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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques 1ère STI2D - nombres complexes
Niveau
Première STI2D
Mots clé
nombres complexes, forme algébrique, forme trigonométrique, plan complexe, géométrie complexe, affixe, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathmatiques: Nombres complexes},
    pdftitle={Exercices sur les nombres complexes},
    pdfkeywords={Mathmatiques, 1STI, 1STI2D, premire, STI, STI2D, 
      complexes, nombres complexes}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
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  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Nombres complexes - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{re}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $1^{\text{re}}STI2D$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents



\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives: 
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $z_C=\sqrt{2}+\dfrac{3}{2}i$. 
Dterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex



\bgex
Exprimer sous forme algbrique les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $(2-i)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$
\enex

\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives 
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$. 

\bgit
\item[a)] Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$. 
\item[b)] En dduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont aligns. 
\item[c)] Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enit
\enex


\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives 
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et 
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$. 

Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe, 
et montrer qu'ils sont aligns. 
\enex

\bgex
On considre dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixe
$z_A=3+i$, $z_B=2-2i$, $z_C=2i$ et $z_D=1+5i$. 

\bgit
\item[a)] Faire une figure
\item[b)] Montrer de deux faons diffrentes que $ABCD$ est un
  paralllogramme. 
\enit
\enex


\bgex
Soit les nombres complexes: 
$\dsp z_1=\frac{3-i}{5+7i}$ 
et 
$\dsp z_2=\frac{3+i}{5-7i}$ . 

Vrifier que $z_1=\overline{z_2}$, et en dduire que $z_1+z_2$ est
rel et que $z_1-z_2$ est imaginaire pur. 

\vsp
Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.
\enex

\bgex
Soit $P$ le polynme dfini sur $\C$ par : 
$P(z)=z^3+z^2-4z+6$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout complexe $z$,
  \ $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$. 
\item[b)] Vrifier que $1+i$ est une racine de $P$, et en dduire une
  autre racine complexe de $P$. 
\enit
\enex

\bgex
Dterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit un nombre rel 
{\sl (on pourra poser $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, 
et crire $Z$ sous forme algbrique)}.
\enex


\bgex
Rsoudre dans $\C$ les quations: 

a)\ \ $5\overline{z}=4-i$ 
\qquad
b)\ \ $(1+i)\overline{z}+1-i=0$ 
\qquad
c)\ \ $3\overline{z}-2iz=5-3i$
\enex



\bgex
Ecrire sous forme algbrique $(x+iy)$ les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{\sqrt{3}+2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1+4i}{1-\sqrt{2}i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \lp 2+i\sqrt{3}\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\frac{1}{2}+3i\rp^2$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp i^3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^5$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^6$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ Exprimer en fonction de $n\in\N$,\ \ $\dsp z_n=i^n$
\enex


\bgex Soit $z_1=-1+3i$ et $z_2=4-i$. 
Ecrire sous forme algbrique les nombres complexes: 
\[
\bullet z_1^2-2z_2
\qquad
\bullet z_1z_2^2
\qquad
\bullet \dfrac{z_1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{z_2^2}
\]
\enex

\vspace{-0.8cm}
\bgex
\bgen
\item Donner la forme algbrique de: 
  $i^{12}$; $i^{2012}$; $i^{37}$; $i^{-13}$
\item On pose $j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 
  Calculer $1+j+j^2$. 
\enen
\enex




\bgex Dterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que : 

\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\enex


\bgex
Dans le plan complexe, 
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes: 
\[
z_A=1+i\ ,\ 
z_B=4+5i\ ,\ 
z_C=5-2i\ .
\]

\vspace{-0.4cm}
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$.%, 
  %puis que
  %$\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$. 
%\item Dterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatre 
%  $ABKC$ soit un rectangle. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Dterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatre 
    $AGBC$ soit un paralllogramme. 
  \item %Vrifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$. 
    Dterminer les affixes des points $I$ et $J$, milieux respectifs 
    de $[GC]$ et $[AB]$. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex
Calculer le module des nombres complexes suivants: 

a)\ $z=\dfrac{1+i}{3-4i}$ 
\quad
b)\ $z=\lp 2+2i\rp\lp -1+i\rp$
\quad
c)\ $z=\dfrac{i(-1-i)}{-3+4i}$
\quad
d)\ $z=\dfrac{-4(2-i)}{2i(1+2i)}$
\enex




\bgex
Ecrire sous forme trigonomtrique les
nombres complexes suivants: 

\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&
$\bullet\ z_2=-4$
&
$\bullet\ z_3=2i$
&
$\bullet\ z_4=-1+i$
&
$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_6=-17$
&
$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&
$\bullet\ z_8=5i$
&
$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. 
\end{tabular}
\enex



\bgex
Rsoudre dans $\C$ les quations suivantes: 

\vspd\noindent
$\bullet\ z^2+z+1=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2-3z+18=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2+9z-4=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ -z^2+(1+\sqrt{3})z-\sqrt{3}=0$
\enex


\bgex
Rsoudre dans $\C$ l'quation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex


\bgex
Rsoudre dans $\C$ l'quation : $z^4+4z^2-21=0$. 
\enex


\bgex
On considre le polynme $P$ dfini sur $\C$ par 
$P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$. 

\bgit
\item[a)] Dterminer les rels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour
  tout complexe $z$,  
  $P(z)=(z^2+1)(az^2+bz+c)$. 
  \vspd
\item[b)] En dduire toutes les solutions dans $\C$ de l'quation
  $P(z)=0$.  
\enit
\enex


\bgex
Soit $P$ le polynme dfini par: \quad
$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$.

\bgen
\item Calculer $P(i)$. 
\item Trouver deux nombres rels $p$ et $q$ tels que 
  $P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$. 
\item Dterminer alors toutes les solutions de l'quation $P(z)=0$. 
\item Montrer que ces solutions sont les affixes des
  sommets d'un triangle rectangle.% isocle.
\enen
\enex

\bgex
Soit le polynme $P$ dfini sur $\C$ par : 
$P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$. 

\vsp
\bgen[a)]
\item Vrifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$. 
  \vsp
\item Trouver les nombres rels $a$, $b$ et $c$ tels que, 
  pour tout complexe $z$, 
  $P(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)$. 

\item  Dterminer alors toutes les racines de $P$.  
\enen
\enex

\bgex
Soit les nombres complexes $z_1=-1-i\sqrt{3}$ et $z_2=iz_1$. 

\bgen
\item Ecrire $z_1$ sous forme algbrique. 
\item 
  \bgen[a)] 
  \item Calculer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$. 
  \item Placer dans le plan complexe muni d'un repre orthonormal 
    $\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$ les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes
    $z_1$ et $z_2$. 

  \item Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives
    $z_A$, $z_B$ et $z_C$ telles que $z_A=-2+2i\sqrt{3}$, 
    $z_B=2-2i\sqrt{3}$ et $z_c=8$. 

    Montrer que $z_A=2\overline{z_1}$ et que $z_B=-z_A$. 
  \enen
\item 
  \bgen[a)] 
  \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe. 
  \item Calculer $|z_A-z_B|$, $|z_B-z_C|$ et $|z_A-z_C|$. 
  \item En dduire que le triangle $ABC$ est rectangle. 
  \enen
\enen
\enex


\end{document}

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