Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: primitive},
pdftitle={Primitive de fonctions},
pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D,
primitive, fonctions}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
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\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\settowidth{\ldef}{Définition \ }
\noindent
\paragraph{Définition}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}
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}
\newlength{\lprop}
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\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Primitives - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf Primitives}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\vspace{-0.3cm}
\section{Rappel sur les dérivées}
%\href{}{}
Deux exercices d'entra\^inement, sous forme de QCM:
\href{https://xymaths.fr/Lycee/Common/QCM/Exercices-Calcul-Derivees.php}{QCM 1}
et \href{https://xymaths.fr/Lycee/Common/QCM/Exercices-Calcul-Derivees-bis.php}{QCM 2}
et une série d'exercices
\href{https://xymaths.fr/Lycee/Exercices-Corriges-Calcul-Derivees/}{de calculs de fonctions dérivées complètement corrigée et détaillée}
sans oublier, bien s\^ur, l'
\href{https://xymaths.fr/Lycee/Exercices-Corriges-Derivees-Etude-de-fonctions/}{application à l'étude du sens de variation de fonctions}
\section{Primitive d'une fonction}
\bgdef{
On appelle primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$,
toute fonction $F$ dont la dérivée sur $I$ est $f$.
En d'autres termes,
\[F \text{ primitive de } f \iff F'=f\]
}
\noindent\ul{Exemples:}
\bgen[a)]
\item $F(x)=x^3$ est une primitive de $f(x)=3x^2$,
car $F'(x)=3x^2$.
\item Une primitve de $f(x)=6x$ est $F(x)=3x^2$ car,
on a bien $F'(x)=3\tm2x=6x=f(x)$.
\medskip
Les fonctions définies par
$F(x)=3x^2+12$ et $F(x)=3x^2-25$ sont aussi des primitives de $f$
car la dérivée d'une constante ajoutée est nulle.
\item Une primtive de la fonction $f(x)=2x-5$ est donnée
par $F(x)=x^2-5x$ car on obtient en dérivant
$F'(x)=x^2-5=f(x)$.
\item On cherche une primitive de $g(x)=6x^2$.
On sait qu'on obtient la partie "$x^2$" en dérivant $x^3$.
Plus précisément, la dérivée de $x^3$ est $3x^2$.
Pour obtenir $g(x)$ il reste donc à multiplier par {\red 2}.
Ainsi, $G(x)={\red2\tm}x^3$ est une primitive de $g$,
car on a bien en dérivant,
$G'(x)={\red2\tm}3x^2=6x^2=g(x)$.
\item Soit $h(x)=\dfrac2{x^2}$, alors comme la dérivée de $\dfrac1x$
est $-\dfrac1{x^2}$ on voit qu'il suffit cette fois de multiplier par {\red -2}: soit $H(x)={\red -2\tm}\dfrac1x$,
alors $H'(x)={\red-2\tm}\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac2{x^2}=h(x)$.
et donc $H=-\dfrac2x$ est une primitive de $h(x)=\dfrac2{x^2}$.
\enen
\bigskip\noindent
\textbf{\large\ul{Méthode générale:}}
\bgmp[t]{13.8cm}On \textbf{\red recherche} une primitive d'une fonction donnée en cherchant dans les tableaux des dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les dérivées.
Ensuite, on modifie éventuellement la primitive proposée en
\textbf{\red multipliant par une constante}.
Enfin, on calcule la dérivée de la fonction proposée comme primitive pour vérifier qu'on obtient bien la fonction de départ.
\enmp
\medskip
\ul{Exemple:}
Soit $f(x)=5x^3$.
On obtient $x^3$ en dérivant $x^4$.
Plus précisémenent, la dérivée de $x^4$ est $4x^3$ et donc, pour obtenir finalement $5x^3$, il suffit de multiplier par 5 et diviser par 4, soit
$F(x)={\red\dfrac54}x^4$.
En dérivant, on obtient bien:
$F'(x)={\red\dfrac54\tm}4x^3=5x^3=f(x)$,
et $F$ est ainsi bien une primitive de $f$.
\bgth{
Si $F$ est une primitive de la fonction $f$, alors \textbf{\red toutes} les primitives de $f$ s'écrivent sous la forme $F+k$, où $k$ est une constante réelle quelconque.
}
\medskip\noindent
\ul{Exemple:}
$F(x)=3x^2+\dfrac1x$ est une primitive de
$f(x)=6x-\dfrac1{x^2}$.
$G(x)=F(x)+3=3x^2+\dfrac1x+3$ est aussi une primitive, tout comme
$H(x)=F(x)-12,5=3x^2+\dfrac1x-12,5$.
\textbf{\red Toutes} les primitives de $f$ sont données par
\[F(x)=3x^2+\dfrac1x+k\]
pour $k$ une constante réelle quelconque.
\section{Primitives des fonctions usuelles}
\subsection{Primitives de polyn\^omes}
\bgprop{Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^n$, pour un entier naturel $n$, est
\[F(x)=\dfrac1{n+1}\,x^{n+1}\]
}
\textbf{Exemples:}
\bgit
\item Pour $n=0$, une primitive de $f(x)=x^0=1$ est $F(x)=\dfrac11x^1=x$
\item Pour $n=1$, une primitive de $f(x)=x^1=x$ est $F(x)=\dfrac12x^2$
\item Pour $n=2$, une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x)=\dfrac13x^3$
\item Pour $n=3$, une primitive de $f(x)=x^3$ est $F(x)=\dfrac14x^4$
\item ...
\enit
Pour trouver une primitive d'un polyn\^ome, on applique la propriété précédente à chacun des termes, par exemple,
pour le polyn\^ome
\[\bgar{rcrcrcrcr}
f(x)&=&x^5&+&x^3&+&x\\
F(x)&=&\dfrac16x^6&+&\dfrac14x^4&+&\dfrac12x^2&+&k\enar\]
pour tout constante réelle $k$.
\bgex
Déterminer les primitives des polyn\^omes suivants:
a) $f(x)=x^8+x^2$ \quad
b) $f(x)=3x^2+5x+1$ \\[.5em]
c) $f(x)=x^9-3x^2+2$ \quad
d) $f(x)=-5x^5+3$ \quad
e) $f(x)=\dfrac{x^4}3-12x^2+\dfrac32$ \quad
g) $f(x)=-\dfrac43x^3+6x$
\enex
\subsection{Autres fonctions}
\bgex
Déterminer dans chaque cas les primitives des fonctions suivnates:
a) $f(x)=15x^2-\dfrac13x+2$
\begin{tabular}{llll}
b) $f(x)=-3x+\dfrac14x^3$
&c) $f(x)=\dfrac1{x^2}+3x$
&d) $f(x)=-\dfrac23x+\dfrac3{x^2}$
&e) $f(x)=-\dfrac1{(x-2)^2}$\\
f) $f(x)=\dfrac3{(2x-3)^2}$
&g) $f(x)=\dfrac5{(-2x+1)^2}+3$
&h) $f(x)=2x\lp x^2+3\rp$
&i) $f(x)=(x+2)^3$ \\
j) $f(x)=(3x-2)^4$
&k) $f(x)=x^2\lp x^3+5\rp^3$
&l) $f(x)=\cos(x)$
&m) $f(x)=\sin(x)$ \\
o) $f(x)=\cos(3x)$
&p) $f(x)=1-\cos(2x)$
&q) $f(x)=\cos\lp3x+\dfrac\pi2\rp$
&r) $f(x)=-3x+\sin\lp\dfrac1{2\pi}x\rp$
\end{tabular}
\enex
\subsection{Unique primitive vérifiant une condition}
Toutes les primitives d'une m\^eme fonction sont définies à une constante additive près. Imposer de plus une condition sur la primitive permet de déterminer cette constante.
\textbf{Exemple:} Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=3x^2+4x+1$ vérifiant de plus $F(1)=0$.
\medskip
$f$ est un polyn\^ome, et pour tout constante $k$,
$F(x)=x^3+2x^2+x+k$ en est une primitive.
Maintenant,
\[\bgar{ll}F(1)&=0\iff 1^3+2\tm1^2+1+k=0\\
&\iff 4+k=0 \iff k=-4\enar\]
Ainsi,
$F(x)=x^3+2x^2+x-4$ est \textbf{\red l'unique} primitive de $f$ telle que $F(1)=0$.
\bgex
Dans chaque cas, déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant la condition donnée:
\bgen[a)]
\item $f(x)=-2x+4$, et $F(2)=3$
\item $f(x)=8x^3-3x$, et $F(1)=2$
\item $f(x)=\dfrac1{(x+1)^2}+1$, et $F(0)=2$
\item $f(x)=2\cos(2x)+2$, et $F\lp\dfrac\pi4\rp=1$
\enen
\enex
\section{Calculs d'aire et intégrales}
\noindent\bgmp{12cm}
\bgdef{Soit $f$ une fonction positive sur $[a;b]$
alors l'aire du domaine
\[\mathcal{D}=\left\{ \bgar{ll}\ \\ M(x;y) \text{ tel que }
\la\bgar{ll}
&0\leqslant x\leqslant 2\\ \text{et}&0\leqslant y\leqslant f(x)\enar
\right.\\ \ \enar\ra\]
est l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, noté
$\dsp\int_a^b f(x)dx$.
}
\enmp
\bgmp{7cm}
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4.8,3.7)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\psline{->}(-1.2,0)(3,0)
\psline{->}(0,-0.8)(0,3.6)
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
\pscustom{
\psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave
\psline(2.2,0)(-.6,0)
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
\put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}
\put(3.9,3.5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgprop{Soit $f$ une fonction positive sur $[a;b]$
et $F$ une primitive de $f$, alors
on a
\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]
}
\noindent\bgmp{12cm}
\textbf{Exemple}
Soit $f(x)=x^2$.
L'aire du domaince hachuré ci-contre est donc
\[A=\int_a^b f(x)dx=F(2)-F(0)\]
Ici une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac13x^3$, et
alors
$F(2)=\dfrac13\tm2^3=\dfrac83$
et $F(0)=0$.
L'aire est donc $\mathcal{A}=\dfrac83$.
\enmp
\bgmp{7cm}
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-.6)(4.8,4.8)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\psline{->}(-1.2,0)(3,0)
\psline{->}(0,-0.6)(0,4.8)
\nwc{\f}[1]{#1 2 exp}
\pscustom{\psplot{0}{2}{\f{x}} \gsave
\psline(2,0)(0,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-.8}{2.2}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](2,-0.1)(!2 \space \f{2} 0.4 add)
\rput(-.1,-0.3){0}\rput(2,-0.3){$2$}
\put(2.3,3.5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
Calculer l'aire du domine hachuré ci-contre, où la courbe
est celle de la fonction définie par $f(x)=0.5x+1$.
\enex
\enmp
\bgmp{7cm}
\[\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2)
\psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)
\nwc{\f}[1]{#1 0.5 mul 1 add}
\pscustom{\psplot{-2}{2}{\f{x}} \gsave
\psline(2,0)(-2,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-2.9}{2.9}{\f{x}}
\rput(-2,-0.3){$-2$}\rput(2,-0.3){$2$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
Calculer l'aire du domine hachuré ci-contre, où la courbe
est celle de la fonction définie par $f(x)=\cos(x)+1$.
\enex
\enmp
\bgmp{7cm}
\[\psset{xunit=.8cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2)
\psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)
\nwc{\f}[1]{#1 180 mul 3.1415 div cos 1 add}
\pscustom{\psplot{-3.14}{3.14}{\f{x}} \gsave
\psline(3.14,0)(-3.14,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-4.4}{4.4}{\f{x}}
\rput(-3.14,-0.3){$-\pi$}\rput(3.14,-0.3){$\pi$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent
\bgmp{13cm}
\bgex
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.
\bigskip
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\bigskip
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$,
donc de la forme $x^n$, afin de chercher une primitive)}
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\[\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\renewcommand{\g}[1]{#1 #1 mul}
\pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore}
\pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]\grestore}
\psline{->}(-0.1,0)(1.25,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Calculer l'aire du domaine, hachuré sur la figure ci-contre,
délimité par les courbes représentatives des fonctions
$f$ et $g$ définies par
$f(x)=x^3+4$ et $g(x)=3x^2$.
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{xunit=1.4cm,yunit=.3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,13)
\psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,12.5)
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 4 add}
\renewcommand{\g}[1]{x 2 exp 3 mul}
\psplot{-1.3}{2.1}{\f{x}}
\psplot{-1.3}{2.1}{\g{x}}
\pscustom{\psplot{-1}{2}{\f{x}}\gsave
\psplot{2}{-1}{\g{x}}\fill[fillstyle=vlines]\grestore}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)
\rput(-1,-.8){$-1$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,12)
\rput(2,-.8){$2$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\label{LastPage}
\end{document}
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