Source Latex
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\paragraph{\fbox{Propri�t�}}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\settowidth{\lcorol}{Propri�t� \arabic{ncorol}}
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\stepcounter{ncorol}
}
\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{\ul{D�finition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Droites - Syst�mes}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\\$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STG$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-1cm}
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STG$
\vspace{1.2cm}
\bgex
\vspd
\bgit
\item[1)] On consid�re l'�quation $(\mathcal{D}) : y=3x+1$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Parmi les couples suivants, indiquer ceux qui sont
solutions de l'�quation $(\mathcal{D})$ :
\[ (1\ ;\ 2)\ ,\ (1\ ;\ 4)\ ,\ (-2\ ;\ -5)\ ,\ (1,25\ ;\ 2,5)\ ,\
(0,5\ ;\ 2,5)\ ,\ (-2,5\ ;\ -4,5)\ ,\ (2,1\ ;\ 7,3)
\]
\vspd
\item[b)] On note respectivement A, B, C, D, E, F, G les points dont
les coordonn�es sont les couples pr�c�dents.
\vsp
Placer dans un rep�re ces points.
\vspd
\item[c)] Quelle est la nature de l'ensemble $(\mathcal{D})$ ?
\vspd
\item[d)] D�terminer trois autres couples solutions de l'�quation
$(\mathcal{D})$.
\enit
\enit
\enex
\vspace{0.8cm}
\bgex
\vspd
\bgit
\item[1)] On consid�re l'�quation $(E) : 3x -2y=4$.
\bgit
\item[a)] Parmi les couples suivants, indiquer ceux qui sont
solutions de l'�quation $(E)$ :
\[ (1\ ;\ 1)\ ,\ (0\ ;\ -2)\ ;\ (\frac{2}{3}\ ;\ 1)\ ;\
(1,5\ ;\ 0,25)
\]
\vspd
\item[b)] D�terminer deux autres couples solutions de cette
�quation.
\vspd
\item[c)] Montrer que l'�quation $(E)$ est en fait celle d'une
droite $(d)$.
Tracer cette droite dans un rep�re.
\enit
\enit
\enex
\vspace{0.8cm}
\bgex
\vspd
\bgit
\item[1)] On consid�re le syst�me :
$\la\bgar{ll} 3x-2y=4 \\ 2x+y=5\enar\right.$.
\bgit
\vspd
\item[a)] En interpr�tant graphiquement chacune des �quations,
justifier que le syst�me admet une unique solution.
Pr�ciser cette solution.
\enit
\vspd
\item[2)] On consid�re le syst�me :
$\la\bgar{ll} 3x-2y=4 \\ 1,5x-y=3\enar\right.$.
\vspd
Ce syst�me admet-il une solution ? (on pourra interpr�ter
et repr�senter graphiquement chacune des deux �quations)
\enit
\enex
\clearpage
\section{Equations de droites}
\bgprop{
Toute droite $\mathcal{D}$, non parall�le � l'axe des ordonn�es,
admet une �quation de la forme $y=ax+b$.
\vspd
Cette �quation est appel�e \ul{�quation r�duite} de $\mathcal{D}$;
$a$ est le \ul{coefficient directeur} de la droite,
et $b$ son \ul{ordonn�e � l'origine}.
}
\vspd\noindent
\ul{Ex:}\ \ $(\mathcal{D}): y=3x+1$ \hspace{1cm}
$(\Delta): y=-5x+2$
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Toute droite d'�quation $y=ax+b$ est la
repr�sentation graphique de la fonction affine $f(x)=ax+b$.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,6)
\rput(-3,5){\ul{Ex.}\ \ $(D):y=2x-2$}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\rput(1,-0.3){$1$}\rput(-0.3,1){$1$}
\psplot{-0.8}{3.5}{2 x mul -2 add}\rput(4,5){$D$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(2,2)(3,2)
\rput(2.5,1.7){$1$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,2)(3,4)
\rput(3.8,3){$a=2$}
\psline(-0.2,-2)(0.2,-2)\rput(-1,-2){$b=-2$}
\end{pspicture}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:}
\ul{\ul{Toute}} droite $(D)$ admet une �quation \ul{g�n�rale} de la
forme: $ax+by=c$.
\vspq\noindent
\ul{Ex:} Ecrire chacune des �quations de droite suivantes sous forme
r�duite.
\vspd
\begin{tabular}[t]{p{0.3cm}p{6cm}p{4cm}}
&$\bullet\ (D): 3x-y=-1$ &
$\bullet\ (\Delta): 5x+y=2$ \vspd\\
&$\bullet\ (T): y=3$&
$\bullet\ (T'):x=1$
\end{tabular}
\bgprop{Le point $A(x_A;y_A)$ appartient � la droite
$(\mathcal{D}): y=ax+b$
si et seulement si ses coordonn�es v�rifient l'�quation de la
droite:
\[ A(x_A;y_A)\in(\mathcal{D}) \ \
\mbox{ si et seulement si } \ \
y_A=ax_A+b
\]
}
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
D�terminer l'�quation de la droite $(D)$ passant par les points
$A(-2;3)$ et $B(2;0)$.
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
D�terminer le coefficient directeur de la droite $(D)$ passant par les
points $A(2;8)$ et $B(-2;0)$.
\vspq\noindent
\ul{Cas g�n�ral:} La droite $(D)$ passant par les points $A(x_A;y_A)$
et $B(x_B;y_B)$ a pour �quation r�duite $(D): y=ax+b$.
\vspd
Or, $A(x_A;y_A)\in(D)$ et donc $y_A=ax_A+b$.
De m�me $B(x_B;y_B) \in(D)$ et donc $y_B=ax_B+b$.
\vspd
En r�sum�, les coefficients $a$ et $b$ v�rifient le syst�me:
$\la\bgar{ccccc}
y_A &=& a\, x_A &+& b \vsp\\
y_B &=& a\, x_B &+& b
\enar\right.
$
En soustrayant ces deux �quations, on obtient:
\hspace{0.76cm}
$y_A-y_B=a\,x_A-a\,x_B=a(x_A-x_B)$,
d'o�, $\dsp a=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$.
\vspace{-0.3cm}
\bgprop{
Le coefficient directeur de la droite $(\mathcal{D})$ passant par
les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, si $x_A\not=x_B$,
est
\[ a=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
}
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
D�terminer l'�quation de la droite $(D)$ passant par
$A(-1;3)$ et $B(3;-5)$.
\vspace{-0.2cm}
\bgprop{
Deux droites sont parall�les si et seulement si elles ont le m�me
coefficient directeur.
}
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
D�terminer, parmi les droites suivantes, celles qui sont parall�les:
\vspd
$\bullet\ (D_1): y=3x-2$\hspace{0.5cm}
$\bullet\ (D_2): y=3x+125$\hspace{0.5cm}
$\bullet\ (D_3): 6x-2y=-7$\hspace{0.5cm}
$\bullet\ (D_4): 18x+3y=2$
\section{Syst�mes d'�quations lin�aires}
\noindent
\ul{Ex:}
$\la\bgar{rcrcr}
3x &+& y &=& 5 \vsp\\
-x &+& 4y &=& -6
\enar\right.$
\hspace{0.5cm}
est un syst�me de deux �quations lin�aires � deux inconnues $x$ et
$y$.
\vspd
Le couple $(2;-1)$ est solution de ce syst�me car:
\[3\tm (2)+ (-1)=6-1=5\ \ \
\mbox{\ul{\ul{et}}}\ \ \ -(2)+4\tm(-1)=-2-4=-6
\]
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
Repr�senter graphiquement les droites
$(D): 2x+2y=4$ et $(D'): -x-2y=-5$.
\vspd
En d�duire les solutions du syt�me
$\la\bgar{rcrcr}
2x &+& 2y &=& 4 \vsp\\
-x &-& 2y &=& -5
\enar\right.$
\bgprop{
Les solutions d'un syst�me d'�quations lin�aires � deux inconnues
sont les couples de coordonn�es des points d'intersection de ces droites.
}
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
Quel est le nombre de solution des syst�mes suivants: \vspd
$\bullet\ (\mathcal{S}_1)
\la\bgar{rcrcr}
x &-& y &=& 3 \vsp\\
-4x &+& 2y &=& 0
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_2)
\la\bgar{rcrcr}
-12x &+& 4y &=& 8 \vsp\\
3x &-& y &=& -2
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_3)
\la\bgar{rcrcr}
4x &-& y &=& 10 \vsp\\
-8x &+& 2y &=& -4
\enar\right.$
\vspace{0.5cm}\noindent
\ul{Ex:}
R�soudre les syst�mes suivants: \vspd
$\bullet\ (\mathcal{S}_1)
\la\bgar{rcrcr}
2x &-& 3y &=& 7 \vsp\\
x &+& 5y &=& -3
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_2)
\la\bgar{rcrcr}
3x &+& 4y &=& 32 \vsp\\
7x &+& 6y &=& 58
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_3)
\la\bgar{rcrcr}
x &+& 3y &=& 10 \vsp\\
3x &+& 5y &=& 18
\enar\right.$\ \
\vspq
$\bullet\ (\mathcal{S}_4)
\la\bgar{rcrcr}
2x &-& 4y &=& 4 \vsp\\
x &-& 3y &=& 6
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_5)
\la\bgar{rcrcr}
3x &-& 5y &=& 3 \vsp\\
7x &+& 5y &=& 17
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_6)
\la\bgar{rcrcr}
\dsp \frac{x}{5} &-& \dsp \frac{y}{2} &=& 1 \vspd\\
-2x &+& \dsp \frac{y}{4} &=& 11
\enar\right.$\ \
\clearpage
\bgex
J'ai achet� 2 CD et 1 DVD pour 44 euros.
Le lendemain, dans le m�me magazin, j'ai achet�
3 CD et 2 DVD pour 75 euros.
Combien co�tent 1 CD et 1 DVD.
\enex
\bgex
Un particulier veut tapisser son salon.
Il choisit deux sortes de papier: du papier imprim� et du papier uni.
Il a besoin au total de 9 rouleaux de papier.
On lui annonce que s'il fait le choix de 3 rouleaux de papier imprim�
et 6 rouleaux de papier uni, le co�t s'�l�ve � 600 euros,
tandis que pour 4 rouleaux imprim�s et 5 rouleaux unis, le co�t est de
632 euros.
Quel est le prix d'un rouleau imprim� ? d'un rouleau uni ?
\enex
\bgex
Une somme de 2850 euros est pay�e avec 37 billets de 100 euros et de
50 euros.
Combien y avait-il de billets de chaque sorte ?
\enex
\bgex
R�soudre les syst�mes:
$\bullet\ (\mathcal{S}_4)
\la\bgar{rcrcr}
5x &+& 3y &=& 1 \vsp\\
2x &+& y &=& 3
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_5)
\la\bgar{rcrcr}
2x &-& 3y &=& -17 \vsp\\
-x &+& 9y &=& 46
\enar\right.$\ \
$\bullet\ (\mathcal{S}_6)
\la\bgar{rcrcr}
4x &+& 3y &=& 11 \vspd\\
3x &+& 4 &=& 2y
\enar\right.$\ \
\enex
\bgex
Dans cette pyramide, une brique est �gale � la somme des deux briques
qui la soutiennent.
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.2)(8,8)
\pspolygon(0,0)(12,0)(12,2)(0,2)
\pspolygon(3,0)(6,0)(6,2)(3,2)
\pspolygon(9,0)(12,0)(12,2)(9,2)
\rput(1.5,1){$2$}
\rput(4.5,1){$x$}
\rput(7.5,1){$y$}
\rput(10.5,1){$3$}
\pspolygon(1.5,2)(10.5,2)(10.5,4)(1.5,4)
\pspolygon(4.5,2)(7.5,2)(7.5,4)(4.5,4)
\pspolygon(3,4)(6,4)(6,6)(3,6)
\pspolygon(6,4)(9,4)(9,6)(6,6)
\rput(4.5,5){$8$}
\pspolygon(4.5,6)(7.5,6)(7.5,8)(4.5,8)
\rput(6,7){$20$}
\end{pspicture}
\vspd
D�terminer les valeurs de $x$, $y$, et des autres briques.
\enex
\end{document}
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