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Description
Cours de mathématiques: proportions, pourcentages, réunion et intersection et proportions de proportions.
Niveau
1STG
Mots clé
proportion, pourcentage, intersection, reunion, proportion de proportion, première technologique et gestion, STG
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\documentclass[12pt]{article}
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\definecolor{gris1}{rgb}{.7,.7,.7}%gris clair
\definecolor{gris2}{rgb}{.6,.6,.6}%gris clair
\definecolor{gris3}{rgb}{.5,.5,.5}%gris plus fonce

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26cm
\topmargin=-2.2cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \paragraph{\fbox{Propri�t�}}% \arabic{ntheo}}
  %\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\newcounter{ncorol}
\setcounter{ncorol}{1}
\newlength{\lcorol}
\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\lcorol}{Propri�t� \arabic{ncorol}}
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  %\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-1.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ncorol}
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{D�finition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}.\hspace{-0.3cm}}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace{0.4cm}\alph{subsubsection})\hspace{-0.3cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Proportions}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\\$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STG$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-3cm}
%\textheight=26.5cm
%\voffset=2cm
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STG$

\paragraph{Activit�.} 
L'an pass�e, 29 �l�ves de terminale 1 et 26 �l�ves de terminale 2 ont
eu le baccalaur�at. 

\vsp
La classe de terminale 1 a-t-elle obtenue de meilleurs r�sultats ? 

\vsp
En fait, il y avait 35 �l�ves en terminale 1, tandis que la terminale
2 en comptait 31. 

\vsp
Quelle classe a obtenu les meilleurs r�sultats ?

\section{Proportions}

\bgdef{
  Les �l�ments qui constituent une \ul{population} sont les
  \ul{individus} de cette population.

  \ul{L'effectif} d'une population est le nombre d'individus qui la
  compose. 

%  \vspace{-0.4cm}
  \bgmp{10.5cm}
  Une \ul{sous-population} d'une population $E$ est une population
  dont tous les individus sont aussi des individus de $E$. 

  \vspq
  La \ul{proportion}, ou \ul{fr�quence}, ou \ul{pourcentage} d'une
  sous-population $A$ dans une population $E$ est le nombre 
  $\dsp\frac{n_A}{n_E}$, o� $n_A$ est l'effectif de $A$ et 
  $n_E$ est celui de $E$.

  \vspq
  Une proportion est un nombre r�el compris entre $0$ et $1$. 
  \enmp
  \bgmp{6cm}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2.8)(2,2)
    \psellipse(0,0)(2.5,1.2)
    \psellipse(1,0.4)(1,0.5)
    \rput(-2,-0.3){$E$}
    \psline{->}(0.2,-1.8)(1,-0.1)
    \rput(-0.5,-2){Sous-population de $E$}
  \end{pspicture}
  \enmp
}


\bgex {\it (Proportion de filles dans la classe)}

\noindent
L'ensemble des filles de la classe est une sous-population de la
population des �l�ves de la classe (qui est elle m�me une
sous-population des �l�ves du lyc�e \dots), 
dont la proportion est: 
$\dsp P_F=\frac{n_F}{N}=\dots$. 

La proportion des gar�ons de la classe est 
$\dsp P_G=\frac{n_G}{N}=\dots$. 

\vsp
\noindent\ul{Remarque:} $P_F+p_G=1$. 
\enex


\bgex {\it (1 p35)} 
Dans un groupe de 85 voyageurs d�barquant d'un avion en provenance de
Rome, 40 personnes sont de nationnalit� italienne. 

Calculer la proportion d'italiens dans ce groupe de voyageur. 
\enex

\bgex {\it (2 p35)} 
Dans une usine, 90 des 143 employ�s sont en gr�ve. 

Calculer le taux de gr�vistes.
\enex

\bgex {\it (3 p35}) 
Le 20 juillet 2004, l'Agence France Presse a publi� la d�p�che
suivante: 

{\it "L'Assembl�e a vot� solennellement mardi en premi�re lecture le
  projet de r�forme de l'assurance maladie, par 358 voix contre 195 et
  15 abstentions, apr�s 16 jours et 142 heures de d�bat."}

\vsp
\bgit
\item[1.] Calculer la proportion des d�put�s qui ont vot� pour ce 
  projet de r�forme.
  \vsp
\item[2.] Calculer la proportion des d�put�s qui ont vot� contre.
\enit
\enex

\bgex {\it (5 p35)} 
Entendu � la radio en juillet 2004: 
{\it "16 \% des Fran�ais ne partent pas en vacances, ce qui repr�sente dix
  millions de personnes"} 

D'apr�s cette information, quel est l'effectif de la population
fran�aise ? Est-ce r�aliste ?
\enex

\bgex {\it (8 p35)}
Lors d'une �lection, 4\,421 personnes ont pris part au vote, soit 
61,43 \% des �lecteurs inscrits. 

Combien y avait-il d'�lecteurs ?
\enex


\section{R�union, intersection d'ensembles et proportions}

\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgdef{
  On consid�re deux sous-populations $A$ et $B$ d'une m�me population
  $E$. 

  \bgit
  \item[$\bullet$] $A\cap B$ ($A$ "inter" $B$) est la sous-population
    des individus qui appartiennent \ul{� la fois} � la
    sous-population $A$ \ul{et} � la sous-population $B$.
  \item[$\bullet$] $A\cup B$ est la sous-population des individus qui
    appartiennent � la sous-population $A$ \ul{ou} � la
    sous-population $B$. 
  \enit
}
\enmp
\bgmp{6cm}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-3,-2.)(2,2)
    \psellipse(0,0)(3,2)
    \psellipse(-1,0.4)(1.2,0.5)
    \psellipse(1,0.)(1.4,1)
    \rput(-2.2,-1){$E$}
    \rput(-1.8,0.5){$A$}
    \rput(2.,-0.2){$B$}
  \end{pspicture}
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
$E$ est l'ensemble des nombres entiers compris entre $0$ et $20$. 

$A$ est la sous-population des nombres pairs: 
$A=\la 0;2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\ra$. 

$B$ est la sous-population des multiples de $3$: 
$B=\la 0;3;6;9;12;15;18\ra$. 

\vspd
Alors, $A\cap B=\la0;6;12;18\ra$
et $A\cup B=\la 0;2;3;4;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20\ra$.


\vspd\noindent
\bgmp{16cm}
\ul{Ex:} 

\bgmp{3cm}
$I=[2;7]$
\enmp
    \bgmp{10cm}
    \psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}(-10,-0.7)(10,0.8)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-10,0)(10,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.15)(0,0.15)\rput(0,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,0.1)(7,0.1)
      \psline[linewidth=0.5pt](2,-0.15)(2,0.15)\rput(2,0.5){$2$}
      \psline[linewidth=0.5pt](7,-0.15)(7,0.15)\rput(7,0.5){$7$}

      \psline[linestyle=dashed](-8,0.5)(-8,-5.2)
      \psline[linestyle=dashed](2,0.5)(2,-5.2)
      \psline[linestyle=dashed](3,0.5)(3,-5.2)
      \psline[linestyle=dashed](7,0.5)(7,-5.2)
    \end{pspicture}
    \enmp

\bgmp{3cm}
$I=[-8;3[$
\enmp
    \bgmp{10cm}
    \psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}(-10,-0.7)(10,0.8)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-10,0)(10,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.15)(0,0.15)\rput(0,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-8,0.1)(3,0.1)
      \psline[linewidth=0.5pt](-8,-0.15)(-8,0.15)\rput(-8,0.5){$-8$}
      \psline[linewidth=0.5pt](3,-0.15)(3,0.15)\rput(3,0.5){$3$}
    \end{pspicture}
    \enmp


\bgmp{3cm}
$I\cap J=[2;3[$
\enmp
    \bgmp{10cm}
    \psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}(-10,-0.7)(10,0.8)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-10,0)(10,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.15)(0,0.15)\rput(0,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,0.1)(3,0.1)
      \psline[linewidth=0.5pt](2,-0.15)(2,0.15)\rput(2,0.5){$2$}
      \psline[linewidth=0.5pt](3,-0.15)(3,0.15)\rput(3,0.5){$3$}
    \end{pspicture}
    \enmp

\bgmp{3cm}
$I\cup J=[-8;7]$
\enmp
    \bgmp{10cm}
    \psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}(-10,-0.7)(10,0.8)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-10,0)(10,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](0,-0.15)(0,0.15)\rput(0,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-8,0.1)(7,0.1)
      \psline[linewidth=0.5pt](-8,-0.15)(-8,0.15)\rput(-8,0.5){$-8$}
      \psline[linewidth=0.5pt](7,-0.15)(7,0.15)\rput(7,0.5){$7$}
    \end{pspicture}
    \enmp
\enmp






\paragraph{Activit�.} 
Une �tude m�n�e sur $n_E=1\,000$ personnes a donn� les r�sultats suivants. 

\vspd
\begin{tabular}{|l|*3{c|}}\hline
  & ont un ordinateur & n'ont pas d'ordinateur & Total \\\hline
  ont un t�l�viseur & 345 & 385 & 730 \\\hline
  n'ont pas de t�l�viseur & 75 & 195 & 270 \\\hline
  Total & 420 & 580 & 1000 \\\hline
\end{tabular}

\vsp
On d�signe par:

$A$ la sous-population des personnes qui poss�dent un ordinateur et $n_A$
son effectif, 

$B$ la sous-population des personnes qui poss�dent un t�l�viseur et
$n_B$ son effectif, 

\vspd
\bgit
\item[1.] D�terminer les effectifs, 
  $n_A$, $n_B$, $n_{A\cup B}$ et $n_{A\cap B}$. 
  Quelle relation relie ces effectifs ? 
  \vsp
\item[2.] Calculer les proportions 
  $p_A$, $p_B$, $p_{A\cup B}$ et $p_{A\cap B}$. 
  Quelle relation relie ces proportions ? 
\enit

\bgprop{
  On note $n_A$, $n_B$, $n_{A\cap B}$ et $n_{A\cup B}$ les effectifs,
  et $p_A$, $p_B$, $p_{A\cap B}$ et $p_{A\cup B}$ les proportions. 

\setlength{\fboxsep}{0.3cm}
  \vspd
  On a alors: \hspace{1cm}
  \fbox{$n_{A\cup B}=n_{A}+n_{B}-n_{A\cap B}$}

  \vspd
  d'o�, 
  $\dsp \frac{n_{A\cup B}}{n_E}=
  \frac{n_{A}}{n_E}+\frac{n_{B}}{n_E}-\frac{n_{A\cap B}}{n_E}$, 

  \vspd
  c'est-�-dire:  \hspace{1cm}
  \fbox{$p_{A\cup B}=p_{A}+p_{B}-p_{A\cap B}$}
}


\bgdef{
  Deux sous-populations $A$ et $B$ d'une m�me population $E$ sont
  disjointes lorsqu'elles ne poss�dent pas d'individu en commun: *

  $A\cap B=\emptyset$ 
  et alors $n_{A\cap B}=0$, 
  soit aussi $p_{A\cap B}=0$, 
  et donc, $p_{A\cup B}=p_A+p_B$.
}


\bgex {\it (17 p36)} 
Au cours de l'assembl�e g�n�rale du foyer soci-�ducatif d'un lyc�e,
les membres ont vot� � bulletins secrets le rapport moral et le
rapport financier pr�sent�s par le bureau. 

Le d�pouillement a permis d'�tablir que: 
\bgit
\item 64,8 \% des membres ont vot� en faveur du rapport moral;
\item 79,3 \% ont vot� en faveur du rapport financier;
\item 62,8 \% ont vot� en faveur des deux rapports. 
\enit
Calculer la proportion des membres ayant vot� en faveur du rapport
moral ou en faveur du rapport financier.
\enex


\bgex {\it (22 p36)} 
Dans un congr�s international, 87 \% des participants comprennent
l'anglais ou le fran�ais. 
En particulier, 82 \% des participants comprennent l'anglais et 72 \%
des participants comprennent le fran�ais. 

Calculer la proportion des participants qui comprennent l'anglais et
le fran�ais.
\enex


\bgex {\it (23 p36)}
Un examen est compos� d'une �preuve th�orique et d'une �preuve
pratique. 
Pour r�ussir l'examen, il faut r�ussir chacune des deux �preuves. 

Cette ann�e, la proportion de candidats ayant r�ussi l'�preuve
pratique est de 0,9, la proportion de candidats ayant r�ussi celle
th�orique est de 0,8, et la proportion de candidats ayant r�ussi au
moins une �preuve est de 0,95. 

Calculer la proportion de candidats ayant r�ussi l'examen.
\enex


\bgex {\it (24 p36)}
La soci�t� de transports d'une ville annonce que 60 \% des habitants
prennent le tramway ou l'autobus au moins une fois par mois; 
52 \% prennent le tramway et 57 \% prennnent l'autobus. 

D�terminer la proportion d'habitants de la ville qui prennent le
tramway et l'autobus au moins une fois par mois.
\enex


\section{Proportions de proportions}

On consid�re les populations $A$, $E$ et $F$ telles que: 
\vspd
\bgit
\item $A$ est une sous-population de $E$, de proportion 
  $\dsp p=\frac{n_A}{n_E}$
\item $E$ est une sous-population de $F$, de proportion 
  $\dsp p'=\frac{n'_E}{n_F}$
\enit

\vspt
La proportion de $A$ dans $F$ est: 
$\dsp P=\frac{n_A}{n_F}$. 
Or, $\dsp p\,p'=\frac{n_A}{n_E}\,\frac{n_E}{n_F}=P$.


\bgprop{
  Si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$, et $p'$ la proportion de
  $E$ dans $F$, alors la proportion de $A$ dans $F$ est $Pp\,p'$.
}


\bgex
Dans une famille, $\dsp\frac{2}{3}$ des membres sont musiciens. 
Parmi ceux-ci, les $\dsp\frac{3}{4}$ jouent du violon. 

\vsp
Quelle est la proportion des membres de la famille jouant du violon ?
\enex

On peut repr�senter la situation par un arbre de choix 
(ou de r�partition): 

\bgmp{11.5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(11,3)
  \rput(0,0){Famille}
  \psline(1,0)(3,1)\rput(2,1){$\frac{2}{3}$}
  \psline(1,0)(3,-1)\rput(2,-1){$\frac{1}{3}$}

  \rput(4.3,1.2){Musiciens}
  \rput(4.5,-1.2){Non musiciens}
  
  \psline(5.5,1.2)(7.5,2.2)\rput(6.5,2.1){$\frac{3}{4}$}
  \psline(5.5,1.2)(7.5,.2)\rput(6.5,.3){$\frac{1}{4}$}
  \rput(8.6,2.2){Violonistes}
  \rput(8.9,.2){Non violonistes}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{6cm}
La proportion des membres de la famille qui jouent du violon est: 
\[ P=\frac{3}{4}\tm\frac{2}{3}
=\frac{1}{2}
\]
\enmp

\bgex {\it (28 p37)} 
Une enqu�te aupr�s d'�l�ves fumeurs montre que 90 \% d'entre eux ont
d�j� essay� d'arr�ter de fumer et que parmi ces derniers, 60 \% ont
r�ussi � s'arr�ter plus d'un mois. 

Calculer la proportion d'�l�ves ayant r�ussi � s'arr�ter de fumer plus
d'un mois parmi les �l�ves fumeurs interrog�s.
\enex

\bgex {\it (30 p37)} 
Dans un lyc�e, la proportion des �l�ves de seconde qui sont pass�es en
premi�re est de 0,92. 
Parmi ces �l�ves pass�s en premi�re, la proportion des �l�ves qui ont
choisi d'aller en STG est de~0,35. 

Calculer la proportion d'�l�ves ayant choisi d'aller en STG parmi les
�l�ve qui �taient en seconde. 
\enex


\vspd
\psline[linewidth=0.5pt](1,0)(7,0)
\vspd

\bgex {\it (32 p38)} 
Le tableau suivant donne la r�partition des �l�ves �tudiant l'anglais
dans les trois classes de 
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$\ STG d'un lyc�e. \vspd

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
  Classes & $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$\ STG 1 
  & $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$\ STG 2 
  & $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$\ STG 3 \\\hline
  Effectif de la classe & 32 & 28 & 23 \\\hline
  Effectif �tudiant l'anglais & 24 & 21 & 17 \\\hline
\end{tabular}

\vspd
\bgit
\item[1.] 
  \bgit
  \item[a)] Pour chaque classe, d�terminer la proportion d'�l�ves
    �tudiant l'anglais. 
  \item[b)] Les �l�ves �tudiant l'anglais sont-ils r�partis
    proportionnellement aux effectifs des classes ? 
  \enit
\item[2.] Un nouvel �l�ve arrive en 
  $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$\ STG 3 et �tudie l'anglais. 
  La r�partition est-elle maintenant proportionnelle aux effectis. 
\enit
\enex

\end{document}

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