Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: G�n�ralit�s sur les fonctions},
pdftitle={G�n�ralit�s sur les fonctions},
pdfkeywords={Math�matiques, premi�re, 1�re,
STG, STMG, fonctions, fonction}
}
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\definecolor{gris2}{rgb}{.6,.6,.6}%gris clair
\definecolor{gris3}{rgb}{.5,.5,.5}%gris plus fonce
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.9cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\parindent=0.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\paragraph{\fbox{Propri�t�}}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
\newcounter{ncorol}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\lcorol}{Propri�t� \arabic{ncorol}}
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ncorol}
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{\ul{D�finition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}.\hspace{-0.3cm}}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace{0.4cm}\alph{subsubsection})\hspace{-0.3cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ \ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STMG$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ \ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STMG$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-1cm}
%\textheight=26.5cm
\voffset=0cm
\vspace*{-1.5cm}
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STMG$
\vspace*{-.5cm}
\paragraph{1 - Relev� de temp�ratures: courbes et fonctions}
Voici les relev�s des temp�ratures de l'eau et de l'air, au bord d'un
lac de montagne, pendant 24 heures.
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(30,31)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.5,0)(29,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-4.5)(0,30)
\multido{\i=0+1}{29}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,28)
}
\multido{\i=0+2}{15}{\rput(\i,-1){$\i$}}
\multido{\i=-4+2}{17}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(28,\i)
\rput(-0.8,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(0,2)(3,-1)(6,0)(7,2)(8,6)(9,14)(10,20)
(14.5,26)(22,6)(24,2)
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(0,4)(6,2)(15.5,7.8)
(22,4.2)(24,4)
\rput(18.1,25.2){Air}\rput(18.8,23.2){$y=f(t)$}
\rput(15.1,6.9){Eau}\rput(15.1,5){$y=g(t)$}
\end{pspicture}
On d�signe respectivement par $f$ et par $g$ les fonctions mesurant la
temp�rature en degr� Celsius de l'air et de l'eau, en fonction du
temps exprim� en heurs et d�sign� par la variable $t$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Traduire en langage courant les phrases suivantes:
\vspd
\hspace*{-.8cm}
\begin{tabular}{|c|p{9.2cm}|p{8.5cm}|}\hline
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage math�matique} }
& \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(17)=24$}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{
A 17 h, la temp�rature de l'air �tait de $24^\circ$~C.}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{L'image de $6$ par $g$ est 2.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 6 h, la temp�rature \ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{c.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Quels sont les ant�c�dents de $14$ par la fonction $f$ ?}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A quelle heure\ \dots ? }
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{d.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Le maximum de la fonction $f$ est 26 }
&
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Si $1<t<6$, alors $f(t)<0$. }
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 1 h et 6 h\ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)=g(7)$ }
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 7 h, \ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{g.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{R�soudre $f(t)=g(t)$. }
&
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{h.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f$ est strictement d�croissante sur $[14;24]$.}
&
\\\hline
\end{tabular}
\vspq
\item[2.] Traduire en langage math�matique les phrases suivantes:
%\vspd
\hspace{-.8cm}
\begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}}
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage math�matique}}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
A minuit, la temp�rature de l'eau �tait de $4^\circ$ C.}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
A quelle heure la temp�rature de l'eau est-elle de
$4^\circ$~C ? }
& \\\hline
\raisebox{0.3cm}[0.6cm]{c.}
&\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
A 8 h, la temp�rature de l'eau �tait inf�rieure � celle de
l'air. \enmp}
& \\\hline
\raisebox{0.3cm}[0.6cm]{d.}
&\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
A quelles heures la temp�rature de l'air est-elle sup�rieure
� celle de l'eau ? \enmp}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{La temp�rature minimale de l'eau est de
$2^\circ$ C.}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 6 h et 15 h, la temp�rature de
l'eau monte. }
& \\\hline
\end{tabular}
\enit
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.cm}
%\voffset=2cm
\paragraph{2 - A propos des fonctions: �l�ments caract�ristiques d'une
fonction}\ \\
\vspace{-0.5cm}
On dispose au sujet d'une fonction num�rique $f$ des renseignements
suivants:
\bgit
\item[$\bullet$] L'ensemble de d�finition de $f$ est
$\mathcal{D}_f=[-2;9]$
\vspd
\item[$\bullet$] Un tableau de valeurs de $f$ est:
\begin{tabular}{|*{12}{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 &4 & 5 & 5,5 & 8,5 \\\hline
$f(x)$ & 0 & 1,5 & 2,7 & 4 & 3 & 0 & $-2$ & $-3$ & $-2$ & $-1,5$ & $-2$ \\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[$\bullet$] Le tableau de variations de $f$:
\begin{tabular}{|c|*9{c}|}\hline
$x$ & $-2$ && 0 && 4 && 7 && 9 \\\hline
&&&4&&&&$-1$&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$} &&
\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&0&&&&$-3$&&&&$-3$\\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[$\bullet$] On sait d'autre part que la repr�sentation graphique
de $f$, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, est une courbe que
l'on peut tracer sans lever le crayon, et dont on fournit l'extrait
suivant:
\vspd
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-8,-4.5)(10,5)
\psline[linewidth=1.2pt](-8,0)(10,0)
\psline[linewidth=1.2pt](0,-4)(0,5)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
\multido{\i=-8+1}{19}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,5)
}
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-8,\i)(10,\i)
}
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(-2,0)(-1.5,1.5)(-1,2.7)(-0.85,3)(-0.5,3.6)(0,4)
(1,3)(1.5,1.6)(2,0)(3,-2)(4,-3)(5,-2)
\end{pspicture}
\enit
\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Compl�ter le tableau suivant:
\vspd
\hspace{-0.8cm}
\begin{tabular}{|c|*3{p{5.2cm}|}}\hline
& valeur trouv�e & exacte ou approch�e & renseignement(s) utilis�(s)
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-1)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-0,5)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(6)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(8)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-2,5)$} &&& \\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[2.] R�soudre les �quations propos�es, en remplissant le tableau
comme pr�c�demment:
\vsp
\hspace*{-0.9cm}
\begin{tabular}{|c|*3{p{5.cm}|}}\hline
& valeur(s) trouv�e(s) & exacte(s) ou approch�e(s) & renseignement(s) utilis�(s)
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=3$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-0,5$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-1$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2,5$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=5$} &&& \\\hline
\end{tabular}
\enit
\clearpage
\voffset=-1.cm
\section{Rappels}
\subsection{Courbe repr�sentative d'une fonction}
La courbe repr�sentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
$M(x;f(x))$, o� $x$ appartient � l'ensemble de d�finition de $f$.
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
\psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
\rput(1.7,-0.1){\footnotesize $x$}
\rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$y=f(x)$}}
\rput(2.1,0.8){\footnotesize $M(x;y)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\[M(x;y) \in \Cf \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
\]
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Ex:} Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression $f(x)=2x-1$.
Un point $M(x;y)$ est sur $\Cf$ si et seulement si $y=f(x)$,
c'est-�-dire si $y=2x-1$.
$\Cf$ est donc la droite d'�quation $y=2x-1$.
%\vspd\noindent
\bgex Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression
$f(x)=2x^2-3x+2$.
Indiquer les points qui appartiennent � $\Cf$:
$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$ \ ;\
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .
\vsp
Placer ces points dans un rep�re et tracer l'allure de $\Cf$.
\enex
\subsection{Fonctions usuelles}
\subsubsection{Fonctions affines}
Une fonction affine est une fonction dont l'expression est de la forme
$f(x)=ax+b$, o� $a$ et $b$ sont deux nombres r�els.
La courbe repr�sentative de la fonction affine $f(x)=ax+b$ est la
droite d'�quation $y=ax+b$.
\subsubsection{Fonction carr�}
La fonction carr� est la fonction $f$ d�finie pour tout $x$ r�el par:
\hspace{4cm}\fbox{$f(x)=x^2$}
%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$ && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
$f(x)$& $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2)(2.5,3.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)\rput(1,-0.3){$1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,4)(2,4)\rput(2,-0.3){$2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,4)
\rput(-0.2,1.2){$1$}
\rput(-0.2,3.8){$4$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsubsection{Fonction cube}
La fonction cube est la fonction $f$ d�finie pour tout $x$ r�el par
\fbox{$f(x)=x^3$}.
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&\Large{$\nearrow$}&\\
$f$ &&&$0$&& \\
&&\Large{$\nearrow$}&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
$f(x)$& $-8$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(2.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-9)(0,9)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul x mul}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(-2,0)\rput(-2,0.5){$-2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(0,-8)\rput(0.3,-8){$-8$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,0)\rput(-1,0.5){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)\rput(0.3,-1){$-1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)\rput(1,-0.5){$1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)\rput(-0.3,1){$1$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,8)\rput(2,-0.5){$2$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,8)(0,8)\rput(-0.3,8){$8$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsubsection{Fonction inverse}
\vspace{-0.4cm}
La fonction inverse est la fonction $f$ d�finie pour $x$ r�el
\ul{non nul} par \fbox{$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$}.
\psset{unit=1cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$ && \Large{$\searrow$} &
\psline(-0.05,-0.7)(-0.05,0.9)
\psline(0.05,-0.7)(0.05,0.9)
& \Large{$\searrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & -$1$ & -$0.5$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ \\\hline
$f(x)$& -$0.5$ & -$1$ & -$2$ &$0$ & $2$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}%\vspace{3cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2.2)(2.5,2.2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3.2,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,3)\rput(-0.1,-0.2){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-3}{-0.33}{1 x div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.33}{2.5}{1 x div}
\multido{\i=-2+1}{5}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-0.5)(0,-0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,-1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,-2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,-2)(0,-2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0.5)(0,0.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,2)(0,2)
\rput(-2,0.3){-$2$}\rput(-1.1,0.3){-$1$}\rput(-0.4,0.4){-$0.5$}
\rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(0.4,-0.4){$0.5$}
\rput(0.3,-2){-$2$}\rput(0.3,-1){-$1$}
\rput(-0.3,2){$2$}\rput(-0.3,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
\subsubsection{Fonction racine carr�e}
La fonction carr� est la fonction $f$ d�finie pour tout $x$ r�el
\ul{positif} par:
\fbox{$f(x)=\sqrt{x}$}
%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{5cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$ && \Large{$\nearrow$}& \\
&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{7cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
$x$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ & $4$ & $9$ \\\hline
$f(x)$& $0$ & $\simeq0.7$ & $1$ & $2$ & $\simeq1,4$ & $3$ \\\hline
\end{tabular}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0.5,-0.5)(2.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(9.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{9.5}{x sqrt}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,0.707)(0.5,0.707)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.707)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.414)(2,1.414)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,1.414)(2,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,2)(4,2)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](4,2)(4,0)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,3)(9,3)
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](9,3)(9,0)
\rput(-0.2,1){$1$}\rput(-0.2,2){$2$}\rput(-0.2,3){$3$}
\rput(1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(4,-0.3){$4$}
\rput(9,-0.3){$9$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex {\it (11 p 155)}
On consid�re les fonctions $f$ et $g$ d�finies sur $[-2;3]$ par
$f(x)=x^2$ et $g(x)=x$.
\bgit
\item[1.] Donner le tableau de variation de $f$ et $g$,
et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$
repr�sentatives des fonctions $f$ et $g$.
\vsp
\item[2.] R�pondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
est fausse:
\vsp
\bgit
\item[a)] Si $x>1$, alors $f(x)>2$
\vsp
\item[b)] Si $-2\leq x\leq 3$, alors $4\leq f(x)\leq 9$
\vsp
\item[c)] Si $x>2$, alors $f(x)>g(x)$
\vsp
\item[d)] Si $0\leq x\leq 1$, alors $f(x)\geq g(x)$
\vsp
\item[e)] Si $x<0$, alors $g(x)>f(x)$
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex {\it (12 p 155)}
On consid�re les fonctions $f$ et $g$ d�finies sur $]0;2]$ par
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$ et $g(x)=2x-1$.
\bgit
\item[1.] Donner le tableau de variation de $f$ et $g$,
et tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$
repr�sentatives des fonctions $f$ et $g$.
\vsp
\item[2.] R�pondre par vrai ou faux, en corrigeant si l'affirmation
est fausse:
\vsp
\bgit
\item[a)] Si $x>1$, alors $f(x)>1$
\vsp
\item[b)] Si $x<1$, alors $f(x)<1$
\vsp
\item[c)] Si $x>1$, alors $f(x)>g(x)$
\vsp
\item[d)] Si $0< x\leq 1$, alors $f(x)\geq 1$
\vsp
\item[e)] Si $x<2$, alors $f(x)>0,5$
\enit
\enit
\enex
\section{Equation $f(x)=k$}
Soit $k$ un nombre r�el fix�.
R�soudre l'�quation $f(x)=k$, d'inconnue $x$, consiste � d�terminer
toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x)=k$.
\bgmp{11cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.5)(0,4.5)
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(-5,1)(-4.2,2)(-3.2,2.5)(-2.6,2)(-1.5,-0.5)(-1,-1)
(0,-0.5)(1,0.5)(2,2)(4.5,4)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-5,2)(5,2)
\rput(-0.3,2.3){$k$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-4.2,0)(-4.2,2)\rput(-4.2,-0.3){$x_1$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-2.6,0)(-2.6,2)\rput(-2.6,-0.3){$x_2$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2,0)(2,2)\rput(2,-0.3){$x_3$}
\rput(4.8,4){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{6cm}
L'�quation $f(x)=k$ admet ici trois solutions,
$x_1$, $x_2$ et $x_3$:
\[ f(x_1)=k\ ;\ f(x_2)=k\ \mbox{ et } f(x_3)=k
\]
\enmp
\bgex
R�soudre les �quations: \vspd
a) $4x-7=-3x+7$ \qquad b) $-3x-1=-3x+2$ \qquad
c) $-4x+1=2x-5$ \qquad d) $7x-2=3+7x$
\enex
\bgex
Soit $f$ et $g$ les fonctions d�finies par $f(x)=3x-2$ et
$g(x)=2x+1$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Tracer les courbes repr�sentatives des fonctions $f$ et
$g$.
\vsp
\item[2.] R�soudre les �quations, graphiquement puis par le calcul:
\vsp
a) $f(x)=4$ \qquad
b) $g(x)=-2$ \qquad
c) $f(x)=g(x)$
\enit
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie par $f(x)=x^2+2$ et
$g$ la fonction constante $g(x)=5$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Tracer les courbes repr�sentatives des fonctions $f$ et
$g$.
\vsp
\item[2.] R�soudre les �quations, graphiquement puis par le calcul:
\vsp
a) $f(x)=6$
\qquad
b) $g(x)=4$
\qquad
c) $f(x)=g(x)$
\enit
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
$f(x)=2x^2-5x-3$.
\vsp
\bgit
\item[1.] D�velopper $(2x+1)(x-3)$.
\vsp
\item[2.] R�soudre l'�quation $f(x)=0$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
$f(x)=x^2-x+1$.
\vsp
\bgit
\item[1.] D�velopper $(x-2)(x+1)$.
\vsp
\item[2.] R�soudre l'�quation $f(x)=3$.
\enit
\enex
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgth{ \ul{Th�or�me des valeurs interm�diaires}\vspd
Si $f$ est une fonction strictement monotone sur $[a;b]$ et si $k$
appartient � l'intervalle $[f(a);f(b)]$ ou $[f(b);f(a)]$, alors
l'�quation $f(x)=k$ admet une solution unique dans $[a;b]$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(5.2,3.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.6,0)(5.2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2)(0,3.2)
\pscurve[linewidth=1.2pt]%,showpoints=true]
(0.6,3)(1.6,1)(4.6,-1.5)(5,-1)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.85,0)(0.85,2.4)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2.4)(0.85,2.4)
\put(0.75,-0.3){$a$}\put(-0.9,2.4){$f(a)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](4.5,0)(4.5,-1.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](4.5,-1.5)(0,-1.5)
\put(4.4,0.15){$b$}\put(-0.9,-1.5){$f(b)$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.2,1.)(5,1.)
\put(-0.6,1){$k$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](1.6,0)(1.6,1)
\put(1.5,-0.25){\footnotesize $\alpha$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-0.4cm}
\noindent
\bgmp{\textwidth}
\bgex
\bgmp[t]{12cm}\vspace{-1.cm}
Soit $f$ une fonction dont on donne le tableau de variation:
\vspt
Montrer que l'�quation $f(x)=4$ admet une solution unique dans
l'intervalle $[3;4]$.
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{6cm}\vspace{0.cm}
\begin{tabular}{|c|*5{c}|}\hline
$x$ & 1 && 3 && 4 \\\hline
&3&&&&6\\
$f(x)$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}& \\
&&&-21&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex
\enmp
\vspd
\noindent
\bgmp{\textwidth}
\bgex \vspace{-0.6cm}\\
\bgmp[t]{10.5cm}
Soit $f$ une fonction dont on donne le tableau de variation:
\vspt
Montrer que l'�quation $f(x)=2$ admet une solution unique dans
l'intervalle $[0;5]$.
\enmp\hspace{0.4cm}
\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$ & -1 && 0 && 2 && 5\\\hline
&&&1&&&&7\\
$f(x)$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&& \Large{$\nearrow$}& \\
&-3&&&&-3&&\\\hline
\end{tabular}
\enex
\enmp
\section{In�quation $f(x)<k$, ou $f(x)>k$}
Soit $k$ un nombre r�el fix�.
R�soudre l'in�quation $f(x)<k$, d'inconnue $x$, consiste � d�terminer
l'ensemble des valeurs de $x$ telles que $f(x)=k$.
\bgmp{10.5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,4.4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-5.4,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.5)(0,4.3)
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(-5,1)(-4.2,2)(-3.2,2.5)(-2.6,2)(-1.5,-0.5)(-1,-1)
(0,-0.5)(1,0.5)(2,2)(4.5,4)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-5,2)(5,2)
\rput(-0.3,2.3){$k$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-5,0)(-5,1)\rput(-5,-0.3){$a$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-4.2,0)(-4.2,2)\rput(-4.2,-0.3){$x_1$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-2.6,0)(-2.6,2)\rput(-2.6,-0.3){$x_2$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2,0)(2,2)\rput(2,-0.3){$x_3$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](4.5,0)(4.5,4)\rput(4.5,-0.3){$b$}
\rput(4.8,4){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{7.5cm}
$f(x)<k$ pour $a<x<x_1$ et $x_2<x<x_3$,
\vspd
ou,
\vspd
$f(x)<k$ pour $x\in[a;x_1]\cup[x_2;x_3]$
\enmp
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie par $f(x)=-2x+3$.
Tracer la courbe repr�sentative de $f$, et r�soudre graphiquement
l'in�quation $f(x)\leq 5$.
\enex
\vspd
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $[-5;5]$ par $f(x)=x^2$.
Tracer la courbe de $f$ et r�soudre l'in�quation
$f(x)\geq 3$.
\enex
\vspd
\bgex \vspace{-0.6cm}
Soit $f$ une fonction dont on donne le tableau de variation:
\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$ & -1 && 0 && 2 && 5\\\hline
&&&1&&&&7\\
$f(x)$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&& \Large{$\nearrow$}& \\
&-2&&&&-3&&\\\hline
\end{tabular}
\vspd
et un tableau de valeurs: \hspace{0.4cm}
\begin{tabular}{|c|*7{p{0.6cm}|}}\hline
$x$ & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
$f(x)$ & -2 & 1 & -2 & -3 & -2 & 3 & 7 \\\hline
\end{tabular}
\vspd
R�soudre les in�quations: $f(x)<-2$ et $f(x)\geq 3$.
\enex
\end{document}
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