@ccueil Colles

Source LaTeX icone Cours_Suites



Fichier
Type: Document
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Cours de mathématiques, suites numériques: définition et exemples, suite définie par récurrence, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation d'une suite
Niveau
1STG
Mots clé
suites, suites numériques, suite arithmétique, suite géométrique, sens de variation, première technologique et gestion, STG
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
%\usepackage{pslatex}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathmatiques: suites numriques},
    pdftitle={Suites numriques},
    pdfkeywords={Mathmatiques, premire, 1re, 
      STG, STMG, suite, suites numriques, 
      suite arithmtique, suite gomtrique}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1.9cm
%
\definecolor{gris1}{rgb}{.7,.7,.7}%gris clair
\definecolor{gris2}{rgb}{.6,.6,.6}%gris clair
\definecolor{gris3}{rgb}{.5,.5,.5}%gris plus fonce

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=27cm
\topmargin=-2.2cm
\footskip=1cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Proprit \arabic{nprop}}
  \paragraph{\fbox{Proprit}}% \arabic{ntheo}}
  %\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\newcounter{ncorol}
\setcounter{ncorol}{1}
\newlength{\lcorol}
\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\lcorol}{Proprit \arabic{ncorol}}
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  %\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-1.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ncorol}
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Dfinition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}.}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numriques}%{Barycentres}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}STG$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-1cm}
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{re}}}STG$


\paragraph{\ul{Introduction:} Intrts simpleset composs. }
\ \\

On dispose d'un capital de $1\,000$ euros que l'on peut placer de deux
faons diffrentes: 
\bgit
\item {\it  intrts simples} au taux annuel de $10\%$. 
  Cela signifie que, chaque anne, on percevra le mme intrt $I$
  gal  $10\%$ du capital de dpart. 
  \vspd
\item {\it  intrts composs} au taux annuel de $4\%$. 
  Cela signifie que, chaque anne, le capital acquis augmente de $4\%$
  par rapport au capital de l'anne prcdente. 
\enit

\vspd
On note $s_n$ le capital acquis au bout de $n$ annes avec un taux
d'intrts simples, et $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ annes
avec un taux d'intrts composs. 

Par exemple, $s_0=c_0=1000$ est le capital initial, $s_1$ et $c_1$ sont les
capitaux  la fin de la premire anne, $s_2$ et $c_2$  la fin de la
deuxime anne \ \dots

\vspd
\bgit
\item[1.] Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $c_1$, $c_2$, $c_3$. 
  \vspd
\item[2.] Calculer $s_{20}$ et $c_{20}$. 
  \vspd
\item[3.] Dterminer, au bout de 50 ans, lequel des deux placements
  est le plus avantageux. 
  \vspd
\item[4.] Au bout de combien d'annes, le capital acquis
  atteindra-t-il $10\,000$ euros avec chacun de ces deux placements.
\enit


\vspq
\section{Dfinition}


\bgdef{
  Une {\bf suite numrique} est une liste de nombres rels, que l'on
  peut numroter avec les nombres entiers naturels 
  (0, 1, 2, 3, \dots).
}

\vspq\noindent
\ul{Ex:} Dans l'exercice prcdent du calcul du capital avec intrts
simples, on calcule le capital $s_n$ acquis la
$n^{\mbox{\scriptsize{me}}}$ anne; on numrote donc ici les annes 
partir de l'anne du placement initial. 

On note alors $s_1$ le capital acquis au bout de 1 an, 
$s_2$ au bout de 2 ans, $s_3$ \dots

\bgdef{{\bf Notations} 

  Une suite numrique se note gnralement $(u_n)$, l'indice
  $n$ reprsentant un nombre entier naturel. 

  Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$ 
  (le $n^{\mbox{\scriptsize{me}}}$ terme). 
}

\vspace{0.6cm}
\noindent
\bgmp{10cm}
\ul{Ex:} 
Soit $(u_n)$ la suite dfinie par $u_n=2n-3$, 
alors $u_0=-3$, $u_1=-1$, $u_2=1$, $u_3=3$ \dots 

\vspq
$u_{20}=\ \dots\ $ \vspq

$u_{50}=\ \dots\ $ \vspq

$u_{5250}=\ \dots\ $ \vspq

\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.)(5.5,1.4)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(4.8,0)\rput(5,0){$n$}
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3.5)(0,3.5)\rput(-0.2,3.7){$u_n$}
  \multido{\i=-3+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.4,\i){\i}
  }
  \multido{\i=0+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2)
  }
  \rput(0.85,-0.3){$1$}\rput(1.85,-0.3){$2$}
  \rput(3.85,-0.3){$3$}

%  \psplot[plotpoints=4,plotstyle=dots]{0}{3}{2 x mul -3 add}
  \rput(0,-3){$\bullet$}
  \rput(1,-1){$\bullet$}
  \rput(2,1){$\bullet$}
  \rput(3,2){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspace{0.6cm}
\bgex
Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$,
$u_{10}$ et $u_{100}$: 
\vsp

$\bullet$ \ $u_n=3n-5$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $u_n=(-1)^n$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $u_n=2\tm 3^n$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $\dsp u_n=\frac{n}{n+2}$ \hspace{1cm}

Reprsenter graphiquement les premiers termes de chacune de ces
suites. 
\enex


\paragraph{Dfinition d'une suite par rcurrence.}
On peut dfinir une suite en se donnant son premier terme $u_0$ et une
relation qui permet de calculer un terme de la suite  partir de son
prdcesseur: 
on connat $u_0$,  partir duquel on peut calculer $u_1$,  partir
duquel on peut calculer $u_2$, \ \dots

\vspq\noindent
\ul{Ex:} On dfinit la suite $(u_n)$ par 
  $\la\bgar{ll} u_0=1000 \\ u_{n+1}=1,04\,u_n\enar\right.$

\vspd
Alors, $u_0=1000$, 

$u_1=1,04\tm u_0=1,04\tm 1000=1040$, 

$u_2=1,04\tm u_1=1,04\tm 1040=1081,6$, 

$u_3=1,04\tm u_2= \ \dots$\hspace{1cm} 

\dots 

$u_{50}=1,04 \tm u_{49}$ \ \dots


\vspq
\bgex Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$,
$u_{10}$: 
\vspq

$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=u_n+2\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=2 \\ u_{n+1}=(u_n)^2\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=10 \\ u_{n+1}=u_n-5\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=3u_n\enar\right.$
\enex


\vspq
\bgex
Le chiffre d'affaire d'une socit augmente de 50\,000 euros chaque
anne. 

En 2010, le chiffre d'affaire tait de 300\,000 euros. 
On dsigne par $u_n$ le chiffre d'affaire de la socit l'anne 
$2010+n$. 
Ainsi, on a en 2010, $u_0=300\,000$. 

\bgen
\item Dterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
\item Exprimer le chiffre d'affaire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item Calculer le chiffre d'affaire pour 2020. 
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaire de
  2010  2011 ? et de 2011  2012 ?
\enen
\enex

\vspq
\bgex
Une entreprise prvoit d'augmenter sa production chaque mois de
10\,\%. 

Elle produit jusqu' maintenant 2\,000 pices par mois. 

On dsigne par $u_n$ le nombre de pices fabriques dans $n$ mois. 
Ainsi, par exemple, $u_0=2\,000$. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item Calculer $u_{10}$.
\enen
\enex


\vspq
\bgex
Le salaire d'un employ dans une grande surface d'quipement est
augment chaque anne d'une part fixe dont le montant est de 100
euros, et d'une part s'levant  3\,\% de son salaire de l'anne
prcdente. 

Le salaire  l'embauche de cet employ est de 1\,800 euros. 

\vsp
On note $u_n$ le salaire de l'employ aprs $n$ annes passes dans
l'entreprise. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item Calculer $u_{7}$.
\enen
\enex

\newpage%\clearpage
\section{Suites particulires}

\subsection{Suites arithmtiques}
\vspace{-0.4cm}

\bgdef{
  Une suite arithmtique est une suite dont chaque terme est
  obtenu en ajoutant la mme quantit $r$, appele {\bf raison} de la
  suite, au terme prcdent. 

  Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n + r$.
}


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(10,1)
  \newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
  \newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
  \multido{\i=1+2}{5}{
    \psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
    \rput(\i,.4){$+r$}
    \setcounter{cpt}{\i-1}
    \setcounter{indic}{\i/2}
    \rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
  }
  \put(10.8,-0.6){\dots}
  \put(9.8,-1){\dots}
  
  \psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
  \rput(13,.4){$+r$}
  \rput(12,-1){$u_{n}$}
  \rput(14,-1){$u_{n+1}$}
  \put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}

\vspq
\bgex
$\bullet$ La suite $(u_n)$ dfinie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$
par la relation $u_{n+1}=u_n+1$ est une suite arithmtique de raison
$r=1$. 
On a: $u_1=u_0+1=1$, $u_2=u_1+1=2$, \dots . 

$(u_n)$ est la suite des entiers naturels. 


\vspd\noindent
$\bullet$ Soit la suite $(w_n)$ dfinie par la relation $w_n=n^2+2$. 

Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$. La suite $(w_n)$ peut-elle tre
arithmtique ?

\enex


\bgprop{
  Soit $(u_n)$ une suite arithmtique de premier terme $u_0$ et de
  raison $r$, alors, pour tout entier $n$, 
  $u_n=u_0+nr$.
}



\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit la suite arithmtique $(u_n)$ de premier terme $u_0=-5$ et
de raison $r=2$. 

Calculer $u_{3002}$. 

\vspace{0.8cm}
$\bullet$ Soit la suite arithmtique $(v_n)$ de premier terme $v_2=1200$
et de raison $r=-10$. 

Calculer $v_{25}$. 
A partir de quel rang la suite est-elle ngative ? 
\enex


\subsection{Suites gomtriques}
\vspace{-0.4cm}

\bgdef{
  Une suite gomtrique est une suite dont chaque terme est
  obtenu en multipliant par la mme quantit $q$ , appele 
  {\bf raison} de la suite, le terme prcdent. 

  Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=q\tm u_n$
}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,1)
  %\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
  %\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
  \multido{\i=1+2}{5}{
    \psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
    \rput(\i,.4){$\tm q$}
    \setcounter{cpt}{\i-1}
    \setcounter{indic}{\i/2}
    \rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
  }
  \put(10.8,-0.6){\dots}
  \put(9.8,-1){\dots}
  
  \psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
  \rput(13,.4){$\tm q$}
  \rput(12,-1){$u_{n}$}
  \rput(14,-1){$u_{n+1}$}
  \put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}

\vspd\noindent
\ul{Ex:}
$\bullet$ La suite de nombres $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, \dots 
des puissances successives de $2$ est la suite gomtrique de raison
$q=2$ et de premier terme $u_0=1$. 

\vspd\noindent
$\bullet$ la suite $(v_n)$ de terme gnral $v_n=(-1)^n$, pour laquelle 
$v_0=1$, $v_1=-1$, $v_2=1$, $v_3=-1$, \dots 
est la suite gomtrique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=-1$.


\vspq
\bgprop{
  Soit $(v_n)$ une suite gomtrique de premier terme $v_0$ et de
  raison $q$, alors, pour tout entier $n$, 
  $v_n=v_0\tm q^n$.
}

\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit la suite gomtrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=0.2$ et de
raison $\dsp q=\frac{1}{4}$. 

\vspd\noindent
Calculer $u_1$, $u_{4}$ et $u_{20}$. 
\enex

\vspq
\bgex
 On utilise une feuille de papier, d'paisseur $e=0,5$ mm,
que l'on replie successivement en deux. 

\noindent
Quelle est l'paisseur de la feuille aprs le premier pliage ? 
aprs le deuxime ? aprs le $n^{\mbox{\scriptsize{me}}}$ ?
\enex

\vspt\noindent
Combien de fois faudrait-il replier cette feuille en deux pour obtenir une
paisseur suprieure  la hauteur de la tour Eiffel (environ 300 m) ?


\section{Sens de variation d'une suite}

\bgdef{
  Une suite $(u_n)$ est dite {\bf croissante} si, pour tout entier, 
  $u_{n+1}>u_n$. \vsp

  Une suite $(u_n)$ est dite {\bf dcroissante} si, pour tout entier, 
  $u_{n+1}>u_n$. \vsp

  Une suite $(u_n)$ est dite {\bf constante} lorsque pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=u_n$. 
}

\bgprop{
  Soit $(u_n)$ une suite arithmtique de raison $r$, alors, 
  \bgit
  \item si $r>0$, la suite est croissante 
    (car $u_{n+1}=u_n+r>u_n$)
  \item si $r<0$, la suite est dcroissante.
    (car $u_{n+1}=u_n+r<u_n$)
  \enit
}


\bgprop{
  Soit $(v_n)$ une suite gomtrique de raison $q$, alors
  \bgit
  \item si $q>1$, la suite est croissante 
    (car $u_{n+1}=q\tm u_n>u_n$)
  \item si $0<q<1$, la suite est dcroissante 
    (car $u_{n+1}=q\tm u_n<u_n$)
  \enit
}

\vspd
\bgex
Indiquer le sens de variation de chacune des suites suivantes, 
et les reprsenter graphiquement: 
\vspd

$\bullet$ la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=3n+2$. 

\vspd
$\bullet$ la suite arithmtique $(v_n)$ de premier terme $v_0=-5$ et
de raison $r=2$. 

\vspd
$\bullet$ la suite arithmtique $(w_n)$ de premier terme $w_0=7$ et
de raison $r=-3$. 

\vspd
$\bullet$ la suite gomtrique $(z_n)$ de premier terme $0,2$ et de
raison $q=1,1$. 
\enex

\clearpage
\pagestyle{empty}
\setcounter{nex}{0}
\bgex {\bf QCM}

\bgen
\item $(u_n)$ est une suite arithmtique de premier terme $u_0$ et de
  raison $r$. 
  \bgen[a.] 
  \item $u_0=-2$ et $r=3$, alors $u_4$ est gal  
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &7 & $\Box$ & 12 & $\Box$ & 10
    \end{tabular}

  \item $u_1=-5$ et $u_2=2$, alors $r$ est gal  
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &7 & $\Box$ & $-3$ & $\Box$ & $-7$
    \end{tabular}

  \item $u_3=2$ et $u_4=5$, alors $u_5$ est gal  
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &7 & $\Box$ & $8$ & $\Box$ & $9$
    \end{tabular}
  \enen

\vspd
\item $(u_n)$ est une suite arithmtique de premier terme
  $u_0=10\,000$ et de raison $r=-15$. 

  Alors $(u_n)$ est: 

    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &croisssante & $\Box$ & dcroissante & $\Box$ & constante
    \end{tabular}

\vspd
\item $(u_n)$ est une suite gomtrique de premier terme
  $u_0=7\,000$ et de raison $q=0,95$. 

  Alors $(u_n)$ est: 

    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &croisssante & $\Box$ & dcroissante & $\Box$ & constante
    \end{tabular}

\vspd
\item $(u_n)$ est une suite gomtrique de premier terme $u_0$ et de
  raison $q$. 

  \bgen[a.] 
  \item $u_0=3$ et $q=4$, alors $u_3$ est gal  
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &12 & $\Box$ & 48 & $\Box$ & 192
    \end{tabular}

  \item $u_1=5$ et $u_2=2$, alors $q$ est gal  
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &10 & $\Box$ & $0,4$ & $\Box$ & $2,5$
    \end{tabular}

  \item $u_3=2$ et $u_4=6$, alors $u_5$ est gal  
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &12 & $\Box$ & $18$ & $\Box$ & $36$
    \end{tabular}
  \enen

\vspd
\item Dans un placement  intrts composs au taux annuel de 2\,\%,
  les capitaux disponibles au bout d'un an, de 2 ans, de 3 ans, \dots,
  de $n$ ans, sont les termes d'une suite gomtrique de raison:  
  
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &2 & $\Box$ & $0,02$ & $\Box$ & $1,02$
    \end{tabular}

\vspd
\item On place un capital de 10\,000 euros  4\,\% par an avec
  intrts composs. 
  Au bout de deux ans, le capital est acquis est de: 
  
  \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
    $\Box$ &10\,800 euros & $\Box$ & 10\,816 euros 
    & $\Box$ & 10\,400 euros
  \end{tabular}
  
\vspd
\item La production d'une entreprise augmente de 5\,\% chaque
  anne. 
  Au bout de 5 ans, elle aura augment d'environ 
  
  \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
    $\Box$ &25\,\% & $\Box$ & 27\% & $\Box$ & 28\,\%
  \end{tabular}
  
\vspd
\item Un quipement informatique perd 20\,\% de sa valeur chaque
  anne. 
  Au bout de 5 ans, il aura perdu 

  \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4.5cm}}}
    $\Box$ &100\,\% de sa valeur 
    & $\Box$ & environ 33\% de sa valeur
    & $\Box$ & environ 67\,\% de sa valeur
  \end{tabular}

\enen
\enex

\vspt
\bgex
Un vhicule, achet en 2012 au prix de 23\,250 euros, se dprcie
chaque anne. 
Compte tenu du nombre de kilomtres parcourus chaque anne, le
vhicule perd chaque anne 20\,\% de sa valeur. 
Cette perte annuelle est calcule sur la valeur rsiduelle de l'ann
prcdente. 

\vsp
Pour tout entier $n$, on note $u_n$ la valeur rsiduelle du vhciule
l'anne $2012+n$. 

\bgen
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item En dduire la nature de la suite $(u_n)$. 
\item Calculer la valeur rsiduelle du vhicule en 2013, 2014 et
  2022. 
\enen
\enex


\bgex
On place un capital $C_0=6\,000$ euros  3,5\,\% par an avec intrts
composs. 
Cela signifie que les intrts d'une anne s'ajoutent au capital, et
que, l'anne suivante, ils raportent eux aussi des intrts. 

On note $C_n$ le capital obtenu (ou "valeur acquise") au bout de $n$
annes. 

\bgen
\item Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$. 
\item Donner pour tout entier $n$, l'expression de $C_{n+1}$ en
  fonction de $C_n$. 

  En dduire la nature de la suite $C_n$. 
\item Donner alors l'expression de $C_n$ en fonction de $n$, 
  et calculer le montant du capital acquis au bout de 20 ans. 
\enen
\enex

\bgex {\bf Remboursement d'un emprunt par annuit constante}

On rembourse un emprunt d'un montant $D$ au moyen d'annuits gales. 

Soit $i$ le taux de l'emprunt et $n$ le nombre d'annes de
remboursement, alors l'annuit constante $a$ est donne par la
formule:  \ 
\ $a=D\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$.

\bgen
\item Dterminer le montant de l'annuit constante pour un emprunt
  $D=350\,000$ euros effectu sur 15 ans au taux de 4\,\%. 
\item Quel est le prix total pay au bout de 15 ans. 
\enen
\enex

\bgex
Le nombre d'lves d'un lyce tait de 1\,000  la rentre 2009 et de
1\,070  la rentre 2010. 

\bgen
\item Dterminer le taux d'volution, sous forme de pourcentage, du
  nombre d'lves entre la rentre 2009 et la rentre 2010. 
\item On suppose que ce pourcentage d'augmentation reste constant. 
  On note $E_n$ le nombre d'lve  la rentre $2009+n$. 

  \bgen[a)] 
  \item Exprimer $E_{n+1}$ en fonction de $E_n$. 
  \item En dduire la nature de la suite $(E_n)$. 
  \item Dterminer le nombre d'lves en 2014. 
  \enen
\enen
\enex



\bgex Un artisan dsire acqurir en 2014 une machine qui vaut 19\,000 euros.  
Au 1$^\text{er}$ janvier 2010, il a plac pour cela la somme de
16\,000 euros,  intrts composs, au taux annuel de 3,75\,\%. 
On note $u_n$ le capital, exprim en euros, disponible au
1$^\text{er}$ janvier de l'anne $2010+n$. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir  l'unit). 
\item Disposera-t-il d'une somme suffisante en 2014 ?
\item Dterminer la somme qu'il devrait placer en 2010 pour disposer
  du capital ncessaire en 2014. 
\enen
\enex



\bgex
Un vhicule, dont le prix d'achat est de 18\,550 euros, 
est achet  crdit en 3 remboursements sur 3 ans. 

Les 3 remboursement sont nots $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 
Le plan de remboursement est tel que 
$U_1$, $U_2$ et $U_3$ sont les premiers termes d'une suite gomtrique
de raison $0,8$. 

\bgen
\item 
  \bgen[a)] 
  \item Ecrire $U_2$ en fonction de $U_1$. 
  \item Ecrire $U_3$ en fonction de $U_1$. 
  \enen

\item La somme des 3 remboursements est gale au prix d'achat du
  vhicule. 
  
  En dduire que $2,44\,U_1=18\,550$. 

\item Cacluler alors $U_1$, puis $U_2$ et $U_3$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

Haut de la page Haut de la page