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Description
Cours de mathématiques, suites numériques: définition et exemples, suite définie par récurrence, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation d'une suite
Niveau
1STG
Mots clé
suites, suites numériques, suite arithmétique, suite géométrique, sens de variation, première technologique et gestion, STG
Voir aussi:

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Source Latex

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours math�matiques: suites num�riques},
    pdftitle={Suites num�riques},
    pdfkeywords={Math�matiques, premi�re, 1�re, 
      STG, STMG, suite, suites num�riques, 
      suite arithm�tique, suite g�om�trique}
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%
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
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  %\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  %\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ncorol}
}

\newcounter{ndef}
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\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{D�finition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}.}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites num�riques}%{Barycentres}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STG$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-1cm}
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STG$


\paragraph{\ul{Introduction:} Int�r�ts simpleset compos�s. }
\ \\

On dispose d'un capital de $1\,000$ euros que l'on peut placer de deux
fa�ons diff�rentes: 
\bgit
\item {\it � int�r�ts simples} au taux annuel de $10\%$. 
  Cela signifie que, chaque ann�e, on percevra le m�me int�r�t $I$
  �gal � $10\%$ du capital de d�part. 
  \vspd
\item {\it � int�r�ts compos�s} au taux annuel de $4\%$. 
  Cela signifie que, chaque ann�e, le capital acquis augmente de $4\%$
  par rapport au capital de l'ann�e pr�c�dente. 
\enit

\vspd
On note $s_n$ le capital acquis au bout de $n$ ann�es avec un taux
d'int�r�ts simples, et $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ ann�es
avec un taux d'int�r�ts compos�s. 

Par exemple, $s_0=c_0=1000$ est le capital initial, $s_1$ et $c_1$ sont les
capitaux � la fin de la premi�re ann�e, $s_2$ et $c_2$ � la fin de la
deuxi�me ann�e \ \dots

\vspd
\bgit
\item[1.] Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $c_1$, $c_2$, $c_3$. 
  \vspd
\item[2.] Calculer $s_{20}$ et $c_{20}$. 
  \vspd
\item[3.] D�terminer, au bout de 50 ans, lequel des deux placements
  est le plus avantageux. 
  \vspd
\item[4.] Au bout de combien d'ann�es, le capital acquis
  atteindra-t-il $10\,000$ euros avec chacun de ces deux placements.
\enit


\vspq
\section{D�finition}


\bgdef{
  Une {\bf suite num�rique} est une liste de nombres r�els, que l'on
  peut num�roter avec les nombres entiers naturels 
  (0, 1, 2, 3, \dots).
}

\vspq\noindent
\ul{Ex:} Dans l'exercice pr�c�dent du calcul du capital avec int�r�ts
simples, on calcule le capital $s_n$ acquis la
$n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ann�e; on num�rote donc ici les ann�es �
partir de l'ann�e du placement initial. 

On note alors $s_1$ le capital acquis au bout de 1 an, 
$s_2$ au bout de 2 ans, $s_3$ \dots

\bgdef{{\bf Notations} 

  Une suite num�rique se note g�n�ralement $(u_n)$, l'indice
  $n$ repr�sentant un nombre entier naturel. 

  Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$ 
  (le $n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ terme). 
}

\vspace{0.6cm}
\noindent
\bgmp{10cm}
\ul{Ex:} 
Soit $(u_n)$ la suite d�finie par $u_n=2n-3$, 
alors $u_0=-3$, $u_1=-1$, $u_2=1$, $u_3=3$ \dots 

\vspq
$u_{20}=\ \dots\ $ \vspq

$u_{50}=\ \dots\ $ \vspq

$u_{5250}=\ \dots\ $ \vspq

\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.)(5.5,1.4)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(4.8,0)\rput(5,0){$n$}
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3.5)(0,3.5)\rput(-0.2,3.7){$u_n$}
  \multido{\i=-3+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.4,\i){\i}
  }
  \multido{\i=0+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2)
  }
  \rput(0.85,-0.3){$1$}\rput(1.85,-0.3){$2$}
  \rput(3.85,-0.3){$3$}

%  \psplot[plotpoints=4,plotstyle=dots]{0}{3}{2 x mul -3 add}
  \rput(0,-3){$\bullet$}
  \rput(1,-1){$\bullet$}
  \rput(2,1){$\bullet$}
  \rput(3,2){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspace{0.6cm}
\bgex
Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$,
$u_{10}$ et $u_{100}$: 
\vsp

$\bullet$ \ $u_n=3n-5$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $u_n=(-1)^n$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $u_n=2\tm 3^n$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $\dsp u_n=\frac{n}{n+2}$ \hspace{1cm}

Repr�senter graphiquement les premiers termes de chacune de ces
suites. 
\enex


\paragraph{D�finition d'une suite par r�currence.}
On peut d�finir une suite en se donnant son premier terme $u_0$ et une
relation qui permet de calculer un terme de la suite � partir de son
pr�d�cesseur: 
on conna�t $u_0$, � partir duquel on peut calculer $u_1$, � partir
duquel on peut calculer $u_2$, \ \dots

\vspq\noindent
\ul{Ex:} On d�finit la suite $(u_n)$ par 
  $\la\bgar{ll} u_0=1000 \\ u_{n+1}=1,04\,u_n\enar\right.$

\vspd
Alors, $u_0=1000$, 

$u_1=1,04\tm u_0=1,04\tm 1000=1040$, 

$u_2=1,04\tm u_1=1,04\tm 1040=1081,6$, 

$u_3=1,04\tm u_2= \ \dots$\hspace{1cm} 

\dots 

$u_{50}=1,04 \tm u_{49}$ \ \dots


\vspq
\bgex Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$,
$u_{10}$: 
\vspq

$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=u_n+2\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=2 \\ u_{n+1}=(u_n)^2\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=10 \\ u_{n+1}=u_n-5\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=3u_n\enar\right.$
\enex


\vspq
\bgex
Le chiffre d'affaire d'une soci�t� augmente de 50\,000 euros chaque
ann�e. 

En 2010, le chiffre d'affaire �tait de 300\,000 euros. 
On d�signe par $u_n$ le chiffre d'affaire de la soci�t� l'ann�e 
$2010+n$. 
Ainsi, on a en 2010, $u_0=300\,000$. 

\bgen
\item D�terminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
\item Exprimer le chiffre d'affaire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item Calculer le chiffre d'affaire pour 2020. 
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaire de
  2010 � 2011 ? et de 2011 � 2012 ?
\enen
\enex

\vspq
\bgex
Une entreprise pr�voit d'augmenter sa production chaque mois de
10\,\%. 

Elle produit jusqu'� maintenant 2\,000 pi�ces par mois. 

On d�signe par $u_n$ le nombre de pi�ces fabriqu�es dans $n$ mois. 
Ainsi, par exemple, $u_0=2\,000$. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item Calculer $u_{10}$.
\enen
\enex


\vspq
\bgex
Le salaire d'un employ� dans une grande surface d'�quipement est
augment� chaque ann�e d'une part fixe dont le montant est de 100
euros, et d'une part s'�levant � 3\,\% de son salaire de l'ann�e
pr�c�dente. 

Le salaire � l'embauche de cet employ� est de 1\,800 euros. 

\vsp
On note $u_n$ le salaire de l'employ� apr�s $n$ ann�es pass�es dans
l'entreprise. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item Calculer $u_{7}$.
\enen
\enex

\newpage%\clearpage
\section{Suites particuli�res}

\subsection{Suites arithm�tiques}
\vspace{-0.4cm}

\bgdef{
  Une suite arithm�tique est une suite dont chaque terme est
  obtenu en ajoutant la m�me quantit� $r$, appel�e {\bf raison} de la
  suite, au terme pr�c�dent. 

  Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n + r$.
}


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(10,1)
  \newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
  \newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
  \multido{\i=1+2}{5}{
    \psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
    \rput(\i,.4){$+r$}
    \setcounter{cpt}{\i-1}
    \setcounter{indic}{\i/2}
    \rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
  }
  \put(10.8,-0.6){\dots}
  \put(9.8,-1){\dots}
  
  \psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
  \rput(13,.4){$+r$}
  \rput(12,-1){$u_{n}$}
  \rput(14,-1){$u_{n+1}$}
  \put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}

\vspq
\bgex
$\bullet$ La suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$
par la relation $u_{n+1}=u_n+1$ est une suite arithm�tique de raison
$r=1$. 
On a: $u_1=u_0+1=1$, $u_2=u_1+1=2$, \dots . 

$(u_n)$ est la suite des entiers naturels. 


\vspd\noindent
$\bullet$ Soit la suite $(w_n)$ d�finie par la relation $w_n=n^2+2$. 

Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$. La suite $(w_n)$ peut-elle �tre
arithm�tique ?

\enex


\bgprop{
  Soit $(u_n)$ une suite arithm�tique de premier terme $u_0$ et de
  raison $r$, alors, pour tout entier $n$, 
  $u_n=u_0+nr$.
}



\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit la suite arithm�tique $(u_n)$ de premier terme $u_0=-5$ et
de raison $r=2$. 

Calculer $u_{3002}$. 

\vspace{0.8cm}
$\bullet$ Soit la suite arithm�tique $(v_n)$ de premier terme $v_2=1200$
et de raison $r=-10$. 

Calculer $v_{25}$. 
A partir de quel rang la suite est-elle n�gative ? 
\enex


\subsection{Suites g�om�triques}
\vspace{-0.4cm}

\bgdef{
  Une suite g�om�trique est une suite dont chaque terme est
  obtenu en multipliant par la m�me quantit� $q$ , appel�e 
  {\bf raison} de la suite, le terme pr�c�dent. 

  Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=q\tm u_n$
}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,1)
  %\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
  %\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
  \multido{\i=1+2}{5}{
    \psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
    \rput(\i,.4){$\tm q$}
    \setcounter{cpt}{\i-1}
    \setcounter{indic}{\i/2}
    \rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
  }
  \put(10.8,-0.6){\dots}
  \put(9.8,-1){\dots}
  
  \psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
  \rput(13,.4){$\tm q$}
  \rput(12,-1){$u_{n}$}
  \rput(14,-1){$u_{n+1}$}
  \put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}

\vspd\noindent
\ul{Ex:}
$\bullet$ La suite de nombres $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, \dots 
des puissances successives de $2$ est la suite g�om�trique de raison
$q=2$ et de premier terme $u_0=1$. 

\vspd\noindent
$\bullet$ la suite $(v_n)$ de terme g�n�ral $v_n=(-1)^n$, pour laquelle 
$v_0=1$, $v_1=-1$, $v_2=1$, $v_3=-1$, \dots 
est la suite g�om�trique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=-1$.


\vspq
\bgprop{
  Soit $(v_n)$ une suite g�om�trique de premier terme $v_0$ et de
  raison $q$, alors, pour tout entier $n$, 
  $v_n=v_0\tm q^n$.
}

\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit la suite g�om�trique $(u_n)$ de premier terme $u_0=0.2$ et de
raison $\dsp q=\frac{1}{4}$. 

\vspd\noindent
Calculer $u_1$, $u_{4}$ et $u_{20}$. 
\enex

\vspq
\bgex
 On utilise une feuille de papier, d'�paisseur $e=0,5$ mm,
que l'on replie successivement en deux. 

\noindent
Quelle est l'�paisseur de la feuille apr�s le premier pliage ? 
apr�s le deuxi�me ? apr�s le $n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ?
\enex

\vspt\noindent
Combien de fois faudrait-il replier cette feuille en deux pour obtenir une
�paisseur sup�rieure � la hauteur de la tour Eiffel (environ 300 m) ?


\section{Sens de variation d'une suite}

\bgdef{
  Une suite $(u_n)$ est dite {\bf croissante} si, pour tout entier, 
  $u_{n+1}>u_n$. \vsp

  Une suite $(u_n)$ est dite {\bf d�croissante} si, pour tout entier, 
  $u_{n+1}>u_n$. \vsp

  Une suite $(u_n)$ est dite {\bf constante} lorsque pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=u_n$. 
}

\bgprop{
  Soit $(u_n)$ une suite arithm�tique de raison $r$, alors, 
  \bgit
  \item si $r>0$, la suite est croissante 
    (car $u_{n+1}=u_n+r>u_n$)
  \item si $r<0$, la suite est d�croissante.
    (car $u_{n+1}=u_n+r<u_n$)
  \enit
}


\bgprop{
  Soit $(v_n)$ une suite g�om�trique de raison $q$, alors
  \bgit
  \item si $q>1$, la suite est croissante 
    (car $u_{n+1}=q\tm u_n>u_n$)
  \item si $0<q<1$, la suite est d�croissante 
    (car $u_{n+1}=q\tm u_n<u_n$)
  \enit
}

\vspd
\bgex
Indiquer le sens de variation de chacune des suites suivantes, 
et les repr�senter graphiquement: 
\vspd

$\bullet$ la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=3n+2$. 

\vspd
$\bullet$ la suite arithm�tique $(v_n)$ de premier terme $v_0=-5$ et
de raison $r=2$. 

\vspd
$\bullet$ la suite arithm�tique $(w_n)$ de premier terme $w_0=7$ et
de raison $r=-3$. 

\vspd
$\bullet$ la suite g�om�trique $(z_n)$ de premier terme $0,2$ et de
raison $q=1,1$. 
\enex

\clearpage
\pagestyle{empty}
\setcounter{nex}{0}
\bgex {\bf QCM}

\bgen
\item $(u_n)$ est une suite arithm�tique de premier terme $u_0$ et de
  raison $r$. 
  \bgen[a.] 
  \item $u_0=-2$ et $r=3$, alors $u_4$ est �gal � 
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &7 & $\Box$ & 12 & $\Box$ & 10
    \end{tabular}

  \item $u_1=-5$ et $u_2=2$, alors $r$ est �gal � 
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &7 & $\Box$ & $-3$ & $\Box$ & $-7$
    \end{tabular}

  \item $u_3=2$ et $u_4=5$, alors $u_5$ est �gal � 
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &7 & $\Box$ & $8$ & $\Box$ & $9$
    \end{tabular}
  \enen

\vspd
\item $(u_n)$ est une suite arithm�tique de premier terme
  $u_0=10\,000$ et de raison $r=-15$. 

  Alors $(u_n)$ est: 

    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &croisssante & $\Box$ & d�croissante & $\Box$ & constante
    \end{tabular}

\vspd
\item $(u_n)$ est une suite g�om�trique de premier terme
  $u_0=7\,000$ et de raison $q=0,95$. 

  Alors $(u_n)$ est: 

    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &croisssante & $\Box$ & d�croissante & $\Box$ & constante
    \end{tabular}

\vspd
\item $(u_n)$ est une suite g�om�trique de premier terme $u_0$ et de
  raison $q$. 

  \bgen[a.] 
  \item $u_0=3$ et $q=4$, alors $u_3$ est �gal � 
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &12 & $\Box$ & 48 & $\Box$ & 192
    \end{tabular}

  \item $u_1=5$ et $u_2=2$, alors $q$ est �gal � 
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &10 & $\Box$ & $0,4$ & $\Box$ & $2,5$
    \end{tabular}

  \item $u_3=2$ et $u_4=6$, alors $u_5$ est �gal � 
    
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &12 & $\Box$ & $18$ & $\Box$ & $36$
    \end{tabular}
  \enen

\vspd
\item Dans un placement � int�r�ts compos�s au taux annuel de 2\,\%,
  les capitaux disponibles au bout d'un an, de 2 ans, de 3 ans, \dots,
  de $n$ ans, sont les termes d'une suite g�om�trique de raison:  
  
    \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
      $\Box$ &2 & $\Box$ & $0,02$ & $\Box$ & $1,02$
    \end{tabular}

\vspd
\item On place un capital de 10\,000 euros � 4\,\% par an avec
  int�r�ts compos�s. 
  Au bout de deux ans, le capital est acquis est de: 
  
  \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
    $\Box$ &10\,800 euros & $\Box$ & 10\,816 euros 
    & $\Box$ & 10\,400 euros
  \end{tabular}
  
\vspd
\item La production d'une entreprise augmente de 5\,\% chaque
  ann�e. 
  Au bout de 5 ans, elle aura augment� d'environ 
  
  \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
    $\Box$ &25\,\% & $\Box$ & 27\% & $\Box$ & 28\,\%
  \end{tabular}
  
\vspd
\item Un �quipement informatique perd 20\,\% de sa valeur chaque
  ann�e. 
  Au bout de 5 ans, il aura perdu 

  \begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4.5cm}}}
    $\Box$ &100\,\% de sa valeur 
    & $\Box$ & environ 33\% de sa valeur
    & $\Box$ & environ 67\,\% de sa valeur
  \end{tabular}

\enen
\enex

\vspt
\bgex
Un v�hicule, achet� en 2012 au prix de 23\,250 euros, se d�pr�cie
chaque ann�e. 
Compte tenu du nombre de kilom�tres parcourus chaque ann�e, le
v�hicule perd chaque ann�e 20\,\% de sa valeur. 
Cette perte annuelle est calcul�e sur la valeur r�siduelle de l'ann�
pr�c�dente. 

\vsp
Pour tout entier $n$, on note $u_n$ la valeur r�siduelle du v�hciule
l'ann�e $2012+n$. 

\bgen
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
\item En d�duire la nature de la suite $(u_n)$. 
\item Calculer la valeur r�siduelle du v�hicule en 2013, 2014 et
  2022. 
\enen
\enex


\bgex
On place un capital $C_0=6\,000$ euros � 3,5\,\% par an avec int�r�ts
compos�s. 
Cela signifie que les int�r�ts d'une ann�e s'ajoutent au capital, et
que, l'ann�e suivante, ils raportent eux aussi des int�r�ts. 

On note $C_n$ le capital obtenu (ou "valeur acquise") au bout de $n$
ann�es. 

\bgen
\item Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$. 
\item Donner pour tout entier $n$, l'expression de $C_{n+1}$ en
  fonction de $C_n$. 

  En d�duire la nature de la suite $C_n$. 
\item Donner alors l'expression de $C_n$ en fonction de $n$, 
  et calculer le montant du capital acquis au bout de 20 ans. 
\enen
\enex

\bgex {\bf Remboursement d'un emprunt par annuit� constante}

On rembourse un emprunt d'un montant $D$ au moyen d'annuit�s �gales. 

Soit $i$ le taux de l'emprunt et $n$ le nombre d'ann�es de
remboursement, alors l'annuit� constante $a$ est donn�e par la
formule:  \ 
\ $a=D\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$.

\bgen
\item D�terminer le montant de l'annuit� constante pour un emprunt
  $D=350\,000$ euros effectu� sur 15 ans au taux de 4\,\%. 
\item Quel est le prix total pay� au bout de 15 ans. 
\enen
\enex

\bgex
Le nombre d'�l�ves d'un lyc�e �tait de 1\,000 � la rentr�e 2009 et de
1\,070 � la rentr�e 2010. 

\bgen
\item D�terminer le taux d'�volution, sous forme de pourcentage, du
  nombre d'�l�ves entre la rentr�e 2009 et la rentr�e 2010. 
\item On suppose que ce pourcentage d'augmentation reste constant. 
  On note $E_n$ le nombre d'�l�ve � la rentr�e $2009+n$. 

  \bgen[a)] 
  \item Exprimer $E_{n+1}$ en fonction de $E_n$. 
  \item En d�duire la nature de la suite $(E_n)$. 
  \item D�terminer le nombre d'�l�ves en 2014. 
  \enen
\enen
\enex



\bgex Un artisan d�sire acqu�rir en 2014 une machine qui vaut 19\,000 euros.  
Au 1$^\text{er}$ janvier 2010, il a plac� pour cela la somme de
16\,000 euros, � int�r�ts compos�s, au taux annuel de 3,75\,\%. 
On note $u_n$ le capital, exprim� en euros, disponible au
1$^\text{er}$ janvier de l'ann�e $2010+n$. 

\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir � l'unit�). 
\item Disposera-t-il d'une somme suffisante en 2014 ?
\item D�terminer la somme qu'il devrait placer en 2010 pour disposer
  du capital n�cessaire en 2014. 
\enen
\enex



\bgex
Un v�hicule, dont le prix d'achat est de 18\,550 euros, 
est achet� � cr�dit en 3 remboursements sur 3 ans. 

Les 3 remboursement sont not�s $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 
Le plan de remboursement est tel que 
$U_1$, $U_2$ et $U_3$ sont les premiers termes d'une suite g�om�trique
de raison $0,8$. 

\bgen
\item 
  \bgen[a)] 
  \item Ecrire $U_2$ en fonction de $U_1$. 
  \item Ecrire $U_3$ en fonction de $U_1$. 
  \enen

\item La somme des 3 remboursements est �gale au prix d'achat du
  v�hicule. 
  
  En d�duire que $2,44\,U_1=18\,550$. 

\item Cacluler alors $U_1$, puis $U_2$ et $U_3$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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