Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices math�matiques: Probabilit�s},
pdftitle={Probabilit�s - Loi binomiale - Exercices},
pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, 1STI2D, premi�re, STI, STI2D,
probabilit�s, arbre, arbre pond�r�,
arbre de probabilit�s,
r�p�tition d'exp�riences,
loi binomiale
}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilit�s - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{�re}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $1^{\text{�re}}STI2D$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{�re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\bgex
On lance une pi�ce bien �quilibr�e 2 fois successivement.
A l'aide d'un arbre, compl�ter le tableau:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
Ev�nement & Obtenir 0 "faces" & Obtenir 1 "face" & Obtenir 2 "face"
\\\hline
Probabilit� &&& \\\hline
\end{tabular}
\]
On lance cette fois la pi�ce 3 fois successivement.
Compl�ter le tableau:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
Ev�nement: Obtenir $k$ "face"
& \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\
& \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\
\\\hline
Probabilit� &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex
\bgex
Un archer touche sa cible avec une probabilit� $p=0,7$.
Il tire deux fl�ches successivement.
On suppose qu'il tire chaque fl�che ind�pendamment des autres
(le fait de rater ou de r�ussir un tir n'influe pas sur la probabilit�
de r�ussite du tir suivant).
\vspd
A l'aide d'un arbre pond�r�, compl�ter le tableau:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
Ev�nement:
toucher $k$ fois la cible
& \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\
& \quad$k=2$\quad\
\\\hline
Probabilit� &&& \\\hline
\end{tabular}
\]
Il tire maintenant 3 fl�ches.
Compl�ter le tableau:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
Ev�nement: toucher $k$ fois la cible
& \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\
& \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\
\\\hline
Probabilit� &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex
\bgex
Une soci�t� produit des composants �lectroniques. Une �tude a permis
de montrer que la probabilit� pour qu'un composant � la sortie de
l'usine soit d�fectueux est �gale � $0,01$.
On pr�l�ve au hasard quatre composants (les composants sont
conditionn�s par lots de quatre afin d'�tre vendus).
La quantit� produite est suffisamment importante pour que l'on
consid�re le pr�l�vement comme �tant avec remise.
\bgen
\item Justifier que ce tirage correspond � un sch�ma de Bernoulli.
\item Calculer la probabilit� que l'on ait exactement un composant
d�fectueux dans le lot.
\item Calculer la probabilit� que l'on ait au plus un composant
d�fectueux dans le lot.
\enen
\enex
\bgex
Une compagnie d'assurance constate que 60\,\% des maisons assur�es
n'ont pas subi de sinistre dans l'ann�e en cours.
Pour adapter les contrats, elle d�cide de pr�lever trois dossiers au
hasard parmi ses clients.
La compagnie est suffisamment importante pour que l'on puisse
consid�rer ces pr�l�vements comme �tant avec remise.
\bgen
\item Justifier que cette exp�rience correspond � un sch�ma de Bernoulli.
\item Calculer la probabilit� que deux maisons, ou plus, n'aient
pas subi de sinistre.
\enen
\enex
\bgex
25\,\% des personnes sont form�es aux gestes qui peuvent sauver d'un
accident cardio-vasculaire.
Quatre personnes sont t�moins d'un accident cardio-vasculaire.
\bgen
\item Repr�senter par un arbre pond�r� la situation.
\item Quelle est la probabilit� que parmi les quatre t�moins, aucun ne
soit form� aux gestes qui sauvent ?
\item Quelle est la probabilit� que parmi les quatre t�moins, au moins
un soit form� aux gestes qui sauvent ?
\enen
\enex
\bgex
Je avec un ami joue au jeu suivant:
je lance un d� non pip� deux fois successivement.
\bgit
\item Si les deux m�me chiffres sortent, je gagne (et mon ami
perd\dots) 10 euros.
\item Si le deuxi�me chiffre obtenu est sup�rieur au premier, je gagne
5 euros.
\item Dans tous les autres cas, je perds 6 euros.
\enit
On note $X$ la variable al�atoire �gale � mon gain alg�brique (gain ou
perte) lors d'une partie.
\bgen
\item Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable al�atoire
$X$ ?
\item A l'aide d'un arbre, compl�ter le tableau donnant l'ensemble des
probabilit�s:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
Valeurs $x_k$ prises par $X$
& \quad$-6$\quad\ & \quad$5$\quad\
& \quad$10$\quad\
\\\hline
Probabilit� $P\lp X=x_k\rp$ &&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\item Quel est mon gain moyen sur une partie ?
Ce jeu est-il �quitable ?
\enen
\enex
\bgex
$5\,\%$ des composants �lectroniques produits par une usine ont des
caract�ristiques hors de la tol�rance impos�e, et sont donc consid�r�s
comme d�fectueux.
On pr�l�ve au hasard, et avec remise, trois composants � la sortie de
l'usine.
On note $X$ la variable al�atoire qui � tout pr�l�vement de trosi
composants associe le nombre de composants d�fectueux.
\bgen
\item Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable al�atoire
$X$ ?
\item D�crire en fran�ais l'�v�nement $X=2$.
\item Calculer la probabilit� $P\lp X=2\rp$.
\item Dresser le tableau donnant la loi de probabilit� de $X$.
\item Quel nombre de composants d�fectueux peut-on s'attendre � avoir,
en moyenne, sur un pr�l�vement al�atoire de 3 composants ?
\enen
\enex
\end{document}
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