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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: suites
Niveau
Première S
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, suite, définition par récurrence , maths, 1S, première S,
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: suites},
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    pdfkeywords={Mathématiques, suites}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


$1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir de mathématiques}}

\bgex
\bgen[a)]
\item 
  Soit $q\not=1$. 
  Donner une expression simplifiée de la somme\ \ 
  $1+q+q^2+\dots+q^n$. 
  
  Démontrer cette relation. 

\item Résoudre l'équation: \ 
  $\dsp 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$

\enen
\enex

\bgex
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. 
On sait de plus que $u_{50}=406$ et $u_{100}=806$. 

\bgen
\item Calculer la raison $r$ et $u_0$. 
\item Calculer la somme 
  $S=u_{50}+u_{51}+\dots+u_{100}$. 
\enen
\enex

\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$, et par la relation,
pour tout entier naturel~$n$, $\dsp u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n+1$. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$. 
  La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ? géométrique ? 

\item On pose, pour tout entier $n$, 
  $w_n=3u_n-2$. 

  Calculer $w_0$, $w_1$, $w_2$.

\item Prouver que la suite $(w_n)$ est géométrique. 

  Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en focntion de
  $n$. 

\item Déterminer alors la limite de $u_n$. 
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par 
$\la\bgar{ll} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\enar\right.$.

\bgen
\item Calculer les premiers termes de la suite 
  $u_1$, $u_2$, \dots\ ,$u_5$ (on donnera une valeurs sous forme
  décimale à $10^{-3}$ près).

\item 
    On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\geq0$ par 
    l'expression $f(x)=\sqrt{2+x}$.  

    \bgen[a)]
    \item Dresser le tableau de variations de $f$.

    \item Montrer que, pour tout réels $x$ et $y$ tels que \ 
      $0\leq y\leq x$\ ,\ \  
      $\dsp 0\leq f(x)-f(y)\leq \frac{x-y}{2\sqrt{2}}$.
      
    \item En déduire que pour tout entier $n$, \ 
      $\dsp 0\leq 2 - u_{n+1}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\lp 2-u_n\rp$

      (on pourra remarquer que $f(2)=2$). 

    \item Déduire alors de ce qui précède que pour tout entier
      $n$, 
      $\dsp 0\leq 2-u_n\leq \frac{1}{(2\sqrt{2})^n}\lp2-u_0\rp$

    \item Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ?
    \enen
\enen
\enex


\bgex
On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et 
$\dsp u_{n+1}=u_n+\frac{1+u_n}{1+2u_n}$.

\bgen
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. 

\item Soit $f$ la fonction telle que 
  $u_{n+1}=f(u_n)$. 

  Donner l'expression de $f$ et étudier son sens de variation. 
  
\item On admet que pour tout entier $n$, 
  $u_n\geq 0$. 

  \bgen[a)]
  \item Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante. 

  \item Soit la fonction $\dsp g:x\mapsto \frac{1+x}{1+2x}$. 

    Dresser le tableau de variations de $g$ et déterminer le minimum
    de $g$ sur $\R^+$. 
    
    En déduire que, pour tout entier $n$, \ 
    $\dsp u_{n+1}>u_n+\frac{1}{2}$. 

  \item Déduire de l'inégalité précédente que, 
    pour tout entier $n$, \ 
    $\dsp u_n>1+\frac{n}{2}$. 

    Déterminer alors la limite de $(u_n)$. 
  \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}


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