Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1S: suites},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
$1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$\ct{\bf \Large{Devoir de mathématiques}}
\bgex
\bgen[a)]
\item
Soit $q\not=1$.
Donner une expression simplifiée de la somme\ \
$1+q+q^2+\dots+q^n$.
Démontrer cette relation.
\item Résoudre l'équation: \
$\dsp 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$
\enen
\enex
\bgex
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$.
On sait de plus que $u_{50}=406$ et $u_{100}=806$.
\bgen
\item Calculer la raison $r$ et $u_0$.
\item Calculer la somme
$S=u_{50}+u_{51}+\dots+u_{100}$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$, et par la relation,
pour tout entier naturel~$n$, $\dsp u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n+1$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$.
La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ? géométrique ?
\item On pose, pour tout entier $n$,
$w_n=3u_n-2$.
Calculer $w_0$, $w_1$, $w_2$.
\item Prouver que la suite $(w_n)$ est géométrique.
Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en focntion de
$n$.
\item Déterminer alors la limite de $u_n$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par
$\la\bgar{ll} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\enar\right.$.
\bgen
\item Calculer les premiers termes de la suite
$u_1$, $u_2$, \dots\ ,$u_5$ (on donnera une valeurs sous forme
décimale à $10^{-3}$ près).
\item
On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\geq0$ par
l'expression $f(x)=\sqrt{2+x}$.
\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que, pour tout réels $x$ et $y$ tels que \
$0\leq y\leq x$\ ,\ \
$\dsp 0\leq f(x)-f(y)\leq \frac{x-y}{2\sqrt{2}}$.
\item En déduire que pour tout entier $n$, \
$\dsp 0\leq 2 - u_{n+1}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\lp 2-u_n\rp$
(on pourra remarquer que $f(2)=2$).
\item Déduire alors de ce qui précède que pour tout entier
$n$,
$\dsp 0\leq 2-u_n\leq \frac{1}{(2\sqrt{2})^n}\lp2-u_0\rp$
\item Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ?
\enen
\enen
\enex
\bgex
On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et
$\dsp u_{n+1}=u_n+\frac{1+u_n}{1+2u_n}$.
\bgen
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Soit $f$ la fonction telle que
$u_{n+1}=f(u_n)$.
Donner l'expression de $f$ et étudier son sens de variation.
\item On admet que pour tout entier $n$,
$u_n\geq 0$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
\item Soit la fonction $\dsp g:x\mapsto \frac{1+x}{1+2x}$.
Dresser le tableau de variations de $g$ et déterminer le minimum
de $g$ sur $\R^+$.
En déduire que, pour tout entier $n$, \
$\dsp u_{n+1}>u_n+\frac{1}{2}$.
\item Déduire de l'inégalité précédente que,
pour tout entier $n$, \
$\dsp u_n>1+\frac{n}{2}$.
Déterminer alors la limite de $(u_n)$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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