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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques 1ère STI2D - Dérivation des fonctions
Niveau
Première STI2D
Mots clé
dérivation, exercices, dérivée, fonction, étude de fonction, calcul de dérivées, tangente et équation de la tangente, sens de variation, théorème des valeurs intermédiaires, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

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pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques 1ère STI2D: Dérivation des fonctions},
    pdftitle={Dérivation des fonctions - Exercices},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D, 
      dérivée, dérivation des fonctions, exercices}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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  \noindent
  \paragraph{Définition}
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  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Exercices: dérivation des fonctions - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf Dérivation des fonctions -- Exercices}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$

\bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=2x^2-3x+2$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

\quad$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ 
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$  \ ;\ 
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .

\medskip
Placer ces points dans un repère et tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex


\bgex
Tracer les droites 
$D_1: y=2x+1$, $D_2: y=-x+1$ et $D_3:y=2x+3$. 

Tracer la courbe représentative des fonctions 
définies par les expressions 
$f(x)=x^2$, 
$g(x)=-2x^2+4x+1$, 
$h(x)=2x-1$. 
\enex


\bgex
Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par 
$A(1;2)$ et $B(5;10)$. 
\enex

\noindent
\bgmp{6cm}
\bgex 

Déterminer l'équation des droites. 
\enex
\enmp
\bgmp{10cm}
  \psset{unit=.8cm,,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture*}(-5.6,-5.6)(5.6,5.6)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.4,0)(5.6,0)
    \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5.4)(0,5.6)
    \multido{\i=-5+1}{11}{
      \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,5.2)
      \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](-5.2,\i)(5.2,\i)
      \rput(\i,-.2){$\i$}
      \rput[r](-.1,\i){$\i$}}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x 2 add}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{-2 x mul 1 add}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{3}
    \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{.25 x mul -3 add}
  \end{pspicture*}
\enmp

\bgex
Soit $f(x)=x^2-2x$. 
Soit $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1, 
et $B$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 3.  

Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par $A$ et $B$. 
Tracer $\mathcal{C}_f$ et $D$. 
\enex



\noindent
\bgmp{9.cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction carré 
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses
respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. 

\bgen
\item Tracer sur une figure $\mathcal{C}_f$ et placer les points $A$, 
  $M_1$, $M_2$, $M_3$. 
\item Calculer les coefficients directeurs des droites 
  $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. 

\item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
  $1+h$. 

  Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
  $(AM)$.  

\item Compléter le tableau: 

  \[\hspace*{-1cm}
  \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
    $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
    $m_h$ &&&&&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]

\item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.4cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1.,-6.5)(4,20)
  \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
  \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
  \multido{\i=0+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.5){$\i$}
  }
  \multido{\i=-4+2}{12}{
    \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.8}{x 2 exp}
  \rput(-1.6,1.4){\blue$\mathcal{C}_f$}
  %
  \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
  %
  %\rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
  %\psplot{-.6}{5}{x 5 mul 4 sub}
  %
  %\rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
  %\psplot{-1}{5}{x 4 mul 3 sub}
  %
  %\rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
  %\psplot{-.65}{5}{x 3 mul 2 sub}
\end{pspicture}
\enmp



\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac12 x^2-3$. 

\bgen
\item Tracer dans un repère orthogonal $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point
  d'abscisse $a=1$. 

  Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. 

\item 
  \bgen[a)]
  \item Pour $h>0$, on pose $m_h=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. 
    
    Compléter le tableau: \vspace*{-2em}
    \[\hspace*{1cm}
    \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
      $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
      $m_h$ &&&&&& \\\hline
    \end{tabular}
    \]
    Vers quelle valeur tend le nombre $a_h$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ? 

  \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
    de $m_h$ et de celle de $f$. 
  \enen
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-4.5cm}
\bgex
$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. 

$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. 

\vspt
Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$. 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
  \psline[linewidth=1.3pt]{->}(-4.5,0)(5.8,0)
  \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
  \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-3+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(5.6,3.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
  %
  \psplot[linewidth=1.3pt]{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
  \psplot[linewidth=1.3pt]{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
  \psplot[linewidth=1.3pt]{-0.8}{5.3}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3$
  &b) $f(x)=3x$ 
  &c) $f(x)=\dfrac52 x$
  &d) $f(x)=x^2$
  \\[0.4cm]
  e) $f(x)=x^7$ 
  &f) $f(x)=2x^3$
  &g) $f(x)=3x+2$
  &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
  \\[0.4cm]
  i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
  &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
  &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
  &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
  \\[0.4cm]
  m) $f(x)=2x^5-\dfrac{x^3}{3}$ 
  &n) $f(x)=(3x+2)x^2$
  &o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
  &p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
  \\[0.6cm]
  p) $f(x)=3\cos(x)$ 
  &n) $f(x)=\cos^2(x)$
  &o) $f(x)=\sin(2x+1)$
  &p) $f(x)=x\sin(2^2+1)$

\end{tabular}
\enex


\bgex
Soit la fonction $f$ définie par 
$f(x)=x^2-2x$. 

\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$
\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en 
  $x_0=2$. 
\item Donner de m\^eme les équations des tangentes en $x_0=-2$, 
  $x_0=0$ et $x_0=1$. 
\item Tracer dans un repère ces quatre droites et $\mathcal{C}_f$. 
\enen
\enex

\bgex
Donner dans chacun des cas l'équation de la tangente à 
$\mathcal{C}_f$ au point d'absisse $a$: 

1) $f(x)=x^3+8x-32$ en $a=2$
\qquad
2) $f(x)=\dfrac{1}{3x^2-x+2}$ en $a=1$ 
\qquad 
3) $f(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$
\enex


\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice précédent
de a) à l)
et des fonctions suivantes: 

\noindent
\begin{tabular}{llll}
  q) $f(x)=2x^2+4x-3$ 
  &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
  &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
  &t) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
  \\
  t) $f(x)=-x^3+6x^2-1$

\end{tabular}
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=-x^3+6x^2-10$. 

\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. 

Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. 
Est-ce un minimum ou un maximum ?
\enex

\noindent
\bgmp{13.3cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline 
  &&& 4 &&\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
  & $-1$ && && 3  \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline 
  &&& $0$ && && $3$\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && 
  \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
  \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
  $0$&\\
  & $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$, 
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, 
par l'expression 
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]

A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
? 

\enex



\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
tableau de variation est le suivant: 
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline 
  &&& 4 &&&& 10\\
  $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
  \Large{${\nearrow}$} & \\
  & 1 && && -3 && \\\hline
\end{tabular}
\]

Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle elles se situent,
de l'équation 

a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
c) $f(x)=-5$
\enex

\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+x+1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$. 

Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. 
\enex


\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3-3x-1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$,  $]-1;1[$ et $]1;2[$. 

Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.  
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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