Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{array}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=27.cm
\textwidth=17.6cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\topmargin=-2.cm
\footskip=0cm
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\usepackage{lastpage}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace{0.6cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$ STG
\hspace{2cm}{\bf \Large{Devoir commun de math�matiques}}
\vspd
\bgex
\bgit
\item[1.] Le tableau suivant donne l'�volution du salaire minimum
interprofessionnel de croissance (SMIC):
\vsp
\ct{
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
\raisebox{0.3cm}[1cm]{Ann�e} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{\bgmp{2.5cm}SMIC horaire\\ en euros\enmp}
&
\raisebox{0.3cm}[1cm]{\bgmp{3.6cm}SMIC mensuel brut\\ en euros\enmp}
\\\hline
2004 & 7,61 & 1\,286,09 \\\hline
2003 & 7,19 & 1\,215,11 \\\hline
2002 & 6,83 & 1\,154,27 \\\hline
2001 & 6,67 & 1\,127,23 \\\hline
\end{tabular}
}
\vspq
\bgit
\item[a)] Calculer le taux d'�volution du SMIC entre les ann�es 2001
et 2004.
\vspd
\item[b)] Entre les ann�es 2000 et 2001, le SMIC a augment� de
4,2\,\%.
Calculer la valeur, en euros, du SMIC horaire en 2000.
%\vspd
%\item[c)] Entre les ann�es 2004 et 2005 le SMIC a augment� de
% 5,5\,\%.
% Calculer le taux d'augmentation du SMIC entre les ann�es 2001 et 2005.
\enit
\vspq
\item[2.] La s�curit� sociale rembourse 70\,\% des frais m�dicaux
d'une ordonnance et la mutuelle rembourse 90\,\% de la partie non
rembours�e par la s�curit� sociale.
\vspd
\bgit
\item[a)] Un patient a une ordonnance dont le montant s'�l�ve � 46
euros.
Combien va-t-il payer r�ellement cette ordonnance (apr�s
remboursements) ?
\vspd
\item[b)] Il reste 2,52\euro\ � la charge du malade apr�s des soins.
Quel �tait le montant de l'ordonnance avant les remboursements ?
%\vspd
%\item[c)] Quel est le pourcentage total de remboursement ?
\enit
\enit
\enex
\vspace{0.6cm}
\bgex On consid�re la s�rie statistique suivante:
\vspd
\ct{
\begin{tabular}{|c|*8{p{0.8cm}|}}\hline
Valeurs & 2 & 5& 7 & 8 & 10 & 15 & 16 \\\hline
Effectifs & 3 & 5& 3 &2 & 6 & 6 & 2 \\\hline
\end{tabular}
}
\vspq
\bgit
\item[1.] D�terminer la m�diane, les quartiles et l'�cart
inter-quartile associ�s � cette
s�rie.
\vspd
\item[2.] Repr�senter ces �l�ments statistiques par un diagramme en
bo�te sur l'axe gradu� en annexe~1.
\vspd
\item[3.] Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'�cart type $\sigma$
de cette s�rie.
\enit
\enex
\vspq
\bgex
Parmi 2\,500 personnes ayant achet� chacune un t�l�viseur, certaines
d'entre elles ont souscrit en m�me temps une assurance.
Celle-ci couvre la totalit� des d�penses li�es � d'�ventuelles pannes
pouvant survenir dans les trois ann�es qui suivent la date d'achat.
Trois ans plus tard, une enqu�te aupr�s de tous ces acheteurs a fourni
les r�sultats suivants:
\vsp
\bgit
\item 125 t�l�viseurs ont eu exactement une panne;
52\,\% des propri�taires de ces t�l�viseurs ont souscrit �
l'assurance;
\vsp
\item 75 t�l�viseurs ont eu exactement deux pannes;
48\,\% des propri�taires de ces t�l�viseurs n'ont pas souscrit �
l'assurance;
\vsp
\item aucun t�l�viseur n'a eu plus de deux pannes;
\vsp
\item parmi les propri�taires des t�l�viseurs qui n'ont eu aucune
panne, 40\,\% ont souscrit � l'assurance.
\vspd
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Montrer que 65 t�l�viseurs assur�s ont eu exactement une
panne, que 920 t�l�viseurs assur�s n'ont eu aucune panne,
et que 36 t�l�viseurs non assur�s ont eu exactement deux pannes.
\vsp
\item[b)] Compl�ter le tableau de l'annexe 2.
\enit
\vspq\hspace{-1.4cm}
{\it Les r�sultats des questions suivantes seront donn�s sous forme
d�cimale � $10^{-2}$ pr�s. }
\vspd
\item[2.] On t�l�phone au hasard � l'un des 2500 propri�taires de
t�l�viseurs.
On consid�re les �v�nements:
\hspace{1cm}$A$ : ``le propri�taire a souscrit � une assurance''.
\hspace{1cm}$B$ : ``le t�l�viseur du propri�taire a subi exactement deux pannes''
\vspd
\bgit
\item[a)] Calculer la probabilit� de $A$, not�e $P(A)$, et
calculer la probabilit� de $B$, not�e $P(B)$.
\vsp
\item[b)] D�crire par une phrase l'�v�nement $A\cap B$, puis
calculer la probabilit� de cet �v�nement.
\vsp
\item[c)] D�duire des questions pr�c�dentes la probabilit� de
l'�v�nement $A\cup B$.
\enit
\vspd
\item[3.]
D�terminer la probabilit� $P(C)$ de l'�v�nement
$C$ : ``le propri�taires n'a
pas eu de r�paration � payer pendant les trois ann�es pour
maintenir son poste en �tat de marche''.
\vspd
\item[4.] On t�l�phone maintenant au hasard � un propri�taire
parmi ceux ayant souscrit � une assurance lors de l'achat de
leur t�l�viseur.
\vsp
D�terminer dans ce cas la probabilit� $P'(D)$ de l'�v�nement
$D$ : ``le propri�taire contact� reconna�t que l'assurance
souscrite lui a �t� utile''.
\enit
\enit
\enex
\bgex %\hfill {\bf 6,5 points}
\vspd
Monsieur Dupr\'e, PDG d'une soci\'et\'e fabriquant du mobilier
urbain, s'int\'eresse au co\^ut unitaire de production, en euros,
ainsi qu'au b\'en\'efice r\'ealis\'e pendant une semaine.
On consid\`ere qu'il fabrique et vend par semaine $x$ lots de mobilier urbain
o\`u $x$ est un entier compris entre 0 et 100.
\vspt
\noindent \textbf{Partie A}\\
La courbe en annexe 3 repr\'esente le co\^ut de
production $f(x)$ en fonction du nombre $x$ de lots fabriqu\'es.\\
On fera figurer sur le graphique tous les trac\'es utiles.
\vspd
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer graphiquement le co\^ut
de production lorsque Monsieur Dupr\'e fabrique 70 lots.
Quelle autre quantit\'e de lots fabriqu\'es donne le m\^eme co\^ut
de production ?
\vspd
\item D\'eterminer graphiquement la quantit\'e de lots que
l'entreprise doit produire pour que le co\^ut soit minimal
et pr\'eciser la valeur de ce co\^ut.
\end{enumerate}
\vspq
\noindent \textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Chaque lot est vendu 65 euros.
Justifier que la recette r�alis�e lors de la vente de $x$ lots
fabriqu�s est donn�e par
$R(x)=65x$.
\vspd
Repr�senter sur le graphique de l'annexe 1 la courbe repr�sentative
de la fonction $R$.
\vsp
\item En d�duire graphiquement le nombre de lots que
peut fabriquer et vendre la soci�t� pour �tre rentable.
\vsp
\item On admet que le co\^ut de production unitaire $f(x)$ pour
$x$ lots produits est donn� par l'expression:
\[f(x) = x^2 - 84x + 5\,000.\]
\bgit
\item[a)] Calculer la fonction d�riv�e $f'(x)$.
\vspd
\item[b)] D�terminer l'�quation de la tangente $(T)$ � la courbe repr�sentative de
$f$ en $x=56$.
\enit
\end{enumerate}
\enex
\clearpage
\ct{\Large\bf Annexes � rendre avec la copie}
\vspace{1cm}
\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
\ul{Pr�nom:}
\hspace{5cm}\ul{Classe:}
\vspace{0.6cm}
{\bf \ul{Annexe 1:}}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,3)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-1,0)(21,0)
\multido{\i=0+2}{11}{
\psline[linewidth=0.5pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.4){\i}
}
\end{pspicture}
\vspace{0.6cm}
{\bf \ul{Annexe 2:}}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|}\cline{2-5}
&
\raisebox{0.2cm}[1cm]{
\bgmp{2.8cm}
Nombre de\\ t�l�viseurs ayant eu une\\ seule panne
\enmp}
&
\raisebox{0.2cm}[1.4cm]{
\bgmp{2.6cm}
Nombre de\\ t�l�viseurs ayant eu\\ deux pannes
\enmp}
&
\raisebox{0.2cm}[1cm]{
\bgmp{2.6cm}
Nombre de\\ t�l�viseurs n'ayant eu\\ aucune panne
\enmp}
&
\raisebox{0.3cm}[1cm]{\ \ \ Totaux\ \ \ } \\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{
\raisebox{0.5cm}[1.4cm]{
\bgmp{2.cm}
Nombre de t�l�viseurs assur�s
\enmp}}
&&&& \\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{
\raisebox{0.5cm}[1.4cm]{
\bgmp{2.2cm}
Nombre de t�l�viseurs non assur�s
\enmp}}
&&&& \\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{
\raisebox{0.5cm}[1.4cm]{
\bgmp{2.cm}
Totaux
\enmp}}
&
\raisebox{0.5cm}[1.4cm]{125} &
\raisebox{0.5cm}[1.4cm]{75} & &
\raisebox{0.5cm}[1.4cm]{2500}
\\\hline
\end{tabular}
\vspace{0.6cm}
{\bf \ul{Annexe 3:}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-0,3000)(112,8300)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,3000)(0,8200)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,3000)(115,3000)
\multido{\i=1+1}{11}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i0,2950)(\i0,8100)
\rput(\i0,2900){\i0}
}\rput(0,2900){0}
\multido{\i=30+5}{11}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,\i00)(112,\i00)
\rput(-5,\i00){\i00}
}
\psplot[linewidth=1.4pt]{0}{110}{
x x mul
84 x mul sub
5000 add}
\rput(-10,8300){$f(x)$ en euros}
\rput(135,3000){Nombre de lots $x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
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