Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: suites num�riques},
pdftitle={Suites num�riques},
pdfkeywords={Math�matiques, premi�re, 1�re,
STG, STMG, suite, suites num�riques,
suite arithm�tique, suite g�om�trique}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\noin}{\noindent}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{\ul{D�finition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites num�riques}%{Barycentres}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STG$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-1cm}
\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STG$
\paragraph{\ul{Introduction:} Int�r�ts simpleset compos�s. }
\ \\
On dispose d'un capital de $1\,000$ euros que l'on peut placer de deux
fa�ons diff�rentes:
\bgit
\item {\it � int�r�ts simples} au taux annuel de $10\%$.
Cela signifie que, chaque ann�e, on percevra le m�me int�r�t $I$
�gal � $10\%$ du capital de d�part.
\vspd
\item {\it � int�r�ts compos�s} au taux annuel de $4\%$.
Cela signifie que, chaque ann�e, le capital acquis augmente de $4\%$
par rapport au capital de l'ann�e pr�c�dente.
\enit
\vspd
On note $s_n$ le capital acquis au bout de $n$ ann�es avec un taux
d'int�r�ts simples, et $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ ann�es
avec un taux d'int�r�ts compos�s.
Par exemple, $s_0=c_0=1000$ est le capital initial, $s_1$ et $c_1$ sont les
capitaux � la fin de la premi�re ann�e, $s_2$ et $c_2$ � la fin de la
deuxi�me ann�e \ \dots
\vspd
\bgit
\item[1.] Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $c_1$, $c_2$, $c_3$.
\vspd
\item[2.] Calculer $s_{20}$ et $c_{20}$.
\vspd
\item[3.] D�terminer, au bout de 50 ans, lequel des deux placements
est le plus avantageux.
\vspd
\item[4.] Au bout de combien d'ann�es, le capital acquis
atteindra-t-il $10\,000$ euros avec chacun de ces deux placements.
\enit
\vspq
\section{D�finition}
\bgdef{
Une {\bf suite num�rique} est une liste de nombres r�els, que l'on
peut num�roter avec les nombres entiers naturels
(0, 1, 2, 3, \dots).
}
\vspq\noindent
\ul{Ex:} Dans l'exercice pr�c�dent du calcul du capital avec int�r�ts
simples, on calcule le capital $s_n$ acquis la
$n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ann�e; on num�rote donc ici les ann�es �
partir de l'ann�e du placement initial.
On note alors $s_1$ le capital acquis au bout de 1 an,
$s_2$ au bout de 2 ans, $s_3$ \dots
\bgdef{{\bf Notations}
Une suite num�rique se note g�n�ralement $(u_n)$, l'indice
$n$ repr�sentant un nombre entier naturel.
Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$
(le $n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ terme).
}
\vspace{0.6cm}
\noindent
\bgmp{10cm}
\ul{Ex:}
Soit $(u_n)$ la suite d�finie par $u_n=2n-3$,
alors $u_0=-3$, $u_1=-1$, $u_2=1$, $u_3=3$ \dots
\vspq
$u_{20}=\ \dots\ $ \vspq
$u_{50}=\ \dots\ $ \vspq
$u_{5250}=\ \dots\ $ \vspq
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.)(5.5,1.4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(4.8,0)\rput(5,0){$n$}
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3.5)(0,3.5)\rput(-0.2,3.7){$u_n$}
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(4.2,\i)
\rput(-0.4,\i){\i}
}
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2)
}
\rput(0.85,-0.3){$1$}\rput(1.85,-0.3){$2$}
\rput(3.85,-0.3){$3$}
% \psplot[plotpoints=4,plotstyle=dots]{0}{3}{2 x mul -3 add}
\rput(0,-3){$\bullet$}
\rput(1,-1){$\bullet$}
\rput(2,1){$\bullet$}
\rput(3,2){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{0.6cm}
\bgex
Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$,
$u_{10}$ et $u_{100}$:
\vsp
$\bullet$ \ $u_n=3n-5$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $u_n=(-1)^n$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $u_n=2\tm 3^n$ \hspace{1cm}
$\bullet$ \ $\dsp u_n=\frac{n}{n+2}$ \hspace{1cm}
Repr�senter graphiquement les premiers termes de chacune de ces
suites.
\enex
\paragraph{D�finition d'une suite par r�currence.}
On peut d�finir une suite en se donnant son premier terme $u_0$ et une
relation qui permet de calculer un terme de la suite � partir de son
pr�d�cesseur:
on conna�t $u_0$, � partir duquel on peut calculer $u_1$, � partir
duquel on peut calculer $u_2$, \ \dots
\vspq\noindent
\ul{Ex:} On d�finit la suite $(u_n)$ par
$\la\bgar{ll} u_0=1000 \\ u_{n+1}=1,04\,u_n\enar\right.$
\vspd
Alors, $u_0=1000$,
$u_1=1,04\tm u_0=1,04\tm 1000=1040$,
$u_2=1,04\tm u_1=1,04\tm 1040=1081,6$,
$u_3=1,04\tm u_2= \ \dots$\hspace{1cm}
\dots
$u_{50}=1,04 \tm u_{49}$ \ \dots
\vspq
\bgex Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$,
$u_{10}$:
\vspq
$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=u_n+2\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=2 \\ u_{n+1}=(u_n)^2\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=10 \\ u_{n+1}=u_n-5\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{ll} u_0=1 \\ u_{n+1}=3u_n\enar\right.$
\enex
\vspq
\bgex
Le chiffre d'affaire d'une soci�t� augmente de 50\,000 euros chaque
ann�e.
En 2010, le chiffre d'affaire �tait de 300\,000 euros.
On d�signe par $u_n$ le chiffre d'affaire de la soci�t� l'ann�e
$2010+n$.
Ainsi, on a en 2010, $u_0=300\,000$.
\bgen
\item D�terminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Exprimer le chiffre d'affaire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer le chiffre d'affaire pour 2020.
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaire de
2010 � 2011 ? et de 2011 � 2012 ?
\enen
\enex
\vspq
\bgex
Une entreprise pr�voit d'augmenter sa production chaque mois de
10\,\%.
Elle produit jusqu'� maintenant 2\,000 pi�ces par mois.
On d�signe par $u_n$ le nombre de pi�ces fabriqu�es dans $n$ mois.
Ainsi, par exemple, $u_0=2\,000$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_{10}$.
\enen
\enex
\vspq
\bgex
Le salaire d'un employ� dans une grande surface d'�quipement est
augment� chaque ann�e d'une part fixe dont le montant est de 100
euros, et d'une part s'�levant � 3\,\% de son salaire de l'ann�e
pr�c�dente.
Le salaire � l'embauche de cet employ� est de 1\,800 euros.
\vsp
On note $u_n$ le salaire de l'employ� apr�s $n$ ann�es pass�es dans
l'entreprise.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_{7}$.
\enen
\enex
\newpage%\clearpage
\section{Suites particuli�res}
\subsection{Suites arithm�tiques}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une suite arithm�tique est une suite dont chaque terme est
obtenu en ajoutant la m�me quantit� $r$, appel�e {\bf raison} de la
suite, au terme pr�c�dent.
Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n + r$.
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(10,1)
\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
\multido{\i=1+2}{5}{
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
\rput(\i,.4){$+r$}
\setcounter{cpt}{\i-1}
\setcounter{indic}{\i/2}
\rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
}
\put(10.8,-0.6){\dots}
\put(9.8,-1){\dots}
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
\rput(13,.4){$+r$}
\rput(12,-1){$u_{n}$}
\rput(14,-1){$u_{n+1}$}
\put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}
\vspq
\bgex
$\bullet$ La suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=0$ et pour tout entier $n$
par la relation $u_{n+1}=u_n+1$ est une suite arithm�tique de raison
$r=1$.
On a: $u_1=u_0+1=1$, $u_2=u_1+1=2$, \dots .
$(u_n)$ est la suite des entiers naturels.
\vspd\noindent
$\bullet$ Soit la suite $(w_n)$ d�finie par la relation $w_n=n^2+2$.
Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$. La suite $(w_n)$ peut-elle �tre
arithm�tique ?
\enex
\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite arithm�tique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$, alors, pour tout entier $n$,
$u_n=u_0+nr$.
}
\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit la suite arithm�tique $(u_n)$ de premier terme $u_0=-5$ et
de raison $r=2$.
Calculer $u_{3002}$.
\vspace{0.8cm}
$\bullet$ Soit la suite arithm�tique $(v_n)$ de premier terme $v_2=1200$
et de raison $r=-10$.
Calculer $v_{25}$.
A partir de quel rang la suite est-elle n�gative ?
\enex
\subsection{Suites g�om�triques}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une suite g�om�trique est une suite dont chaque terme est
obtenu en multipliant par la m�me quantit� $q$ , appel�e
{\bf raison} de la suite, le terme pr�c�dent.
Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=q\tm u_n$
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,1)
%\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
%\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
\multido{\i=1+2}{5}{
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
\rput(\i,.4){$\tm q$}
\setcounter{cpt}{\i-1}
\setcounter{indic}{\i/2}
\rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
}
\put(10.8,-0.6){\dots}
\put(9.8,-1){\dots}
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
\rput(13,.4){$\tm q$}
\rput(12,-1){$u_{n}$}
\rput(14,-1){$u_{n+1}$}
\put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
$\bullet$ La suite de nombres $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, \dots
des puissances successives de $2$ est la suite g�om�trique de raison
$q=2$ et de premier terme $u_0=1$.
\vspd\noindent
$\bullet$ la suite $(v_n)$ de terme g�n�ral $v_n=(-1)^n$, pour laquelle
$v_0=1$, $v_1=-1$, $v_2=1$, $v_3=-1$, \dots
est la suite g�om�trique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=-1$.
\vspq
\bgprop{
Soit $(v_n)$ une suite g�om�trique de premier terme $v_0$ et de
raison $q$, alors, pour tout entier $n$,
$v_n=v_0\tm q^n$.
}
\vspd
\bgex
$\bullet$ Soit la suite g�om�trique $(u_n)$ de premier terme $u_0=0.2$ et de
raison $\dsp q=\frac{1}{4}$.
\vspd\noindent
Calculer $u_1$, $u_{4}$ et $u_{20}$.
\enex
\vspq
\bgex
On utilise une feuille de papier, d'�paisseur $e=0,5$ mm,
que l'on replie successivement en deux.
\noindent
Quelle est l'�paisseur de la feuille apr�s le premier pliage ?
apr�s le deuxi�me ? apr�s le $n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ?
\enex
\vspt\noindent
Combien de fois faudrait-il replier cette feuille en deux pour obtenir une
�paisseur sup�rieure � la hauteur de la tour Eiffel (environ 300 m) ?
\section{Sens de variation d'une suite}
\bgdef{
Une suite $(u_n)$ est dite {\bf croissante} si, pour tout entier,
$u_{n+1}>u_n$. \vsp
Une suite $(u_n)$ est dite {\bf d�croissante} si, pour tout entier,
$u_{n+1}>u_n$. \vsp
Une suite $(u_n)$ est dite {\bf constante} lorsque pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=u_n$.
}
\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite arithm�tique de raison $r$, alors,
\bgit
\item si $r>0$, la suite est croissante
(car $u_{n+1}=u_n+r>u_n$)
\item si $r<0$, la suite est d�croissante.
(car $u_{n+1}=u_n+r<u_n$)
\enit
}
\bgprop{
Soit $(v_n)$ une suite g�om�trique de raison $q$, alors
\bgit
\item si $q>1$, la suite est croissante
(car $u_{n+1}=q\tm u_n>u_n$)
\item si $0<q<1$, la suite est d�croissante
(car $u_{n+1}=q\tm u_n<u_n$)
\enit
}
\vspd
\bgex
Indiquer le sens de variation de chacune des suites suivantes,
et les repr�senter graphiquement:
\vspd
$\bullet$ la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=3n+2$.
\vspd
$\bullet$ la suite arithm�tique $(v_n)$ de premier terme $v_0=-5$ et
de raison $r=2$.
\vspd
$\bullet$ la suite arithm�tique $(w_n)$ de premier terme $w_0=7$ et
de raison $r=-3$.
\vspd
$\bullet$ la suite g�om�trique $(z_n)$ de premier terme $0,2$ et de
raison $q=1,1$.
\enex
\clearpage
\pagestyle{empty}
\setcounter{nex}{0}
\bgex {\bf QCM}
\bgen
\item $(u_n)$ est une suite arithm�tique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$.
\bgen[a.]
\item $u_0=-2$ et $r=3$, alors $u_4$ est �gal �
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &7 & $\Box$ & 12 & $\Box$ & 10
\end{tabular}
\item $u_1=-5$ et $u_2=2$, alors $r$ est �gal �
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &7 & $\Box$ & $-3$ & $\Box$ & $-7$
\end{tabular}
\item $u_3=2$ et $u_4=5$, alors $u_5$ est �gal �
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &7 & $\Box$ & $8$ & $\Box$ & $9$
\end{tabular}
\enen
\vspd
\item $(u_n)$ est une suite arithm�tique de premier terme
$u_0=10\,000$ et de raison $r=-15$.
Alors $(u_n)$ est:
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &croisssante & $\Box$ & d�croissante & $\Box$ & constante
\end{tabular}
\vspd
\item $(u_n)$ est une suite g�om�trique de premier terme
$u_0=7\,000$ et de raison $q=0,95$.
Alors $(u_n)$ est:
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &croisssante & $\Box$ & d�croissante & $\Box$ & constante
\end{tabular}
\vspd
\item $(u_n)$ est une suite g�om�trique de premier terme $u_0$ et de
raison $q$.
\bgen[a.]
\item $u_0=3$ et $q=4$, alors $u_3$ est �gal �
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &12 & $\Box$ & 48 & $\Box$ & 192
\end{tabular}
\item $u_1=5$ et $u_2=2$, alors $q$ est �gal �
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &10 & $\Box$ & $0,4$ & $\Box$ & $2,5$
\end{tabular}
\item $u_3=2$ et $u_4=6$, alors $u_5$ est �gal �
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &12 & $\Box$ & $18$ & $\Box$ & $36$
\end{tabular}
\enen
\vspd
\item Dans un placement � int�r�ts compos�s au taux annuel de 2\,\%,
les capitaux disponibles au bout d'un an, de 2 ans, de 3 ans, \dots,
de $n$ ans, sont les termes d'une suite g�om�trique de raison:
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &2 & $\Box$ & $0,02$ & $\Box$ & $1,02$
\end{tabular}
\vspd
\item On place un capital de 10\,000 euros � 4\,\% par an avec
int�r�ts compos�s.
Au bout de deux ans, le capital est acquis est de:
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &10\,800 euros & $\Box$ & 10\,816 euros
& $\Box$ & 10\,400 euros
\end{tabular}
\vspd
\item La production d'une entreprise augmente de 5\,\% chaque
ann�e.
Au bout de 5 ans, elle aura augment� d'environ
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &25\,\% & $\Box$ & 27\% & $\Box$ & 28\,\%
\end{tabular}
\vspd
\item Un �quipement informatique perd 20\,\% de sa valeur chaque
ann�e.
Au bout de 5 ans, il aura perdu
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4.5cm}}}
$\Box$ &100\,\% de sa valeur
& $\Box$ & environ 33\% de sa valeur
& $\Box$ & environ 67\,\% de sa valeur
\end{tabular}
\enen
\enex
\vspt
\bgex
Un v�hicule, achet� en 2012 au prix de 23\,250 euros, se d�pr�cie
chaque ann�e.
Compte tenu du nombre de kilom�tres parcourus chaque ann�e, le
v�hicule perd chaque ann�e 20\,\% de sa valeur.
Cette perte annuelle est calcul�e sur la valeur r�siduelle de l'ann�
pr�c�dente.
\vsp
Pour tout entier $n$, on note $u_n$ la valeur r�siduelle du v�hciule
l'ann�e $2012+n$.
\bgen
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item En d�duire la nature de la suite $(u_n)$.
\item Calculer la valeur r�siduelle du v�hicule en 2013, 2014 et
2022.
\enen
\enex
\bgex
On place un capital $C_0=6\,000$ euros � 3,5\,\% par an avec int�r�ts
compos�s.
Cela signifie que les int�r�ts d'une ann�e s'ajoutent au capital, et
que, l'ann�e suivante, ils raportent eux aussi des int�r�ts.
On note $C_n$ le capital obtenu (ou "valeur acquise") au bout de $n$
ann�es.
\bgen
\item Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$.
\item Donner pour tout entier $n$, l'expression de $C_{n+1}$ en
fonction de $C_n$.
En d�duire la nature de la suite $C_n$.
\item Donner alors l'expression de $C_n$ en fonction de $n$,
et calculer le montant du capital acquis au bout de 20 ans.
\enen
\enex
\bgex {\bf Remboursement d'un emprunt par annuit� constante}
On rembourse un emprunt d'un montant $D$ au moyen d'annuit�s �gales.
Soit $i$ le taux de l'emprunt et $n$ le nombre d'ann�es de
remboursement, alors l'annuit� constante $a$ est donn�e par la
formule: \
\ $a=D\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$.
\bgen
\item D�terminer le montant de l'annuit� constante pour un emprunt
$D=350\,000$ euros effectu� sur 15 ans au taux de 4\,\%.
\item Quel est le prix total pay� au bout de 15 ans.
\enen
\enex
\bgex
Le nombre d'�l�ves d'un lyc�e �tait de 1\,000 � la rentr�e 2009 et de
1\,070 � la rentr�e 2010.
\bgen
\item D�terminer le taux d'�volution, sous forme de pourcentage, du
nombre d'�l�ves entre la rentr�e 2009 et la rentr�e 2010.
\item On suppose que ce pourcentage d'augmentation reste constant.
On note $E_n$ le nombre d'�l�ve � la rentr�e $2009+n$.
\bgen[a)]
\item Exprimer $E_{n+1}$ en fonction de $E_n$.
\item En d�duire la nature de la suite $(E_n)$.
\item D�terminer le nombre d'�l�ves en 2014.
\enen
\enen
\enex
\bgex Un artisan d�sire acqu�rir en 2014 une machine qui vaut 19\,000 euros.
Au 1$^\text{er}$ janvier 2010, il a plac� pour cela la somme de
16\,000 euros, � int�r�ts compos�s, au taux annuel de 3,75\,\%.
On note $u_n$ le capital, exprim� en euros, disponible au
1$^\text{er}$ janvier de l'ann�e $2010+n$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir � l'unit�).
\item Disposera-t-il d'une somme suffisante en 2014 ?
\item D�terminer la somme qu'il devrait placer en 2010 pour disposer
du capital n�cessaire en 2014.
\enen
\enex
\bgex
Un v�hicule, dont le prix d'achat est de 18\,550 euros,
est achet� � cr�dit en 3 remboursements sur 3 ans.
Les 3 remboursement sont not�s $U_1$, $U_2$ et $U_3$.
Le plan de remboursement est tel que
$U_1$, $U_2$ et $U_3$ sont les premiers termes d'une suite g�om�trique
de raison $0,8$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Ecrire $U_2$ en fonction de $U_1$.
\item Ecrire $U_3$ en fonction de $U_1$.
\enen
\item La somme des 3 remboursements est �gale au prix d'achat du
v�hicule.
En d�duire que $2,44\,U_1=18\,550$.
\item Cacluler alors $U_1$, puis $U_2$ et $U_3$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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