
    $+\infty$ sont celles de son terme de plus haut degr: 
    $\dsp \lim_{x\to -\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$, et 
    $\dsp \lim_{x\to +\infty}P(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$. 

  \item[b)] $P$ est une fonction drivable sur $]-\infty;-1]$,
      strictement croissante, avec $P(-1)=10>0$, et comme 
      $\dsp \lim_{x\to -\infty}=-\infty$, $P(x)<0$ pour $x$ rel assez
      grand ngativement. 

      Il existe donc un unique $\alpha\in]-\infty;-1[$ tel que
          $P(\alpha)=0$. 

          On trouve que $P(-2)=6>0$ et $P(-3)=-10<0$, donc
          $\alpha\in]-3;-2[$. 
      
          De la mme faon, on trouve $P(-2,5)\simeq -0,12<0$ 
          et $P(-2,4)\simeq 1,376>0$, donc \ul{$\alpha\in]-2,5;-2,4[$}. 

  \item[c)] On en dduit alors le signe de $P(x)$: 
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
        $x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
        $P(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    \end{tabular}

  \enit
  \vspd
\item[2.] {\it Etude des variations de $f$}
  \bgit
  \item[a)] $f$ est une fonction rationnelle donc, 
    $\dsp \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3}{x^2}=
    \lim_{x\to-\infty}2x=-\infty
    $, et de mme, 
    $\dsp \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3}{x^2}=
    \lim_{x\to+\infty}2x=+\infty
    $

  \item[b)] $\dsp\lim_{x\to1} (x^3+2x^2-6)=-3<0$, et 
    \limcdt{x\to1}{x<1}{x^2-1}{0} et $x^2-1<0$, 
    d'o \limcdt{x\to1}{x<1}{f(x)}{+\infty}.
    
    De mme, \limcdt{x\to1}{x>1}{f(x)}{-\infty}, 
    \limcdt{x\to-1}{x<-1}{f(x)}{-\infty}, et 
    \limcdt{x\to-1}{x>-1}{f(x)}{+\infty}.

    Les droites d'quation $x=-1$ et $x=1$ sont asymptotes 
    $\mathcal{C}_f$. 


    \hspace{-1cm}
    \bgmp{8cm}
  \item[c)] $f$ est une fonction rationnelle, quotient des fonctions
    polynmes $u:x\mapsto x^3+2x^2-6$ et $v:x\mapsto x^2-1$ qui sont
    drivables sur $\R$ avec $v(x)=0 \Longleftrightarrow x=-1$ ou
    $x=1$.
    Donc $f$ est drivable sur $\R\setminus\{-1;1\}$, et 

    $\dsp f'(x)=\frac{x^4-3x^2+8x}{(x^2-1)^2}=\frac{xP(x)}{(x^2-1)^2}$ 
    \enmp\hspace{0.2cm}
    \bgmp{8.5cm}
%    \begin{tabular}{|c|p{0.3cm}p{1pt}cccccccp{1pt}c|}\hline
        \begin{tabular}{|c|*{10}{p{0.35cm}}p{0.55cm}|}\hline
      $x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $+\infty$\\\hline
      $x$ && $-$ &$|$&$-$&$|$&$-$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline
      $P(x)$ && $-$ &\zb&$+$&$|$&$+$&$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline
      $(x^2-1)^2$ &&$+$ &$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\zb&$+$&\\\hline
      $f'(x)$ &&$+$ &\zb&$-$&\db&$-$&\zb&$+$&\db&$+$&\\\hline
      $f(x)$ 
      &&\Large{$\nearrow$}
      &&\Large{$\searrow$}
      &\psline(0,-.15)(0,0.4)\,\psline(0,-.15)(0,0.4)
          &\Large{$\searrow$}
      &&\Large{$\nearrow$}
      &\psline(0,-.15)(0,0.4)\,\psline(0,-.15)(0,0.4)&\Large{$\nearrow$}&\\\hline
    \end{tabular}
    \enmp

  \enit
  \vspd
\item[3.] {\it Asymptote  $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$}
  \bgit
  \item[a)] Pour tout $x\in\R\setminus\{-1;1\}$, 
    $\dsp f(x)=x+2+\frac{x-4}{x^2-1}$

  \item[b)] Soit $\Delta: y=x+2$, $\dsp f(x)-(x+2)=\frac{x-4}{x^2-1}$, 
    et donc, 

    \hspace{-1.cm}
    $\dsp\lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-(x+1)\rb
    =\lim_{x\to-\infty}\frac{x-4}{x^2-1}
    =\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$, 
    et de mme, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-(x+2)\rb=0$. 

    \ul{On en dduit que $\Delta:y=x+2$ est asymptote  $\mathcal{C}_f$ en
    $-\infty$ et $+\infty$}. 
  \enit
  \vspd
\item[4.] {\it Quelques tangentes  $\mathcal{C}_f$}
  \bgit
  \item[a)] $T$ a pour quation $T:y=f'(0)(x-0)+f(0)=6$. 

  \item[b)] La tangente  $\mathcal{C}_f$ est parallle  $\Delta$
    lorsque $f('x)=1$, 
    soit $x(x^3-3x+8)=(x^2-1)^2$, ou encore, 
    $x^2-8x+1=0$. 
    Cette quation du second degr, de discriminant $\Delta=60>0$,
    admet deux solutions relles distinctes: 
    $x_1=\frac{8-\sqrt{60}}{2}\simeq 0,13$ 
    $x_2=\frac{8+\sqrt{60}}{2}\simeq 9,93$. 

    On trouve donc, 
    $B(x_1;f(x_1))$ et $B(x_2;f(x_2))$, 
    soit \ul{environ $B(0,13;6)$ et $B'(7,87;9,93)$}.
    \enit
\enit
\enex

\bgex
$E$ le milieu de $[AB]$ et $G$ le barycentre
de $(A,-2)$, $(B,-2)$ et $(C,8)$. 

\vsp
\bgit
\item[1.] $E$ est le milieu de $[AB]$, donc, 
  $\V{EA}+\V{EB}=\V{0}$: $E$ le barycentre de $(A,1)$ et $(B,1)$
  (isobarycentre de $A$ et $B$).
  
\item[2.] $E$ est aussi le barycentre de $(A,-2)$ et $(B,-2)$, et
  donc, $G$ est le barycentre de $(E,-4)$ et $(C,8)$. 

  En particulier, les points $G$, $E$ et $C$ sont aligns. 

\item[3.] On a alors, 
  $-4\V{GE}+8\V{GC}=\V{0}$, soit aussi, 
  $-4\lp\V{GC}+\V{CE}\rp+8\V{GC}=\V{0}$, ou encore, 
  $4\V{GC}-4\V{CE}=\V{0}$, d'est--dire, 
  $\V{CG}+\V{CE}=\V{0}$: 
  \ul{$C$ est le milieu de $[EG]$}.

\enit
\enex


\bgex
Soit $G$ le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$ $(C,1)$ et 
$H$ le barycentre de $(A,1)$, $(B,-1)$ $(C,-1)$. 

Alors, pour tout point $M$ du plan: 
$\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}=3\V{MG}$ \ 
et,\ $\V{MA}-\V{MB}-\V{MC}=-\V{MH}$. 

\vsp
Ainsi, 
$\|\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}\|=3\|\V{MA}-\V{MB}-\V{MC}\|
\Longleftrightarrow
\|3\V{MG}\|=3\|\V{MH}\|
$
ou encore, $MG=MH$. 

\ul{L'ensemble des points recherchs est donc la mdiatrice de 
$[GH]$}.

\enex

\end{document}


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