Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques 1ère STI2D: Dérivation des fonctions},
pdftitle={Dérivation des fonctions - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D,
dérivée, dérivation des fonctions, exercices}
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\noindent
\paragraph{Définition}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Exercices: dérivation des fonctions - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf Dérivation des fonctions -- Exercices}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
\bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=2x^2-3x+2$.
Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$:
\quad$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$ \ ;\
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .
\medskip
Placer ces points dans un repère et tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enex
\bgex
Tracer les droites
$D_1: y=2x+1$, $D_2: y=-x+1$ et $D_3:y=2x+3$.
Tracer la courbe représentative des fonctions
définies par les expressions
$f(x)=x^2$,
$g(x)=-2x^2+4x+1$,
$h(x)=2x-1$.
\enex
\bgex
Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par
$A(1;2)$ et $B(5;10)$.
\enex
\noindent
\bgmp{6cm}
\bgex
Déterminer l'équation des droites.
\enex
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=.8cm,,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-5.6,-5.6)(5.6,5.6)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-5.4,0)(5.6,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5.4)(0,5.6)
\multido{\i=-5+1}{11}{
\psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,5.2)
\psline[linewidth=.3pt,linestyle=dashed](-5.2,\i)(5.2,\i)
\rput(\i,-.2){$\i$}
\rput[r](-.1,\i){$\i$}}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{x 2 add}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{-2 x mul 1 add}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{3}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5.2}{5.2}{.25 x mul -3 add}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgex
Soit $f(x)=x^2-2x$.
Soit $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1,
et $B$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 3.
Déterminer l'équation de la droite $D$ passant par $A$ et $B$.
Tracer $\mathcal{C}_f$ et $D$.
\enex
\noindent
\bgmp{9.cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction carré
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses
respectives $1$, $2$, $3$ et $4$.
\bgen
\item Tracer sur une figure $\mathcal{C}_f$ et placer les points $A$,
$M_1$, $M_2$, $M_3$.
\item Calculer les coefficients directeurs des droites
$(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$.
\item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
$1+h$.
Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
$(AM)$.
\item Compléter le tableau:
\[\hspace*{-1cm}
\begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
$h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
$m_h$ &&&&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.4cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1.,-6.5)(4,20)
\psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.5){$\i$}
}
\multido{\i=-4+2}{12}{
\psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1.5}{4.8}{x 2 exp}
\rput(-1.6,1.4){\blue$\mathcal{C}_f$}
%
\rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
%
%\rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
%\psplot{-.6}{5}{x 5 mul 4 sub}
%
%\rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
%\psplot{-1}{5}{x 4 mul 3 sub}
%
%\rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
%\psplot{-.65}{5}{x 3 mul 2 sub}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac12 x^2-3$.
\bgen
\item Tracer dans un repère orthogonal $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point
d'abscisse $a=1$.
Déterminer alors graphiquement $f'(1)$.
\item
\bgen[a)]
\item Pour $h>0$, on pose $m_h=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Compléter le tableau: \vspace*{-2em}
\[\hspace*{1cm}
\begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
$h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
$m_h$ &&&&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
Vers quelle valeur tend le nombre $a_h$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ?
\item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
de $m_h$ et de celle de $f$.
\enen
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-4.5cm}
\bgex
$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$.
$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$.
\vspt
Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$.
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(-4.5,0)(5.8,0)
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
}
\multido{\i=-3+1}{8}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
\rput(5.6,3.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
%
\psplot[linewidth=1.3pt]{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
\psplot[linewidth=1.3pt]{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
\psplot[linewidth=1.3pt]{-0.8}{5.3}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas:
\begin{tabular}{llll}
a) $f(x)=3$
&b) $f(x)=3x$
&c) $f(x)=\dfrac52 x$
&d) $f(x)=x^2$
\\[0.4cm]
e) $f(x)=x^7$
&f) $f(x)=2x^3$
&g) $f(x)=3x+2$
&h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
\\[0.4cm]
i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
&j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
&k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
&l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
\\[0.4cm]
m) $f(x)=2x^5-\dfrac{x^3}{3}$
&n) $f(x)=(3x+2)x^2$
&o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
&p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
\\[0.6cm]
p) $f(x)=3\cos(x)$
&n) $f(x)=\cos^2(x)$
&o) $f(x)=\sin(2x+1)$
&p) $f(x)=x\sin(2^2+1)$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par
$f(x)=x^2-2x$.
\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$
\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en
$x_0=2$.
\item Donner de m\^eme les équations des tangentes en $x_0=-2$,
$x_0=0$ et $x_0=1$.
\item Tracer dans un repère ces quatre droites et $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\bgex
Donner dans chacun des cas l'équation de la tangente à
$\mathcal{C}_f$ au point d'absisse $a$:
1) $f(x)=x^3+8x-32$ en $a=2$
\qquad
2) $f(x)=\dfrac{1}{3x^2-x+2}$ en $a=1$
\qquad
3) $f(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$
\enex
\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice précédent
de a) à l)
et des fonctions suivantes:
\noindent
\begin{tabular}{llll}
q) $f(x)=2x^2+4x-3$
&r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
&s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
&t) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
\\
t) $f(x)=-x^3+6x^2-1$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par
$f(x)=-x^3+6x^2-10$.
\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$.
Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$.
Est-ce un minimum ou un maximum ?
\enex
\noindent
\bgmp{13.3cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$.
On donne le tableau de variation de la fonction $f'$:
\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$.
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline
&&& 4 &&\\
$f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
& $-1$ && && 3 \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$.
On donne le tableau de variation de la fonction $f'$:
\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$.
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline
&&& $0$ && && $3$\\
$f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) &&
\psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
\psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
$0$&\\
& $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$,
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h,
par l'expression
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]
A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
?
\enex
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
tableau de variation est le suivant:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline
&&& 4 &&&& 10\\
$f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
\Large{${\nearrow}$} & \\
& 1 && && -3 && \\\hline
\end{tabular}
\]
Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle elles se situent,
de l'équation
a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
c) $f(x)=-5$
\enex
\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3+x+1$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$.
Déterminer un encadrement plus précis de cette solution.
\enex
\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3-3x-1$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$, $]-1;1[$ et $]1;2[$.
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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