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Description
Cours de mathématiques 1ère STI2D - probabilité, loi binomiale
Niveau
Première STI2D
Table des matières
  • Schéma de Bernoulli
  • Variable aléatoire - Loi de probabilité
  • Loi binomiale
Mots clé
probabilités, loi binomiale, schéma de Bernoulli, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathmatiques: Suites numriques},
    pdftitle={Suites numriques},
    pdfkeywords={Mathmatiques, 1STI, 1STI2D, premire, STI, STI2D, 
      suites, suites numriques, 
      suite arithmtique, suite gomtrique, 
      limite, limite d'une suite}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\setcounter{ndef}{1}
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  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilits}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{re}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $1^{\text{re}}STI2D$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents


\section{Schma de Bernoulli}

\bgex
On lance une pice bien quilibre 2 fois successivement. 

A l'aide d'un arbre, complter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  Evnement & Obtenir 0 "faces" & Obtenir 1 "face" & Obtenir 2 "face"
  \\\hline
  Probabilit &&& \\\hline
\end{tabular}
\]

On lance cette fois la pice 3 fois successivement. 
Complter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
  Evnement: Obtenir $k$ "face" 
  & \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\  
  & \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\ 
  \\\hline
  Probabilit &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex


\bgex
Un archer touche sa cible avec une probabilit $p=0,7$. 
Il tire deux flches successivement. 
On suppose qu'il tire chaque flche indpendamment des autres 
(le fait de rater ou de russir un tir n'influe pas sur la probabilit
de russite du tir suivant). 

\vspd
A l'aide d'un arbre pondr, complter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  Evnement: 
  toucher $k$ fois la cible
  & \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\  
  & \quad$k=2$\quad\ 
  \\\hline
  Probabilit &&& \\\hline
\end{tabular}
\]

Il tire maintenant 3 flches. 
Complter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
  Evnement: toucher $k$ fois la cible
  & \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\  
  & \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\ 
  \\\hline
  Probabilit &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex


\noindent
\bgmp{15cm}
\bgdef{
  On appelle preuve de Bernoulli une exprience alatoire qui n'a
  que deux issues: un succs not $S$ et de probabilit $p$, et un
  chec not $E$ de probabilit $q=1-p$. 
}
\enmp\qquad
\bgmp{2cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(3,2)
  \psline(0,0)(1.5,1.)\rput(1.75,1.){$S$}
  \rput(0.8,0.7){$p$}
  \psline(0,0)(1.5,-1.)\rput(1.75,-1.){$E$}
  \rput(0.8,-0.8){$q$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgdef{
  Un schma de Bernoulli est une exprience alatoire qui consiste 
  rpter plusieurs fois et de manire indpendante la mme preuve de
  Bernoulli. 
}


\bgex
Une socit produit des composants lectroniques. Une tude a permis
de montrer que la probabilit pour qu'un composant  la sortie de
l'usine soit dfectueux est gale  $0,01$. 

On prlve au hasard quatre composants (les composants sont
conditionns par lots de quatre afin d'tre vendus). 
La quantit produite est suffisamment importante pour que l'on
considre le prlvement comme tant avec remise. 

\bgen
\item Justifier que ce tirage correspond  un schma de Bernoulli. 
\item Calculer la probabilit que l'on ait exactement un composant
  dfectueux dans le lot. 
\item Calculer la probabilit que l'on ait au plus un composant
  dfectueux dans le lot. 
\enen 
\enex

\bgex
Une compagnie d'assurance constate que 60\,\% des maisons assures
n'ont pas subi de sinistre dans l'anne en cours. 
Pour adapter les contrats, elle dcide de prlever trois dossiers au
hasard parmi ses clients. 

La compagnie est suffisamment importante pour que l'on puisse
considrer ces prlvements comme tant avec remise. 

\bgen
\item Justifier que cette exprience correspond  un schma de Bernoulli. 
\item Calculer la probabilit que deux maisons, ou plus, n'aient 
  pas subi de sinistre. 
\enen 
\enex


\bgex
25\,\% des personnes sont formes aux gestes qui peuvent sauver d'un
accident cardio-vasculaire. 

Quatre personnes sont tmoins d'un accident cardio-vasculaire. 

\bgen
\item Reprsenter par un arbre pondr la situation. 
\item Quelle est la probabilit que parmi les quatre tmoins, aucun ne
  soit form aux gestes qui sauvent ? 
\item Quelle est la probabilit que parmi les quatre tmoins, au moins
  un soit form aux gestes qui sauvent ?
\enen
\enex

\section{Variable alatoire - Loi de probabilit}

\bgdef{
  On appelle variable alatoire toute fonction $X$ de l'univers
  $\Omega$ des possibilits dans $\R$. 
}


\bgex
Je avec un ami joue au jeu suivant: 
je lance un d non pip deux fois successivement. 

\bgit
\item Si les deux mme chiffres sortent, je gagne (et mon ami
  perd\dots) 10 euros. 
\item Si le deuxime chiffre obtenu est suprieur au premier, je gagne
  5 euros. 
\item Dans tous les autres cas, je perds 6 euros.  
\enit

On note $X$ la variable alatoire gale  mon gain algbrique (gain ou
perte) lors d'une partie. 

\bgen
\item Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable alatoire
  $X$ ? 
\item A l'aide d'un arbre, complter le tableau donnant l'ensemble des
  probabilits: 
  \[
  \renewcommand{\arraystretch}{2}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
    Valeurs $x_k$ prises par $X$ 
    & \quad$-6$\quad\ & \quad$5$\quad\  
    & \quad$10$\quad\ 
    \\\hline
    Probabilit $P\lp X=x_k\rp$ &&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]
\item Quel est mon gain moyen sur une partie ? 
  Ce jeu est-il quitable ?
\enen
\enex


\bgdef{
  Soit une variable alatoire $X$ pouvant prendre les valeurs 
  $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$. 

  La loi de probabilit de $X$ est l'ensemble des probabilits 
  $P\lp X=x_i\rp$ de chaque valeur~$x_i$. 

  On consigne en gnral ces rsultats dans un tableau: 
  \[
  \renewcommand{\arraystretch}{2}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
    Valeurs $x_k$ prises par $X$ 
    & \quad$x_1$\quad\ & \quad$x_2$\quad\  
    & \quad\dots\quad\ &\quad$x_n$\quad\  
    \\\hline
    Probabilit\ \ $p_k=P\lp X=x_k\rp$ & $p_1$ & $p_2$ & \dots & $p_n$ \\\hline
  \end{tabular}
  \]
}

\vspq\noindent
\ul{Remarque:} La somme des probabilits est gale  1: 
$p_1+p_2+\dots+p_n=1$. 

\bgex
$5\,\%$ des composants lectroniques produits par une usine ont des
caractristiques hors de la tolrance impose, et sont donc considrs
comme dfectueux. 

On prlve au hasard, et avec remise, trois composants  la sortie de
l'usine. 

On note $X$ la variable alatoire qui  tout prlvement de trosi
composants associe le nombre de composants dfectueux. 

\bgen
\item Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable alatoire
  $X$ ? 

\item Dcrire en franais l'vnement $X=2$. 

\item Calculer la probabilit $P\lp X=2\rp$. 

\item Dresser le tableau donnant la loi de probabilit de $X$. 

\item Quel nombre de composants dfectueux peut-on s'attendre  avoir,
  en moyenne, sur un prlvement alatoire de 3 composants ?
\enen
\enex


\section{Loi binomiale}

\bgdef{
  On considre un schma de Bernoulli, et on note $X$ la variable
  alatoire gale au nombre de succs obtenus sur les $n$
  rptitions. 

  Alors $X$ suit la loi binomiale de paramtres $n$, 
  le nombre d'preuves rptes, 
  et $p$, la probabilit d'un succs lors d'une preuve. 

  On note cette loi $\mathcal{B}(n;p)$. 
}

La variable alatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ si: 
\bgit
\item on rpte $n$ fois, de manire identique et indpendante, 
  une preuve de Bernoulli, dont le succs $S$ a pour probabilit
  $p$. 
\item $X$ compte le nombre de succs sur les $n$ rptitions. 
\enit




\end{document}

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