Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=27cm
\textwidth=19.5cm
\oddsidemargin=-2cm
\topmargin=-1.5cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1.5cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir Surveill�}}
%\vspd\vspd
\bgex
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] $P(2)=2\tm8-5\tm4-2+6=0$, donc $2$ est une racine de $P$
qui se factorise donc par $(x-2)$:
$P(x)=(x-2)(2x^2-x-3)$.
Par ailleurs, $Q$ est un trin�me du second degr� de racine
�vidente $x_1=1$, et donc, comme $x_1 x_2=2$, $x_2=2$.
Ainsi, $Q(x)=(x-1)(x-2)$.
\vsp
On a alors, pour tout $x\in\R\setminus\{1;2\}$,
$\dsp f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}
=\frac{(x-2)(2x^2-x-3)}{(x-1)(x-2)}
=\frac{2x^2-x-3}{x-1}
$
\item[b)] $\dsp\lim_{x\to2} (2x^2-x-3)=3$ et
$\dsp\lim_{x\to2} (x-1)=1$, d'o�
$\dsp\lim_{x\to2} f(x)=3$.
Il n'y a pas d'asymptote en $x=2$: $f$ est continue en $x=2$.
\enit
\item[2.]
\bgit
\item[a)] $f$ est une fonction rationnelle, et donc,
$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x) =\lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3}{x^2}
=\lim_{x\to-\infty}2x=-\infty$, et de m�me,
$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x) =\lim_{x\to-\infty} 2x=+\infty$.
\item[b)] Pour tout $x\in\R\setminus\{1;2\}$,
$\dsp f(x)-(2x+1)=\frac{-2}{x-1}$.
On en d�duit que $\dsp \lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-(2x+1)\rb=0$ et
que $\dsp \lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-(2x+1)\rb=0$, et donc que la
droite d'�quation $y=2x+1$ est asymptote � $\mathcal{C}_f$ en
$-\infty$ et $+\infty$.
\enit
\enit
\enex
\bgex
On consid�re la fonction d�finie sur $\R\setminus\{-1;1\}$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2-6}{x^2-1}$.
\bgit
\item[1.] {\it Etude d'une fonction auxiliaire}
\vsp
Soit le polyn�me $P(x)=x^3-3x+8$.
\bgit
\item[a)]
\vspace{-1.5cm}
\bgmp[t]{8.5cm}
$P$ est une fonction ployn�me, donc somme de fonctions
puissances d�rivables sur $\R$, et est donc d�rivable sur $\R$,
avec,
pour tout $x\in\R$,
$P'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{6cm}\vspace{1.cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$P'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$& \\\hline
&&&$10$&&&&$+\infty$\\
$P(x)$ && \Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&&$6$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
$P$ est une fonction polyn�me, donc ses limites en $-\infty$ et
$+\infty$ sont celles de son terme de plus haut degr�:
$\dsp \lim_{x\to -\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$, et
$\dsp \lim_{x\to +\infty}P(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$.
\item[b)] $P$ est une fonction d�rivable sur $]-\infty;-1]$,
strictement croissante, avec $P(-1)=10>0$, et comme
$\dsp \lim_{x\to -\infty}=-\infty$, $P(x)<0$ pour $x$ r�el assez
grand n�gativement.
Il existe donc un unique $\alpha\in]-\infty;-1[$ tel que
$P(\alpha)=0$.
On trouve que $P(-2)=6>0$ et $P(-3)=-10<0$, donc
$\alpha\in]-3;-2[$.
De la m�me fa�on, on trouve $P(-2,5)\simeq -0,12<0$
et $P(-2,4)\simeq 1,376>0$, donc \ul{$\alpha\in]-2,5;-2,4[$}.
\item[c)] On en d�duit alors le signe de $P(x)$:
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$P(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\enit
\vspd
\item[2.] {\it Etude des variations de $f$}
\bgit
\item[a)] $f$ est une fonction rationnelle donc,
$\dsp \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3}{x^2}=
\lim_{x\to-\infty}2x=-\infty
$, et de m�me,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3}{x^2}=
\lim_{x\to+\infty}2x=+\infty
$
\item[b)] $\dsp\lim_{x\to1} (x^3+2x^2-6)=-3<0$, et
\limcdt{x\to1}{x<1}{x^2-1}{0} et $x^2-1<0$,
d'o� \limcdt{x\to1}{x<1}{f(x)}{+\infty}.
De m�me, \limcdt{x\to1}{x>1}{f(x)}{-\infty},
\limcdt{x\to-1}{x<-1}{f(x)}{-\infty}, et
\limcdt{x\to-1}{x>-1}{f(x)}{+\infty}.
Les droites d'�quation $x=-1$ et $x=1$ sont asymptotes �
$\mathcal{C}_f$.
\hspace{-1cm}
\bgmp{8cm}
\item[c)] $f$ est une fonction rationnelle, quotient des fonctions
polyn�mes $u:x\mapsto x^3+2x^2-6$ et $v:x\mapsto x^2-1$ qui sont
d�rivables sur $\R$ avec $v(x)=0 \Longleftrightarrow x=-1$ ou
$x=1$.
Donc $f$ est d�rivable sur $\R\setminus\{-1;1\}$, et
$\dsp f'(x)=\frac{x^4-3x^2+8x}{(x^2-1)^2}=\frac{xP(x)}{(x^2-1)^2}$
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{8.5cm}
% \begin{tabular}{|c|p{0.3cm}p{1pt}cccccccp{1pt}c|}\hline
\begin{tabular}{|c|*{10}{p{0.35cm}}p{0.55cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $+\infty$\\\hline
$x$ && $-$ &$|$&$-$&$|$&$-$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$P(x)$ && $-$ &\zb&$+$&$|$&$+$&$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$(x^2-1)^2$ &&$+$ &$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\zb&$+$&\\\hline
$f'(x)$ &&$+$ &\zb&$-$&\db&$-$&\zb&$+$&\db&$+$&\\\hline
$f(x)$
&&\Large{$\nearrow$}
&&\Large{$\searrow$}
&\psline(0,-.15)(0,0.4)\,\psline(0,-.15)(0,0.4)
&\Large{$\searrow$}
&&\Large{$\nearrow$}
&\psline(0,-.15)(0,0.4)\,\psline(0,-.15)(0,0.4)&\Large{$\nearrow$}&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enit
\vspd
\item[3.] {\it Asymptote � $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$}
\bgit
\item[a)] Pour tout $x\in\R\setminus\{-1;1\}$,
$\dsp f(x)=x+2+\frac{x-4}{x^2-1}$
\item[b)] Soit $\Delta: y=x+2$, $\dsp f(x)-(x+2)=\frac{x-4}{x^2-1}$,
et donc,
\hspace{-1.cm}
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\lb f(x)-(x+1)\rb
=\lim_{x\to-\infty}\frac{x-4}{x^2-1}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$,
et de m�me, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lb f(x)-(x+2)\rb=0$.
\ul{On en d�duit que $\Delta:y=x+2$ est asymptote � $\mathcal{C}_f$ en
$-\infty$ et $+\infty$}.
\enit
\vspd
\item[4.] {\it Quelques tangentes � $\mathcal{C}_f$}
\bgit
\item[a)] $T$ a pour �quation $T:y=f'(0)(x-0)+f(0)=6$.
\item[b)] La tangente � $\mathcal{C}_f$ est parall�le � $\Delta$
lorsque $f('x)=1$,
soit $x(x^3-3x+8)=(x^2-1)^2$, ou encore,
$x^2-8x+1=0$.
Cette �quation du second degr�, de discriminant $\Delta=60>0$,
admet deux solutions r�elles distinctes:
$x_1=\frac{8-\sqrt{60}}{2}\simeq 0,13$
$x_2=\frac{8+\sqrt{60}}{2}\simeq 9,93$.
On trouve donc,
$B(x_1;f(x_1))$ et $B(x_2;f(x_2))$,
soit \ul{environ $B(0,13;6)$ et $B'(7,87;9,93)$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex
$E$ le milieu de $[AB]$ et $G$ le barycentre
de $(A,-2)$, $(B,-2)$ et $(C,8)$.
\vsp
\bgit
\item[1.] $E$ est le milieu de $[AB]$, donc,
$\V{EA}+\V{EB}=\V{0}$: $E$ le barycentre de $(A,1)$ et $(B,1)$
(isobarycentre de $A$ et $B$).
\item[2.] $E$ est aussi le barycentre de $(A,-2)$ et $(B,-2)$, et
donc, $G$ est le barycentre de $(E,-4)$ et $(C,8)$.
En particulier, les points $G$, $E$ et $C$ sont align�s.
\item[3.] On a alors,
$-4\V{GE}+8\V{GC}=\V{0}$, soit aussi,
$-4\lp\V{GC}+\V{CE}\rp+8\V{GC}=\V{0}$, ou encore,
$4\V{GC}-4\V{CE}=\V{0}$, d'est-�-dire,
$\V{CG}+\V{CE}=\V{0}$:
\ul{$C$ est le milieu de $[EG]$}.
\enit
\enex
\bgex
Soit $G$ le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$ $(C,1)$ et
$H$ le barycentre de $(A,1)$, $(B,-1)$ $(C,-1)$.
Alors, pour tout point $M$ du plan:
$\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}=3\V{MG}$ \
et,\ $\V{MA}-\V{MB}-\V{MC}=-\V{MH}$.
\vsp
Ainsi,
$\|\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}\|=3\|\V{MA}-\V{MB}-\V{MC}\|
\Longleftrightarrow
\|3\V{MG}\|=3\|\V{MH}\|
$
ou encore, $MG=MH$.
\ul{L'ensemble des points recherch�s est donc la m�diatrice de
$[GH]$}.
\enex
\end{document}
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