Source Latex: Devoir de mathématiques en Première STG


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Description
Annale BAC STG (CGRH) La Réunion 2008: étude de fonction (dérivée) et rentabilité d'une machine. Probabilités conditionnelle
Niveau
Première STG
Mots clé
Bac STG, fonctions, probabilités conditionnelles, dérivée, devoir de mathématiques, devoir corrigé, 1STG, maths, bac 2008
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Source Latex sujet du devoir

\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{array}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\vspace{0.6cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$ STG 
\hspace{2cm}{\bf \Large{Devoir de math�matiques}}
\vspd


\bgex {\it Baccalaur�at STG CGRH, La r�union, 23 juin 2008} 
\hfill {\bf 8 points}

\vspd
\textbf{Partie A}

\vspd

Une entreprise a re�u une nouvelle machine dont la complexit� n�cessite un apprentissage progressif. Ainsi, la production �volue en fonction du temps. L'�tude se fait sur les cinq premiers mois.

On note $x$ le nombre de mois �coul�s depuis l'installation de l'appareil.

La fonction donne le nombre de pi�ces, en milliers, fabriqu�es mensuellement par cette machine. Cette fonction est d�finie par :

\[f(x) = \dfrac{100x}{x+1}\quad 
\text{pour}~ x~\text{variant dans}~ [0~;~5].\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction d�riv�e $f'$ de $f$ sur [0~;~5] peut s'�crire sous la forme :

\[f'(x) = \dfrac{100}{(x + 1)^2}.\]

\item 	D�terminer le signe de $f'(x)$ sur [0~;~5] et en d�duire le tableau de variations de la fonction.
\item 	Recopier et compl�ter le tableau de valeurs suivant. \emph{On arrondira les r�sultats � l'unit�.}

\medskip

\begin{tabular}{|*{7}{p{1.4cm}|}}\hline
$x$	&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$f(x)$ &	&	&	&75 	&	&\\ \hline
\end{tabular}
\medskip

\item 	Repr�senter graphiquement la fonction $f$ sur du papier millim�tr�. \emph{On prendra pour unit�s : $2$~cm par mois sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour $\nombre{10000}$~pi�ces sur l'axe des ordonn�es.}
\item  On estime que la machine est rentable si elle produit au moins \nombre{80000}~pi�ces par mois. D�terminer graphiquement sur quelle p�riode la machine est rentable.
	\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour contr�ler la qualit� de production, on pr�l�ve $250$~pi�ces issues de cette machine.

On s'aper�oit que parmi elles $25$~pi�ces ont une masse inad�quate :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  10 sont trop lourdes
\item[$\bullet~$] 15 sont trop l�g�res.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On admet que cet �chantillon est repr�sentatif de l'ensemble de la production.

On pr�l�ve une pi�ce au hasard dans la production de la journ�e.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit� que la pi�ce pr�lev�e ait une masse inad�quate ?
\item   Sachant que la pi�ce pr�lev�e a une masse inad�quate, quelle est la probabilit� qu'elle soit trop lourde ?
\end{enumerate}

\enex

\end{document}

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