Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: second degré et polynômes},
pdftitle={Trinôme du second degré - Polynômes},
pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D,
second degré, 2nd degré, polynôme
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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\nwc{\bgdef}[1]{
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions polyn\^omes - Second et troisième degré}
\author{Y. Morel}
\date{}
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%\usepackage{lastpage}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE{} - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}
\newcommand{\Cnp}[2]{%
\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\vspace{-0.3cm}
\section{Trinôme du second degré}
\subsection{Equations du second degré}
\bgdef{
On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme
$ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels
quelconques, et $a\not=0$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} de trinômes du second degré:
\vspt
\begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{2.8cm}|p{2.cm}|}\hline
\rowcolor{lightgray}
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
Trinômes & $a=$ & $b=$ & $c=$ \\[0.2cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$P(x)=3x^2+2x-5$
& $a=3$ & $b=2$ & $c=-5$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$Q(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\dfrac23$
& $a=\sqrt{2}$ & $b=-3$ & $c=\dfrac23$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$R(x)=-x^2+\dfrac52x$
& $a=-1$ & $b=\dfrac52$ & $c=0$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$S(x)=3x^2-\lp1-\sqrt{2}\rp x-\pi$
& $a=3$ & $b=-\lp1-\sqrt{2}\rp$ & $c=-\pi$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$T(x)=\dfrac65 x^2-3$
& $a=\dfrac65$ & $b=0$ & $c=-3$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$U(x)=(x-2)^2+3(x+3)$
& $a=\dots$ & $b=\dots$ & $c=\dots$
\\\hline
\end{tabular}
\bgdef{
On appelle {\bf\ul{discriminant}} du trinôme du second degré
\quad $ax^2+bx+c$, noté $\Delta$, le nombre:
\[\Delta=b^2-4ac\].
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} de discriminant de trinômes du second degré:
\vspt
\begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{2.cm}|p{2.cm}|l|}
\hline
\rowcolor{lightgray}
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
Trinômes & $a=$ & $b=$ & $c=$ & $\Delta=$ \\[0.2cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$P(x)=3x^2+2x-5$
& $a=3$ & $b=2$ & $c=-5$ & $\Delta=64$
\\[0.3cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$Q(x)=x^2+2x+1$
& $a=1$ & $b=2$ & $c=1$ & $\Delta=0$
\\[0.3cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$R(x)=x^2-\sqrt{2}x-5$
& $a=1$ & $b=\sqrt{2}$ & $c=-5$ & $\Delta=22$
\\\hline
\end{tabular}
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Si $\Delta>0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$
(avec $a\not=0$) admet deux solutions distinctes,
aussi appelées {\bf\ul{racines}}:
\[
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\quad\text{ et }\quad
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
\item[$\bullet$] Si $\Delta=0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$
(avec $a\not=0$) admet une unique solution,
ou {\bf\ul{racines}}, double:
\[
x_0=\dfrac{-b}{2a}
\]
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'admet
aucune solution réelle.
\enit
}
\vspd
\bgex
Déterminer les solutions des équations:
\vspt
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^2-2x+1=0$
&
b)\ $x^2-1=0$
&
c)\ $x^2+1=0$
\\[0.3cm]
d)\ $4x^2+8x-5=0$
&
e)\ $3x^2+x+6=0$
&
f)\ $\dfrac49 x^2+\dfrac23 x+\dfrac14=0$
\\[0.4cm]
g)\ $2x^2-x-4=x^2+8$
&
h)\ $x(x-1)=-2(3x+7)$
&
i)\ $2x^3+5x^2-3x=0$
\end{tabular}
\enex
\bigskip
\subsection{Fonction du second degré}
Une fonction du second degré est une fonction dont l'expression
peut s'écrire sous la forme d'un trin\^ome du second degré:
$f(x)=ax^2+bx+c$.
On rappelle que la courbe représentative d'une fonction du second
degré est une parabole dont le sommet est situé en
$x=-\dfrac{b}{2a}$:
\bigskip
\bgmp{9cm}
\ct{\ul{$a>0$}}
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
\rule[-.5cm]{0cm}{1.3cm}$x$ & $-\infty$ && $-\dfrac{b}{2a}$ && $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
\ $f$ \ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&\\
\hline
\end{tabular}\]
\enmp
\bgmp{9cm}
\ct{\ul{$a<0$}}
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
\rule[-.5cm]{0cm}{1.3cm}$x$ & $-\infty$ && $-\dfrac{b}{2a}$ && $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
\ $f$ \ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&\\
\hline
\end{tabular}\]
\enmp
\bgex
Tracer l'allure des courbes des fonctions $f$, $g$ et $h$
définies par:
$f(x)=x^2+x-2$ \ , \
$g(x)=2x^2-4x+2$ \ et \
$h(x)=x^2+1$.
\medskip
Donner alors leur tableau de signes.
\enex
\bigskip
\subsection{Signe d'un trinôme du second degré}
\bgprop{
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, ($a\not=0$).
Alors:
\bgit
\item[$\bullet$] Si $\Delta>0$, l'équation $f(x)=0$ admet deux
solutions distinctes $x_1$ et $x_2$ et
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_1$ && $x_2$ && $+\infty$ \\\hline
\raisebox{-0.3cm}{$f(x)$}
&& Signe & \psline(0,0.4)(0,-0.9)\rput(0,-0.2){$0$}
& Signe & \psline(0,0.4)(0,-0.9)\rput(0,-0.2){$0$}
& Signe de & \\
&& de $a$ && de $-a$ && de $a$&
\\\hline
\end{tabular}
\]
\vspq
\item[$\bullet$] Si $\Delta=0$, l'équation $f(x)=0$ admet
une unique solution $x_0$ et
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_0$ && $+\infty$ \\\hline
\raisebox{-0.3cm}{$f(x)$}
&& Signe & \psline(0,0.4)(0,-0.9)\rput(0,-0.2){$0$}
& Signe &\\
&& de $a$ && de $a$&
\\\hline
\end{tabular}
\]
\vspq
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, le trinôme $f(x)$ n'a pas de racine
et
\[
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline
$f(x)$
&& Signe de $a$ &\\\hline
\end{tabular}
\]
\enit
}
\vspd
\bgex
Etudier le signe de:
\vspt
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $P(x)=x^2-2x+1$
&
b)\ $Q(x)=x^2-1$
&
c)\ $R(x)=x^2+1$
\\[0.3cm]
d)\ $S(x)=3x^2-5x+2$
&
e)\ $T(x)=2x^2+x+3$
&
f)\ $U(x)=\dfrac49 x^2+\dfrac23 x+\dfrac14$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Résoudre les inéquations:
\vspt
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^2-2x+1>0$
&
b)\ $-3x^2+5x-2\leqslant 0$
&
c)\ $x^2-4x-4\geqslant 0$
\\[0.3cm]
d)\ $-2x^2+5x\leqslant 2$
&
e)\ $3x^2\geqslant 2x-1$
&
f)\ $x(2x-5)\geqslant x-6$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Résoudre dans $\R$ les équations:
\vspd
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x(2x-5)=x+6$
&
\multicolumn{2}{l}{b)\ $(2x-3)(2x+3)-(2x-1)(x+2)=0$}
\\[0.3cm]
c)\ $\dfrac{x-5}{5}=\dfrac{2}{x-2}$
&
d)\ $\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{3x-1}{x+3}$
&
e)\ $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x-9}=1$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Etudier le signe de:
\vspd
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $f(x)=2x^2+3x-9$
&
b)\ $g(x)=-x^2+x-3$
&
c)\ $h(x)=x-\dfrac{1}{x}$
\\[0.3cm]
d)\ $k(x)=x-3+\dfrac{2}{x}$
&
e)\ $l(x)=2x+\dfrac{4}{x-3}$
\end{tabular}
\enex
%\clearpage
\subsection{Exercices}
\bgex
Déterminer les points d'intersection (s'ils existent) de la
parabole $\mathcal{P}$ et
de la droite $\mathcal{D}$:
\noindent
a)\ \ $\mathcal{P}: y=x^2-3x+1$\quad et\quad $\mathcal{D}: y=-2x+1$
\qquad
b)\ \ $\mathcal{P}: y=\dfrac12 x^2+x-4$
\quad et\quad
$\mathcal{D}: y=3x-6$
\noindent
c)\ \ $\mathcal{P}: y=x^2-3x+1$\quad et\quad $\mathcal{D}: y=-2x+1$
\qquad
d)\ \ $\mathcal{P}: y=-x^2+x+2$
\quad et\quad
$\mathcal{D}: y=\dfrac12 x+\dfrac52$
\enex
\bgex
Déterminer la position relative des paraboles
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ :
\bgen[a)]
\item $\mathcal{P}: y=x^2-x+2$\quad et\quad $\mathcal{P}': y=-x^2+2x-6$
\item $\mathcal{P}: y=-2x^2-3x+2$
\quad et\quad
$\mathcal{P}': y=x^2+x+1$
\item $\mathcal{P}: y=2x^2-3x-4$\quad et\quad $\mathcal{P}': y=2x^2+6x+5$
\enen
\enex
\bgex
Soit $m$ un nombre réel.
On considère l'équation\quad
$4x^2+(m-1)x+1=0$.
\bgen[a)]
\item Déterminer $m$ pour que cette équation admette une unique
solution. Déterminer cette solution.
\item Préciser les cas, en fonction de $m$, où cette équation admet
deux solutions distinctes, et où cette équation n'admet aucune
solution.
\enen
\enex
\bgex
Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=\dfrac12 x^2$ et
$\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y=x+m$.
\bgen[1.]
\item Tracer dans un repère orthogonal la parabole $\mathcal{P}$ et
les droites $\mathcal{D}_0$, $\mathcal{D}_{-2}$, $\mathcal{D}_2$ et
$\mathcal{D}_4$.
\item Pour quelles valeurs de $m$, la droite $\mathcal{D}_m$
coupe-t-elle $\mathcal{P}$ en deux points distincts $A_1$ et $A_2$ ?
\item Calculer, en fonction de $m$, les coordonnées des points $A_1$
et $A_2$, puis du point $I_m$ milieu de $[A_1A_2]$.
Que peut-on dire des abscisses des points $I_m$ ?
En déduire que $I_m$ appartient à une demi-droite que l'on
précisera.
\enen
\enex
\bgex
Soit $P$ le trinôme défini par
$P(x)=3x^2+(a-1)x+(a+8)$, où $a\in\R$.
\bgen[1.]
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $P$ admet-il une racine
double ?
Calculer cette racine.
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, le nombre 2 est-il racine de
$P$ ?
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $P$ n'a-t-il aucune racine
réelle ?
\enen
\enex
\bgex
La vitesse moyenne d'un avion de tourisme est de 250 km/h.
Cet avion effectue le vol aller et retour Paris-Lyon.
La distance entre ces deux villes est de 400 km.
A l'aller, il bénéficie d'un vent favorable d'une vitesse de $x$
km/h.
Au retour, il est freiné par ce même vent, et met donc 40 minutes de
plus qu'à l'aller.
\bgen[1.]
\item Compte tenu du vent, quelle est la vitesse de l'avion à
l'aller ?
Quelle est la durée du trajet aller ?
\item Compte tenu du vent, quelle est la vitesse de l'avion au
retour ?\!
Quelle est la durée du trajet~retour ?
\item Ecrire une équation reliant le temps aller et le temps retour.
\item Résoudre cette équation et donner la vitesse du vent.
\enen
\enex
\bgex
Le périmètre d'un rectangle mesure 12 cm.
\bgen
\item Soit $x$ la longueur, en cm, de ce rectangle.
Dans quel intervalle varie $x$ ?
\item Quelle est la mesure de la largeur en fonction de $x$ ?
\item Calculer l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
\item On souhaite que l'aire de ce rectangle soit supérieure à 5
cm$^2$.
Quelle inéquation doit-on résoudre ?
Résoudre alors cette inéquation et en déduire quelles dimensions
donner à la longueur.
\enen
\enex
%\bgex
%Trouver deux nombres sachant que leur différence vaut 7 et leur
%produit vaut 60.
%\enex
\section{Fonctions polyn\^omes de degré 3}
\bgdef{On appelle fonction polyn\^ome de degré 3,
ou du troisième degré, toute fonction $f$ dont l'expression
peut s'écrire sous la forme
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$,
où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels, et $a\not=0$.
}
\bgex
Résoudre graphiquement, puis exactement,
l'équation de degré 3: $x^3=8$.
\enex
\bgprop{Rappel:
L'équation $x^3=a$ admet une unique solution qui s'écrit
$x=\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}$.}
\bgex Résoudre les équations, et donner une valeur approchée de la solution:
\medskip
$E_1: x^2=27$\ , \ $E_2: x^3=-729$ \ , \
$E_3: x^3=0,8$ \ , \
$E_4: 3x^3=24$ \ , \
$E_5: -2x^3+8=-120$
\enex
\bgex
On note $f$ la fonction définie par
$f(x)=x^3-3x-2$.
\`A l'aide de la calculatrice, tracer l'allure de la courbe
$\mathcal{C}_f$ de $f$ puis résoudre graphiquement l'équation
$f(x)=-2$.
Résoudre ensuite cette équation exactement.
\enex
\bgprop{Soit $f$ une fonction de degré définie par sa forme développée
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
\bgen[$\bullet$]
\item Si $f$ admet une racine $x_1$, alors $f$ peut se factoriser
par
$f(x)=a\lp x-x_1\rp\lp ex^2+fx+g\rp$
\item Si $f$ admet trois racines $x_1$, $x_2$ et $x_3$, alors $f$
peut s'écrire sous la forme factorisée:
$f(x)=a\lp x-x_1\rp\lp x-x_2\rp\lp x-x_3\rp$
\enen
}
\bigskip\noindent
\ul{Exemple:}
Soit le polynôme $P(x)=x^3-x^2-x-2$.
Montrer que $2$ est une racine de $P$, puis factoriser $P$.
Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $P(x)=0$.
\bgex
Soit le polynôme $P(x)=2x^3+5x^2+2x-1$.
Vérifier que $-1$ est une racine de $P$ est factoriser $P$.
Résoudre alors l'équation $P(x)=0$.
\enex
\bgex
Soit le polynôme $P(x)=2x^3+7x^2+7x+2$.
Vérifier que $-2$ est une racine de $P$, puis factoriser $P$.
Déterminer alors toutes les racines de $P$, puis
dresser le tableau de signe de~$P(x)$.
\enex
\bgex{\it Déformation d'une poutre}
Une poutre de longueur 2 mètres repose sur trois appuis simples $A$,
$B$ et $C$, l'appui $B$ étant situé au milieu de $[AC]$.
Elle supporte une charge uniformément répartie de 1\,000 N.m$^{-1}$
(newtons par mètre).
Sous l'action de cette charge, la poutre se déforme.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(10,2.2)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch*](0.5,0)(10.5,0)(10.5,0.5)(0.5,0.5)
\multido{\i=1+1}{10}{
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(\i,2)(\i,0.5)
}
\pspolygon(0.2,-0.5)(0.8,-0.5)(0.5,0)\rput(0.5,-0.3){$A$}
\pspolygon(5.2,-0.5)(5.8,-0.5)(5.5,0)\rput(5.5,-0.3){$B$}
\pspolygon(10.2,-0.5)(10.8,-0.5)(10.5,0)\rput(10.5,-0.3){$C$}
\psarc[linewidth=1.4pt](3,10){10.25}{256}{284}
\psarc[linewidth=1.4pt](8,10){10.25}{256}{284}
\psline{<->}(0.5,-1)(8,-1)\rput(4.5,-0.8){$x_m$}
\psline[linestyle=dashed](8,-1)(8,-0.2)
\end{pspicture}
On démontre que le point situé entre $B$ et $C$ où la déformation (la
flèche) est maximum, a une abscisse $x_m$ qui est solution de
l'équation:
\[
32x^3-156x^2+240x-116=0\,.
\]
\bgen
\item Vérifier que $1$ est solution de cette équation.
\item Factoriser alors l'équation et la résoudre.
\item En déduire $x_m$, position de la section de poutre de flèche
maximum entre les points $B$ et $C$.
\enen
\enex
\clearpage
\section{Polynômes}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Un {\bf\ul{polynôme}} est une expression de la forme:
\[
ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots+dx+e
\]
avec $a$, $b$ ,$c$, $d$ et $e$ des nombres réels quelconques, et $n$
un entier naturel.
L'entier $n$ est le {\bf\ul{degré}} du polynôme.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
$\bullet$\ $P(x)=3x^4-2x^3+\dfrac12 x^2-\sqrt{2}x+3$ est un polynôme
de degré 4.
$\bullet$\ $Q(x)=5x^7-3x^2+4$ est un polynôme de degré 7.
$\bullet$\ $R(x)=x^2+x+1$ est un polynôme (trinôme) de degré 2.
\label{LastPage}
\end{document}
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