Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques 1ère STI2D: primitives},
pdftitle={Primitives de fonctions - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D,
primitives, fonctions}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\settowidth{\ldef}{Définition \ }
\noindent
\paragraph{Définition}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}
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}
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\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Primitives - Exercices - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf Primitives - Exercices}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\vspace{-0.3cm}
\bgex
Déterminer les primitives des polyn\^omes suivants:
a) $f(x)=x^8+x^2$ \quad
b) $f(x)=3x^2+5x+1$ \\[.5em]
c) $f(x)=x^9-3x^2+2$ \quad
d) $f(x)=-5x^5+3$ \quad
e) $f(x)=\dfrac{x^4}3-12x^2+\dfrac32$ \quad
g) $f(x)=-\dfrac43x^3+6x$
\enex
\bgex
Déterminer dans chaque cas les primitives des fonctions suivnates:
a) $f(x)=15x^2-\dfrac13x+2$
\begin{tabular}{llll}
b) $f(x)=-3x+\dfrac14x^3$
&c) $f(x)=\dfrac1{x^2}+3x$
&d) $f(x)=-\dfrac23x+\dfrac3{x^2}$
&e) $f(x)=-\dfrac1{(x-2)^2}$\\
f) $f(x)=\dfrac3{(2x-3)^2}$
&g) $f(x)=\dfrac5{(-2x+1)^2}+3$
&h) $f(x)=2x\lp x^2+3\rp$
&i) $f(x)=(x+2)^3$ \\
j) $f(x)=(3x-2)^4$
&k) $f(x)=x^2\lp x^3+5\rp^3$
&l) $f(x)=\cos(x)$
&m) $f(x)=\sin(x)$ \\
o) $f(x)=\cos(3x)$
&p) $f(x)=1-\cos(2x)$
&q) $f(x)=\cos\lp3x+\dfrac\pi2\rp$
&r) $f(x)=-3x+\sin\lp\dfrac1{2\pi}x\rp$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Dans chaque cas, déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant la condition donnée:
\bgen[a)]
\item $f(x)=-2x+4$, et $F(2)=3$
\item $f(x)=8x^3-3x$, et $F(1)=2$
\item $f(x)=\dfrac1{(x+1)^2}+1$, et $F(0)=2$
\item $f(x)=2\cos(2x)+2$, et $F\lp\dfrac\pi4\rp=1$
\enen
\enex
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
Calculer l'aire du domine hachuré ci-contre, où la courbe
est celle de la fonction définie par $f(x)=0.5x+1$.
\enex
\enmp
\bgmp{7cm}
\[\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2)
\psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)
\nwc{\f}[1]{#1 0.5 mul 1 add}
\pscustom{\psplot{-2}{2}{\f{x}} \gsave
\psline(2,0)(-2,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-2.9}{2.9}{\f{x}}
\rput(-2,-0.3){$-2$}\rput(2,-0.3){$2$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
Calculer l'aire du domine hachuré ci-contre, où la courbe
est celle de la fonction définie par $f(x)=\cos(x)+1$.
\enex
\enmp
\bgmp{7cm}
\[\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2)
\psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)
\nwc{\f}[1]{#1 180 mul 3.1415 div cos 1 add}
\pscustom{\psplot{-3.14}{3.14}{\f{x}} \gsave
\psline(3.14,0)(-3.14,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-4.4}{4.4}{\f{x}}
\rput(-3.14,-0.3){$-\pi$}\rput(3.14,-0.3){$\pi$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent
\bgmp{13cm}
\bgex
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.
\bigskip
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\bigskip
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$,
donc de la forme $x^n$, afin de chercher une primitive)}
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\[\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\renewcommand{\g}[1]{#1 #1 mul}
\pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore}
\pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]\grestore}
\psline{->}(-0.1,0)(1.25,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Calculer l'aire du domaine, hachuré sur la figure ci-contre,
délimité par les courbes représentatives des fonctions
$f$ et $g$ définies par
$f(x)=x^3+4$ et $g(x)=3x^2$.
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{xunit=1.4cm,yunit=.3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,13)
\psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,12.5)
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 4 add}
\renewcommand{\g}[1]{x 2 exp 3 mul}
\psplot{-1.3}{2.1}{\f{x}}
\psplot{-1.3}{2.1}{\g{x}}
\pscustom{\psplot{-1}{2}{\f{x}}\gsave
\psplot{2}{-1}{\g{x}}\fill[fillstyle=vlines]\grestore}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)
\rput(-1,-.8){$-1$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,12)
\rput(2,-.8){$2$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\label{LastPage}
\end{document}
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