Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{array}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=-0.5cm
\textheight=27.5cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1cm
\topmargin=-2.cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$ STG
\hspace{1cm}{\bf \Large{Correction du devoir surveill� de math�matiques}}
%\vspd\vspd
\bgex
Myriam a not� pendant un mois le nombre de textos qu'elle a envoy�s par
jour sur son t�l�phone portable:
\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|*{8}{p{0.8cm}|}}\hline
Nombre de textos & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline
Nombre de jours & 3 & 2 & 5 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 \\\hline
\end{tabular}}
\vspd
\bgit
\item[1)] Le nombre moyen de textos que Myriam envoie par
jour est :
$\dsp \overline{x}=
\frac{3\tm0+2\tm1+5\tm2+8\tm3+5\tm4+4\tm5+2\tm6+1\tm7}{30}
\simeq 3,2
$
\vspd
\item[2)] La variance de cette s�rie est alors:
\hspace{-1.5cm}
$\dsp V=
\frac{
3(0-\overline{x})^2+
2(1-\overline{x})^2+
5(2-\overline{x})^2+
8(3-\overline{x})^2+
5(4-\overline{x})^2+
4(5-\overline{x})^2+
2(6-\overline{x})^2+
1(7-\overline{x})^2}{30}
\simeq 3,14
$
L'�cart-type de cette s�rie est donc de \ul{$\sigma=\sqrt{V}\simeq 1,77$}.
\vspd
\item[3)] Myriam envoie en moyenne $3,2\tm30=96$ textos par mois, et
seulement exceptionnellement plus
$(3,2+\sigma)\tm30=(3,2+1,77)\tm30=149,1$ textos.
Un forfait de 100 textos sera assez souvent insuffisant, tandis
qu'un forfait de plus de 150 textos ne sera utile
qu'exceptionnellement.
\ul{Le forfait de 150 textos semble bien adapt�}.
\enit
\enex
\bgex
Dans une PMI, la pu�ricultrice a relev� les tailles, exprim�es en
centim�tre, des b�b�s:
\ct{
$54\ ;\ 52\ ;\ 60\ ;\ 58\ ;\ 66\ ;\ 74\ ;\ 68\ ;\
59\ ;\ 62\ ;\ 71\ ;\ 67\ ;\ 59\ ;\ 66\ ;\ 70\ ;\
62\ ;\ 70\ ;\ 58\ ;\ 66\ ;\ 60
$}
\vsp
\bgit
\item[1)]
Compl�ter le tableau suivant: \vsp
\hspace{-1cm}
\begin{tabular}{|p{2cm}|*{14}{p{0.6cm}|}|}\hline
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{Taille} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{52} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{54} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{58} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{59} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{60} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{62} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{66} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{67} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{68} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{70} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{71} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{74}\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{Effectifs} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{3} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1}\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{\parbox{2cm}{Effectifs\\cumul�s}} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{4} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{6} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{8} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{10} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{13} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{14} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{15} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{17} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{18} &
\raisebox{0.1cm}[0.8cm]{19}\\\hline
\end{tabular}
\vsp
\item[2)] La m�diane est la $10^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ valeur de la
s�rie: \ul{$M_e=62$}.
Le premier quartile est la $5^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$:
\ul{$Q_1=59$},
et le troisi�me quartile est la $14^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$:
\ul{$Q_3=67$}.
\begin{pspicture}(-1,0.6)(10,2)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,1)(14,1)
\psline[linewidth=1.4pt](1,1)(12,1)
\psline(1,.8)(1,1.2) \rput(1,0.2){$52$}
\psline(12,.8)(12,1.2)\rput(12,0.2){$74$}
\psline(4.5,0.4)(4.5,1.6)
\psline(8.5,0.4)(8.5,1.6)
\psline(4.5,1.6)(8.5,1.6)\psline(4.5,0.4)(8.5,0.4)
\psline(6,0.2)(6,1.8)
\end{pspicture}
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] Le montant des co�ts fixes est de : $f(0)=120$ euros.
\vspd
\item[2)] Pour 10 moteurs, le co�t total est de $f(10)=240$ euros, et
est de $f(30)=600$ euros pour 30 moteurs.
\vspd
\item[3)] La recette r�alis�e s'exprime, en euros, par $R(x)=24x$.
\vspd
\item[4)] Le b�n�fice r�alis� est la diff�rence entre la recette
$R(x)$ et les co�ts:
$\dsp B(x)=R(x)-f(x)=24x-\lp\frac{x^2}{5}+10x+120\rp
=-\frac{x^2}{5}+14x-120\ .
$
\vspace{-1.5cm}
\item[5)]
\bgmp[t]{9cm}
En d�veloppant, on obtient:
$\bgar{ll} \dsp
\frac{1}{5}(-x+10)(x-60)&\dsp=\frac{1}{5}(-x^2+70x-600)\\
&\hspace{-2cm}\dsp=-\frac{x^2}{5}+14x-120=B(x)
\enar$
\enmp
\bgmp{6cm}\vspace{1.5cm}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
$x$ & $0$ & & $10$ && $60$ && $+\infty$ \\\hline
$x-60$& & $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$& \\\hline
$-x+10$& & $+$ & \zb & $-$ & $|$ & $-$& \\\hline
$B(x)$ & & $-$ & \zb & $+$ & \zb & $-$& \\\hline
\end{tabular}
\enmp
Le b�n�fice est positif, donc la soci�t� est rentable, pour un nombre
de moteurs produits et vendus compris entre 10 et 60.
\item[6)]
\bgmp[t]{5cm}
$\dsp B(x)=-\frac{x^2}{5}+14x-120$.
$\dsp B'(x)=-\frac{2x}{5}+14$
\enmp
\bgmp{6.5cm}
\begin{tabular}[t]{|c|ccccc|}\hline
$x$& $0$ & & $35$ & & $+\infty$ \\\hline
$B'(x)$ & & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
&&&125&& \\
$B(x)$ & & \Large{$\nearrow$} &
& \Large{$\searrow$} & \\
&&& && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
Le b�n�fice maximum que peut esp�rer la soci�t� est de 125 euros,
pour 35 moteurs produits et vendus.
\enmp
\enit
\enex
\end{document}
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