Source Latex
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pourcentages, taux d'�volution}
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\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
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\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Taux d'�volution}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel}
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\cfoot{\TITLE\\$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STG$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\hspace{6cm}{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\ STG$
\section{Coefficient multiplicateur}
\bgex
\bgen
\item Le prix d'un produit a augment� de 20\,\%.
Il valait initialement 40\euro.
Quel est le montant de l'augmentation et son nouveau prix ?
Par combien le prix initial a-t-il �t� multipli� ?
\item Le nombre d'adh�rents d'une association �tait de 250 en 2008.
Il a baiss� de 6\% en 2009.
Combien d'adh�rents y'a-t-il en 2009 ?
Par combien le nombre initial d'adh�rents a-t-il �t� mutlipli� ?
\enen
\enex
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Augmenter une quantit� de $t$\% revient � multiplier
celle-ci par $(1+t)$\%.
\item[$\bullet$] Diminuer une quantit� de $t$\% revient � multiplier
celle-ci par $(1-t)$\%.
\enit
}
\bgdef{
Dans ce qui pr�c�de, le pourcentage $t$ est un pourcentage, ou taux,
d'�volution (d'augmentation ou de diminution).
Le nombre $c=1+t$ ou $c=1-t$ s'appelle le
\ul{coefficient multiplicateur}.\ \ \
%\begin{pspicture}
%\vspq
\rput(0,-0.3){$v_{i}$}
\psarc{<-}(1,-0.8){1}{40}{140}
\rput(1,0.5){$\tm c$}
\rput(2,-0.3){$v_{f}$}
}
\bgprop{
Un coefficient multiplicateur sup�rieur � 1 correspond � une hausse
(augmentation), tandis que s'il est inf�rieur � 1, l'�volution est
une diminution (baisse).
}
\bgex {\it (15 p56)}
\bgen
\item La valeur d'une quantit� a �t� multipli�e par 1,6.
Cette �volution est-elle une hausse ou une baisse ?
Indiquer le taux d'�volution correspondant.
\item La valeur d'une quantit� a �t� multipli�e par 0,3.
Cette �volution est-elle une hausse ou une baisse ?
Indiquer le taux d'�volution correspondant.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Quel est le coefficient multiplicateur correspondant � une
augmentation de 25\% ?
� une diminution de 12\% ?
\item Une �tude � montr� que le co�t des vacances a, en moyenne,
doubl� depuis les dix derni�res ann�es.
Quel est le taux d'�volution correspondant ?
\item Dans une ville, les loyers ont �t� multipli�s par environ 3 en
40 ans.
Quel est le pourcentage d'augmentation correspondant ?
\item Durant des soldes, le prix d'un article est divis� par 2.
Quel est le pourcentaage de la r�dution qui lui a �t� appliqu� ?
\item A la suite d'une surproduction, le prix de vente d'un l�gume a
�t� divis� par 3.
Calculer le taux de diminution du prix du l�gume.
\enen
\enex
\bgex {\it (23 p56)}
Un magasin annonce des soldes de $-15$\% sur tous ses articles.
\bgen
\item Calculer le prix sold� d'un article qui valait 132\euro.
\item Calculer le prix initial d'un article sold� 35,70\euro.
\enen
\enex
\bgex {\it (24 p56)}
Un journal mensuel publie l'�tat de ses comptes pour l'ann�e 2004.
On peut notamment lire:
{\it "nombre d'abonn�s: 151\,000, ce qui constitue une baisse de 3\%
par rapport � 2003."}
Calculer le nombre d'abonn�s que ce journal avait en 2003.
\enex
\bgex {\it (25 p56)}
Une station de radio annonce � ses auditeurs:
{\it "vous �tes 820\,000 � nous �couter r�guli�rement et la
progression est de 0,6\% depuis l'enqu�te pr�c�dente."}
Calculer le nombre d'auditeurs qui �coutaient r�guli�rement cette
station d'apr�s la pr�c�dente enqu�te.
\enex
\bgex
Le prix d'un produit a �t� augment� de 12\%, puis le mois suivant de
15\%.
Son prix initial �tait de 34\euro.
D�teminer le prix final de cet article, le coefficient multiplicateur
ainsi que le pourcentage de l'augmentation globale.
\enex
\section{Variations absolue et relative - Taux d'�volution}
\bgex {\it (Activit� p48)}
On peut lire dans un journal:
{\it "le prix du produit X, qui est pass� de 500\euro\ � 502\euro, n'ap
pratiquement pas boug�."}
et, plus loin,
{\it "hausse impressionnante du prix produit Y, qui est pass� de
2\euro\ � 3\euro."}
\bgen
\item Calculer les variations de prix, exprim�es en euros, des
produits X et Y;
ces r�sultats expliquent-ils les �crits du journal ?
\item Ecrire sous forme de pourcentage la variation relative
$\dfrac{502-500}{500}$ du prix de X, puis la variation relative du
prix de Y.
Ces r�sultats expliquent-ils les �crits du journal ?
\enen
\enex
\bgdef{
On appelle variation absolue de $v_i$ � $v_f$ la diff�rence
$v_f-v_i$.
}
\bgprop{
Le taux d'�volution, ou variation relative, de $v_i$ � $v_f$ est
$t=\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{\mbox{Variation absolue}}{v_i}$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
$\bullet$
La variation relative de $v_i=2,5$ � $v_f=10$ est $v_f-v_i=7,5$.
Le taux d'�volution, ou variation relative, est
$\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{10-2,5}{2,5}=3=300\%$.
\vspd
$\bullet$ La variation absolue de $v_i=10$ � $v_f=2,5$ est
$v_f-v_i=-7,5$.
Le taux d'�volution, ou variation relative, est
$\dfrac{v_f-v_i}{v_i}=\dfrac{2,5-10}{10}=-0,75=-75\%$.
Il s'agit donc d'une diminution de 75\%.
\bgex {\it p49)}
\bgen
\item Le montant de la redevance de l'audiovisuel �tait de
114,49\euro\, en 2001 et de 116,50\euro en 2004.
Calculer la variation absolue et le taux d'�volution de cette taxe
entre 2001 et 2004.
\item Un b�b� qui pesait 2,800 kg � la naissance p�se 2,660 kg � 3
jours.
Calculer le taux d'�volution du poids du b�b� entre les deux
pes�es.
\enen
\enex
\bgex {\it (1 p55)}
La population d'un village est pass�e de 120 habitants le 1$^{er}$
janvier 2004 � 105 habitants le 1$^{er}$ janvier 2005.
Calculer la variation absolue et le taux d'�volution du nombre
d'habitants entre ces deux dates.
\enex
\bgex {\it (2 p55)}
Une famille a consomm� 150 m�tres cubes d'eau en 2003 et 137 m�tres
cubes d'eau en 2004.
Calculer la variation absolue et la variation relative de la
consommation d'eau de cette famille.
\enex
\bgex {\it (3 p55)}
Dans une cit� universitaire, le montant du loyer mensuel pour une
chambre est pass� de 120\euro\, l'an dernier � 125\euro\, cette
ann�e.
Calculer la variation absolue et la variation relative du montant de
ce loyer.
\enex
\bgex {\it (4 p55)}
Un th��tre a programm� 260 repr�sentations pour l'ann�e en cours
contre 240 l'ann�e pass�e.
Calculer la variation absolue et le taux d'�volution du nombre de
repr�sentations.
\enex
\bgex {\it (5 p55)}
Au si�cle dernier, la population de la Terre est pass�e, en 80 ans,
de 2 milliards � 6 milliards d'individus.
Calculer la variation absolue et le pourcentage d'augmentation du
nombre de terriens sur ces 80~ans.
\enex
\bgex {\it (6 p55)}
Le nombre d'employ�s d'une soci�t� de conseil et d'ing�nieurie en
nouvelles technologies est pass� de 50 � 65 au bout de deux mois
d'existence.
Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre d'employ�s.
\enex
\bgex {\it (7 p55)}
La France a obtenu 38 m�dailles aux jeux olympiques de Sydney en 2000
et 33 m�dailles aux jeux olympiques d'Ath�nes en 2004.
Calculer la variation relative du nombre de m�dailles obtenues par la
France entre les jeux de 2000 et 2004.
\enex
\bgex {\it (10 p55)}
Je gagnais 1200\euro\, par mois et j'ai �t� augment� de 30\euro.
Sans calculer le nouveau salaire, calculer la variation relative de
l'ancien au nouveau salaire.
\enex
\bgex {\it (11 p55)}
La facture d'�picerie de M. Machin s'�l�ve � 12,30\euro.
{\it "Je vous fais cadeau des 0,30\euro."} lui dit l'�picier.
Sans calculer le prix apr�s r�duction, calculer le pourcentage de la
r�duction ainsi consentie.
\enex
\section{Evolutions successives - Evolution r�ciproque}
\bgex {\it (Activit� p52)}
\bgen
\item Pour f�ter l'ouverture de son garage, un concessionnaire
automobile fait une r�duction de 10\% sur un mod�le de voiture dont
le prix initial est 12\,000\euro.
Apr�s discussion, un client obtient une remise suppl�mentaire de
5\%.
\bgen[a)]
\item Calculer le prix de la voiture apr�s la premi�re r�duction,
puis le prix final.
\item Calculer le taux d'�volution du prix initial de la voiture au
prix pay� par le client;
la r�duction totale est-elle de 15\% ?
\enen
\item Pour la m�me occasion, le concessionnaire augmente les salaires
des employ�s de 2,5\%.
\bgen[a)]
\item Quel est le nouveau salire d'un employ� qui gagnait
1\,400\euro ?
\item Calculer le taux d'�volution du nouveau salaire � l'ancien
(1400\euro);
ce taux est-il �gal � -2,5\% ?
\enen
\enen
\enex
On consid�re trois valeurs successives $v_1$, $v_2$ et $v_3$, et on
d�signe par $t_1$ le taux d'�volution de $v_1$ � $v_2$, et $t_2$ le
taux d'�volution de $v_2$ � $v_3$, et par $T$ le taux d'�volution
global, c'est-�-dire de $v_1$ � $v_3$.
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(6,1)
\rput(0,-0.3){$v_1$}
\psarc{<-}(1,-0.8){1}{40}{140}
\rput(1,0.5){$\tm (1+t_1)$}
\rput(2,-0.3){$v_2$}
\psarc{<-}(3,-0.8){1}{40}{140}
\rput(3,0.5){$\tm (1+t_2)$}
\rput(4,-0.3){$v_3$}
\psarc{->}(2,0.5){2}{210}{-30}
\rput(2,-1.8){$\tm (1+T)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
On a alors: $v_3=v_2\tm(1+t_2)=v_1\tm(1+t_1)\tm(1+t_2)$
\vspd
et aussi, $v_3=v_1\tm(1+T)$.
\vspt
On en d�duit donc que $1+T=(1+t_1)(1+t_2)$.
\enmp
\bgprop{
Le coefficient multiplicateur global est �gal � la multplication des
coefficients multiplicateurs successifs.
}
\bgex
Un article, initialement � 27\euro, est augment� de 5\%, puis de
10\%.
Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le prix final de
l'article.
Quel est le taux d'�volution global ?
\enex
\bgex
Lors d'une journ�e, le cours d'une action a augment� de 10\%, puis
baiss� de 9,5\%.
Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le cours final de
cette action.
Quel est le taux d'�volution global ?
\enex
\bgex {\it (1 p53)}
Le prix d'un produit d'usage courant a baiss� de 4\%, puis � nouveau
de 5\%.
Calculer le taux d'�volution de ce produit, du prix initial au prix
final.
\enex
\bgex
Un commer�ant a augment� par erreur le prix d'un article, initialement
� 17\euro, de 20\%.
Quel taux doit-il lui appliquer pour ramener son prix � sa valeur
initiale ?
\enex
\vspq
On consid�re deux valeurs $v_i$ et $v_f$, et on d�signe par $t$ le
taux d'�volution de $v_i$ � $v_f$,
et par $T$ le \ul{taux d'�volution r�ciproque} de $v_f$ � $v_i$.
\bgmp[t]{5cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(3,1.4)
\rput(0,0){$v_{i}$}
\psarc{<-}(1,-0.5){1}{40}{140}
\rput(1,0.8){$\tm (1+t)$}
\rput(2,0){$v_{f}$}
\psarc{<-}(1,0.5){1}{220}{-40}
\rput(1,-0.8){$\tm (1+T)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[b]{11cm}
On a donc:
$v_f=v_i\tm(1+t)=v_f\tm(1+T)\tm(1+t)$
\vspd
d'o�, $(1+T)\tm(1+t)=1$,
\vspd
et ainsi,
$1+T=\dfrac{1}{1+t}$.
\enmp
\vspq
\bgprop{
Le coefficient multiplicateur de l'�volution r�ciproque de $v_f$ �
$v_i$ est l'inverse du coefficient multiplicateur de l'�volution de
$v_i$ � $v_f$.
}
\bgex
Le cours d'une action a baiss� de 10\%.
Calculer le taux d'�volution qu'il faudrait lui appliquer pour qu'elle
revienne � son cours initial.
\enex
\bgex {\it (2 p53)}
Le prix d'un produit d'usage courant a baiss� de 6\%.
Calculer le taux d'�volution qu'il faudrait lui appliquer pour que le
produit revienne � son prix initial.
\enex
\bgex {\it (34 p57)}
Cette ann�e, les ventes des CD d'un chanteur ont baiss� de 8\%.
Calculer le taux d'�volution qu'il faudrait appliquer pour que le
nombre de CD vendus revienne � la valeur ant�rieure.
\enex
\bgex {\it (35 p57)}
L'augmentation du nombre d'accidents entre juillet et ao�t a �t� de
12\%.
Calculer le taux d'�volution du nombre d'accidents entre ao�t et
septembre pour que le nombre d'accidents de septembre soit �gal �
celui de jullet.
\enex
\bgex {\it (28 p57)}
De 1992 � 1998, la population d'une ville a augment� de 10,3\%, et de
1998 � 2004, elle a diminu� de 9\%.
Calculer le taux d'�volution de la population de cette ville de 1992 �
2004.
\enex
\bgex {\it (29 p57)}
\bgen
\item Dans un pays, le prix du b\oe uf a augment� de 6\% en 2003, puis
de 5\% en 2004.
Calculer la variation relative du prix du b\oe uf du d�but 2003 � la
fin 2004.
\item Dans ce pays, la consommation de b\oe uf a baiss� de 2\% en
2003, puis de 6\% en 2004.
Calculer la variation relative de la consommation du b\oe uf du d�but 2003 � la
fin 2004.
\enen
\enex
\vspd
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}
\vspd
\bgex {\it (40 p59)} Proportion ou taux d'�volution ?
\enex
\bgex {\it (47 p61)} Taux d'int�r�t
\enex
\bgex {\it (48 p61)} Inflation
\enex
\bgex {\it (54 p61)} {\bf *} Composition du parlement europ�en
\enex
\bgex {\it (55 p61)} {\bf **} Fluctuation des populations dans deux villes
\enex
\bgex {\it (56 p61)} {\bf **} Deux devis diif�rents pour un club informatique
\enex
\bgex {\it (72 p61)} {\bf ***} Taxes au Canada
\enex
\bgex {\it (74 p63)} {\bf **} Evolution de la recette d'une entrprise de restauration
\enex
\bgex {\it (76 p64)} {\bf **} Pouvoir d'achat
\enex
\bgex {\it (77 p64)} {\bf ***} Evolution de la population d'une ville,
par tranche d'�ge
\enex
\bgex {\it (79 p64)} {\bf **} Evolution du prix des emballages en
caisse
\enex
\bgex {\it (80 p64)} {\bf ***} Enigme: �ge d'une personne
\enex
\end{document}
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