Source Latex: Cours de mathématiques en Première STI2D


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Type: Cours
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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques 1ère STI2D - probabilités
Niveau
Première STI2D
Mots clé
probabilités, loi binomiale, schéma de Bernoulli, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices math�matiques: Probabilit�s},
    pdftitle={Probabilit�s - Loi binomiale - Exercices},
    pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, 1STI2D, premi�re, STI, STI2D, 
      probabilit�s, arbre, arbre pond�r�, 
      arbre de probabilit�s, 
      r�p�tition d'exp�riences, 
      loi binomiale
    }
}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\oddsidemargin=-1cm

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\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilit�s - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{�re}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
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\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{�re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents


\bgex
On lance une pi�ce bien �quilibr�e 2 fois successivement. 

A l'aide d'un arbre, compl�ter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  Ev�nement & Obtenir 0 "faces" & Obtenir 1 "face" & Obtenir 2 "face"
  \\\hline
  Probabilit� &&& \\\hline
\end{tabular}
\]

On lance cette fois la pi�ce 3 fois successivement. 
Compl�ter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
  Ev�nement: Obtenir $k$ "face" 
  & \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\  
  & \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\ 
  \\\hline
  Probabilit� &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex


\bgex
Un archer touche sa cible avec une probabilit� $p=0,7$. 
Il tire deux fl�ches successivement. 
On suppose qu'il tire chaque fl�che ind�pendamment des autres 
(le fait de rater ou de r�ussir un tir n'influe pas sur la probabilit�
de r�ussite du tir suivant). 

\vspd
A l'aide d'un arbre pond�r�, compl�ter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  Ev�nement: 
  toucher $k$ fois la cible
  & \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\  
  & \quad$k=2$\quad\ 
  \\\hline
  Probabilit� &&& \\\hline
\end{tabular}
\]

Il tire maintenant 3 fl�ches. 
Compl�ter le tableau: 
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
  Ev�nement: toucher $k$ fois la cible
  & \quad$k=0$\quad\ & \quad$k=1$\quad\  
  & \quad$k=2$\quad\ & \quad$k=3$\quad\ 
  \\\hline
  Probabilit� &&&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex




\bgex
Une soci�t� produit des composants �lectroniques. Une �tude a permis
de montrer que la probabilit� pour qu'un composant � la sortie de
l'usine soit d�fectueux est �gale � $0,01$. 

On pr�l�ve au hasard quatre composants (les composants sont
conditionn�s par lots de quatre afin d'�tre vendus). 
La quantit� produite est suffisamment importante pour que l'on
consid�re le pr�l�vement comme �tant avec remise. 

\bgen
\item Justifier que ce tirage correspond � un sch�ma de Bernoulli. 
\item Calculer la probabilit� que l'on ait exactement un composant
  d�fectueux dans le lot. 
\item Calculer la probabilit� que l'on ait au plus un composant
  d�fectueux dans le lot. 
\enen 
\enex

\bgex
Une compagnie d'assurance constate que 60\,\% des maisons assur�es
n'ont pas subi de sinistre dans l'ann�e en cours. 
Pour adapter les contrats, elle d�cide de pr�lever trois dossiers au
hasard parmi ses clients. 

La compagnie est suffisamment importante pour que l'on puisse
consid�rer ces pr�l�vements comme �tant avec remise. 

\bgen
\item Justifier que cette exp�rience correspond � un sch�ma de Bernoulli. 
\item Calculer la probabilit� que deux maisons, ou plus, n'aient 
  pas subi de sinistre. 
\enen 
\enex


\bgex
25\,\% des personnes sont form�es aux gestes qui peuvent sauver d'un
accident cardio-vasculaire. 

Quatre personnes sont t�moins d'un accident cardio-vasculaire. 

\bgen
\item Repr�senter par un arbre pond�r� la situation. 
\item Quelle est la probabilit� que parmi les quatre t�moins, aucun ne
  soit form� aux gestes qui sauvent ? 
\item Quelle est la probabilit� que parmi les quatre t�moins, au moins
  un soit form� aux gestes qui sauvent ?
\enen
\enex


\bgex
Je avec un ami joue au jeu suivant: 
je lance un d� non pip� deux fois successivement. 

\bgit
\item Si les deux m�me chiffres sortent, je gagne (et mon ami
  perd\dots) 10 euros. 
\item Si le deuxi�me chiffre obtenu est sup�rieur au premier, je gagne
  5 euros. 
\item Dans tous les autres cas, je perds 6 euros.  
\enit

On note $X$ la variable al�atoire �gale � mon gain alg�brique (gain ou
perte) lors d'une partie. 

\bgen
\item Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable al�atoire
  $X$ ? 
\item A l'aide d'un arbre, compl�ter le tableau donnant l'ensemble des
  probabilit�s: 
  \[
  \renewcommand{\arraystretch}{2}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
    Valeurs $x_k$ prises par $X$ 
    & \quad$-6$\quad\ & \quad$5$\quad\  
    & \quad$10$\quad\ 
    \\\hline
    Probabilit� $P\lp X=x_k\rp$ &&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]
\item Quel est mon gain moyen sur une partie ? 
  Ce jeu est-il �quitable ?
\enen
\enex



\bgex
$5\,\%$ des composants �lectroniques produits par une usine ont des
caract�ristiques hors de la tol�rance impos�e, et sont donc consid�r�s
comme d�fectueux. 

On pr�l�ve au hasard, et avec remise, trois composants � la sortie de
l'usine. 

On note $X$ la variable al�atoire qui � tout pr�l�vement de trosi
composants associe le nombre de composants d�fectueux. 

\bgen
\item Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable al�atoire
  $X$ ? 

\item D�crire en fran�ais l'�v�nement $X=2$. 

\item Calculer la probabilit� $P\lp X=2\rp$. 

\item Dresser le tableau donnant la loi de probabilit� de $X$. 

\item Quel nombre de composants d�fectueux peut-on s'attendre � avoir,
  en moyenne, sur un pr�l�vement al�atoire de 3 composants ?
\enen
\enex




\end{document}

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