@ccueil Colles

Source LaTeX icone Cours-Produit-scalaire-1STI-Exercices



Fichier
Type: Cours
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques 1ère STI2D - produit scalaire
Niveau
Première STI2D
Table des matières
  • Expressions du produit scalaire
    • Définition
    • Propriétés du produit scalaire
    • Projection orthogonale
    • Expression du produit scalaire à l'aide des normes uniquement
    • Produit scalaire et coordonnées
  • Décomposition d'un vecteur sur deux axes orthogonaux
  • Exercices
Mots clé
produit scalaire, vecteurs, géométrie, exerices de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathmatiques: produit scalaire},
    pdftitle={Produit scalaire},
    pdfkeywords={Mathmatiques, 1STI, 1STI2D, premire, 
      STI, STI2D, produit scalaire}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
%\nopagebreak%
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.8cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Proprit \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Proprits \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Proprits}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Dfinition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Produit scalaire - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE{} - $1^{\text{re}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}S$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}



\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex

$ABC$ est un triangle quilatral de ct 4 cm. 
$I$ est le milieu de $[BC]$. 

\vspd
Calculer les produits scalaires: 
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AC}$ 
\quad
b)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AI}$ 
\quad
c)\ \ $\V{IA}\cdot\V{BI}$ 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
%\fbox{
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1.cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.5,2.9){$C$}
  \rput(1.5,-0.3){$I$}
\end{pspicture}
\enmp%}


\vspd\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
$ABCD$ est un carr de ct 2 cm de centre $O$.

Calculer les produits scalaires: 

\vspd
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AD}$ 
\quad
b)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AC}$ 
\quad
c)\ \ $\V{BC}\cdot\V{BD}$ 
\quad
d)\ \ $\V{OB}\cdot\V{DC}$ 
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,3.4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(3,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,3.1){$C$}
  \rput(-0.2,3.1){$D$}
  \rput(1.5,1.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp


\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex

Dans le triangle $ABC$ ci-contre, 
$H$ est le projet orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. 

On donne de plus $AC=2$, $AB=4$, et 
$\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$. 

\bgen[a)] 
\item Calculer $AH$. 
\item Dterminer $\V{AB}\cdot\V{AC}$ et $\V{AB}\cdot\V{AH}$. 
\item Que remarque-t-on ?
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(5,0)(1.,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.,0)(1.,2.7)
  \psarc(0,0){0.5}{0}{65}\rput(0.6,0.5){$\frac{\pi}{3}$}
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(5.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.,2.9){$C$}
  \rput(1.,-0.2){$H$}
  \rput(0.3,1.4){$2$}
\end{pspicture}
\enmp





\bgex
\vspd

\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(9,6.)
  \multido{\i=0+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
  }
  \multido{\i=0+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(9,\i)
  }
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(3,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(7,2)
  \rput(0.7,1.6){$A$}
  \rput(3.,1.6){$H$}
  \rput(7.4,1.6){$B$}
  \rput(3.4,5.4){$C$}
  \rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6.)
  \multido{\i=0+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
  }
  \multido{\i=0+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(7,\i)
  }
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(1,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(7,1)
  \rput(3.8,.5){$A$}
  \rput(6.8,.5){$B$}
  \rput(1.4,5.4){$C$}
  \rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6.)
  \multido{\i=0+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
  }
  \multido{\i=0+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(7,\i)
  }
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,3)(2,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,3)(6,2)
  \rput(1.6,5.4){$B$}
  \rput(6.4,1.5){$C$}
  \rput(1.7,2.6){$A$}
  \rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\enex


\vspace{0.8cm}\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex
$ABD$ est un triangle rectangle isocle en $B$. 

L'angle $\widehat{BCD}$ mesure $30^\circ$ et $AB=3$. 

\bgen
\item Calculer les longueurs $AD$, $CD$ et $BC$. 
\item Dterminer les produits scalaires suivants: 
  
  \vspd
  a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AD}$ 
  \quad
  b)\ \ $\V{CD}\cdot\V{CB}$
  \quad
  c)\ \ $\V{DA}\cdot\V{DC}$
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1.5,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(8,0)(3,3)
  \psline(3,0)(3,3)
  \rput(-0.1,-0.3){$A$}
  \rput(3.,-0.3){$B$}
  \rput(3,3.2){$D$}
  \rput(8,-0.3){$C$}
  \psline(2.8,0)(2.8,0.2)(3,0.2)
\end{pspicture}
\enmp


\vspd\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex

$ABC$ est un triangle isocle de sommet $A$ tel que  
$AB=2,5$ cm et $BC=3$ cm. 
$I$ est le milieu de $[BC]$. 

\vspd
Exprimer le produit scalaire 
$\V{BC}\cdot\V{BA}$ de deux manires diffrentes, 
et en dduire la valeur de l'angle $\widehat{ABC}$  $0,1$ degr
prs. 
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,2.6)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,-0.1){$C$}
  \rput(1.5,2.9){$A$}
  \rput(1.5,-0.2){$I$}
  \psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp

\vspq
\bgmp{12.4cm}
\bgex
$ABCD$ est un losange de centre $O$ dont les diagonales mesurent
$AC=4$ cm et $DB=3$ cm. 

\vspd
Calculer une valeur approche de l'angle $\widehat{DAC}$  $0,1$
prs. 
\enex
\enmp\quad
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-1.7)(2.3,1.8)
  \pspolygon(-2,0)(0,1.5)(2,0)(0,-1.5)
  \psline[linestyle=dashed](-2,0)(2,0)
  \psline[linestyle=dashed](0,-1.5)(0,1.5)
  \rput(-2.2,0){$A$}
  \rput(2.2,0){$C$}
  \rput(0,1.7){$B$}
  \rput(0,-1.7){$D$}
  \rput(-0.2,-0.2){$O$}
\end{pspicture}
\enmp



\bgex
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que 
$\|\vec{u}\|=3$, 
$\|\vec{v}\|=2$ 
et 
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp=\dfrac{\pi}{3}$. 
Calculer $\|\vec{u}+\vec{v}\|$. 
\enex



\bgex
Dans un repre orthonormal $\lp 0;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ dans chacun des cas
suivants, 
et en dduire une valeur de l'angle
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp$  $0,1$ degr prs.

\vspd
a)\ $\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(6;5)$
\qquad
b)\ $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}\lp3;\dfrac12\rp$
\qquad
c)\ $\vec{u}(\sqrt{2};-2)$ et $\vec{v}(\sqrt{2};1)$
\enex

\bgex
On se place dans un repre orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

Dans chacun des cas, dterminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs 
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux. 

\noindent
a)\ \ $\vec{u}\lp m;5\rp$ et $\vec{v}\lp 1;-4\rp$
\quad
b)\ \ $\vec{u}\lp 2m;1\rp$ et $\vec{v}\lp 3;2\rp$
\quad
c)\ \ $\vec{u}\lp \dfrac{m}{2};2\rp$ et $\vec{v}\lp 3;-1\rp$
\quad
d)\ \ $\vec{u}\lp m;3\rp$ et $\vec{v}\lp m;-4\rp$
\enex

\bgex
Dans un un repre orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on considre les points 
$A(-3;1)$, $B(4;-1)$ et $C(1;15)$.  

Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enex


\noindent
\bgmp{11.8cm}
\bgex
Une personne tire sur une corde attache au sommet d'un mur vertical
avec une force de 200 N suivant un angle de $40^\circ$ avec
l'horizontale. 

\vspd
Dterminer la dcomposition de cette force sur des axes horizontaux et
verticaux, et calculer l'intensit de chacune de ces forces. 
\enex
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{7cm}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(5,3.2)
  \psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=8pt]{->}(4,3)(0,0)
  \rput(4,3){$\bullet$}\rput(4,3.3){$A$}
  \newcommand\f[1]{#1 0.3 mul}
  \newcommand\g[1]{\f{#1} 0.3 add}
  \psline(!4\space\f{-2})(4,3)(6,3)
  \multido{\i=-2+1}{12}{
    \psline(! 4\space\f{\i})(! 4.5\space \g{\i})
  }
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,0)
  \psarc(0,0){1}{0}{34}\rput(1.4,0.4){$40^{\circ}$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Le plan est rapport  un  RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

On considre les points 
$A(1;-1)$, $B(3;3)$, $C(-4;4)$, $D(2;1)$, $E(17;12)$ et $F(5;-12)$. 

\bgen
\item Montrer que $(AB) /\!/ (CD)$. 
\item Montrer que $(AB)\perp (EF)$. 
%\item Dterminer l'quation de la droite $d$ perpendiculaire  $(AB)$
%  et passant par l'origine du repre. 
%\item Dterminer de deux mthodes diffrentes l'quation de la
%  mdiatrice de $[AB]$. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{11.cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que 
$AB=3$ cm et $BC=4$ cm. 

On appelle $H$ le projet orthogonal de $B$ sur $(AC)$. 

\vspd
Calculer la longueur $AH$ 

{\em (on pourra utiliser le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$)}.
\enex
\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,3)
  \pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.44,1.92)
  \rput(-0.2,-0.2){$B$}
  \rput(-0.2,3){$A$}
  \rput(4,-0.2){$C$}
  \rput(1.65,2.1){$H$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Dans un repre orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
on considre les points 
$A(2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(0;-2)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonnes des vecteurs 
  $\V{AB}$, $\V{BC}$ et $\V{AC}$. 
\item Calculer les longueurs des cts du triangle $ABC$. 
\item Calculer les produits scalaires 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}$, 
  $\V{BC}\cdot\V{BA}$ 
  et $\V{CA}\cdot\V{CB}$. 
\item En dduire au degr prs les angles du triangle $ABC$. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Un solide est en quilibre sur un plan inclin. 

Ce solide estsoumis  trois forces: 
\bgit
\item son poids $\V{P}$
\item la raction du support $\V{R}$
\item la tension de la corde $\V{T}$
\enit

On sait de plus que $P=20$ N et $\alpha=30^\circ$. 

On cherche  dterminer l'intensit de chacune de ces forces. 

\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(1,0)(5,5)
  \pspolygon(0,0)(8,0)(8,4)
  \psarc(0,0){1}{0}{28}\rput(1.3,0.3){$\alpha$}
  \pspolygon[linewidth=1.4pt](4,2)(5,2.5)(4.6,3.3)(3.6,2.8)
  \rput(4.,2.6){$G$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(4.3,.5)\rput(4.6,1.2){$\V{P}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(6.3,3.65)\rput(5.3,3.5){$\V{T}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(3.2,4.5)\rput(3.8,4.2){$\V{R}$}
  \psline(4.3,2.65)(8,4.5)
  \psline(8,4)(8,4.5)\rput(8,4.5){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspd\noindent
On se place pour cela le repre orthonormal 
$\lp G;\vec{i},\vec{j}\rp$: 

\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(3.5,3)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.25,0.5){$\vec{j}$}
  \rput(-0.4,-0.2){$G$}
  \psline[linewidth=0.4pt](-2,0)(2.5,0)\rput(2.5,-0.2){$x$}
  \psline[linewidth=0.4pt](0,-2)(0,3)\rput(-0.2,3){$y$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(-1,-1.5)\rput(-1,-1){$\V{P}$}
  \psarc(0,0){1}{236}{270}\rput(-0.4,-1.2){$\tht$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)\rput(1.4,0.3){$\V{T}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2.4)\rput(-0.3,2){$\V{R}$}
\end{pspicture}
\enmp\quad
\bgmp{11.5cm}
\bgen
\item Justifier que $\tht=30^\circ$. 
\item On pose $\V{P}=\V{P}_x+\V{P}_y$, 
  o $\V{P}_x$ et $\V{P}_y$ sont les composantes de $\V{P}$ suivant
  les axes $(Gx)$ et $(Gy)$. 

  Calculer $\|\V{P}_x\|$ et $\|\V{P}_y\|$. 

\item Dcomposer suivant les axes du repre les vecteurs 
  $\V{T}$, $\V{R}$ et $\V{P}$. 

\item Le solide est en quilibre, cela signifie que 
  $\V{P}+\V{R}+\V{T}=\V{0}$. 

  Montrer que $\|\V{R}\|-\|\V{P}\|\cos\tht=0$ 
  et 
  $\|\V{T}\|-\|\V{P}\|\sin\tht=0$ 
\item En dduire l'intensit des forces $\V{R}$ et $\V{T}$. 
\enen
\enmp



\bgex {\sl(Equation d'une mdiatrice)} 

Dans un repre orthonormal, on considre les points 
$A(1;4)$ et $B(5;-4)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonnes du milieu $I$ du segment $[AB]$. 
\item On considre un point $M$ appartenant  la mdiatrice de
  $[AB]$. 
  Dterminer $\V{IM}\cdot\V{AB}$. 
\item On note $M(x;y)$ les coordonnes du point $M$. 
  
  Montrer que les coordonnes du point $M$ vrifient l'quation 
  $x-2y-3=0$, appele quation cartsienne de la droite $(IM)$. 

\item Dterminer l'quation rduite de la droite $(IM)$. 
\item Placer les points $A$ et $B$ dans un repre et tracer la droite
  $(IM)$. 
\enen
\enex

\bgex {\sl (Equation d'une hauteur)}

Dans un repre orthonormal, on considre les points 
$A(4;2)$, $B(-3;4)$ et $C(-1;-2)$. 

\bgen
\item Soit $M$ un point de la hauteur du triangle $ABC$ issue du
  sommet $C$. 
  Dterminer $\V{CM}\cdot\V{AB}$. 
\item On note $M(x;y)$ les coordonnes du point $M$. 
  Dterminer l'quation vrifie par les coordonnes $x$ et$y$ du
  point $M$. 
\item Dterminer l'quation rduite de la droite $(CM)$. 
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans un repre et tracer la droite
  $(CM)$. 
\enen
\enex

\bgex {\sl (Equation d'un cercle)}

On considre, dans un repre orthonormal, le cercle $\mathcal{C}$ de
centre $\Omega(3;4)$ et de rayon $2$. 

\bgen
\item Soit $A(1;4)$ et $B(5;4)$. 
  Montrer que le segment $[AB]$ est un diamtre du cercle
  $\mathcal{C}$. 
\item Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$. 
  Dterminer $\V{MA}\cdot\V{MB}$. 
\item On note $M(x;y)$ les coordonnes du point $M$. 
  Dterminer l'quation vrifie par les coordonnes $x$ et $y$ du
  point $M$. 
\enen
\enex


\bgex
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ est un RON direct. 

Soit $A$ et $B$ les points du cercle trigonomtrique $\mathcal{C}$
associs aux angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$. 

\bgen
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ ?
\item Quelles sont les coordonnes de $A$ et $B$ ? 
  En dduire que
  $\V{OA}\cdot\V{OB}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Justifier que $\V{OA}\cdot\V{OB}=\cos\dfrac{\pi}{12}$. 
  \item En dduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$. 
    %puis vrifier que
    %$\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.  
  \enen
\enen
\enex


%\bgex
%Dans les deux cas de figure ci-dessous, 
%calculer la longueur $AO$: 
%
%\begin{pspicture}(-2,-1)(5,2.6)
%  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.2,2)
%  \psline(1.5,0)(1.2,2)
%  \rput(1.2,2.3){$A$}
%  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
%  \rput(3.2,-0.1){$C$}
%  \psline(0.7,-0.1)(0.8,0.1)\psline(0.8,-0.1)(0.9,0.1)
%  \psline(2.2,-0.1)(2.3,0.1)\psline(2.3,-0.1)(2.4,0.1)
%  \rput(1.5,-0.2){$O$}
%  \rput(0.3,1){$5$}
%  \rput(2.5,1){$7$}
%  \psline{<->}(0,-0.5)(3,-0.5)
%  \rput(1.5,-0.8){$8$}
%\end{pspicture}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(4,2.8)
%  \pspolygon(0,0)(5,0)(3.5,2)
%  \psline(2.5,0)(3.5,2)
%  \rput(3.5,2.3){$A$}
%  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
%  \rput(2.5,-0.2){$C$}
%  \psline(1.2,-0.1)(1.3,0.1)\psline(1.3,-0.1)(1.4,0.1)
%  \psline(3.7,-0.1)(3.8,0.1)\psline(3.8,-0.1)(3.9,0.1)
%  \rput(5.2,-0.2){$O$}
%  \rput(1.2,1){$6$}
%  \rput(2.8,1){$3$}
%  \psline{<->}(0,-0.5)(2.5,-0.5)
%  \rput(1.5,-0.8){$4$}
%\end{pspicture}
%\enex


%\bgex
%On considre un segment $[AB]$, avec $AB=2$ cm, de milieu $I$. 
%
%\vspd
%Montrer que, pour tout point $M$ du plan, 
%  $MA^2-MB^2=2\,\V{IM}\cdot\V{AB}$.
%\enex

%\bgex
%Soit $ABCD$ un carr. 
%On construit un rectangle $APQR$ tel que: \vsp
%$\bullet$\  $P$ et $R$ sont sur les cts $[AB]$ et $[AD]$ 
%
%\vsp
%$\bullet$\  $AP=DR$. 
%
%\bgmp[t]{10cm}
%\bgen
%\item Justifier que: 
%  \quad $\V{CQ}\cdot\V{PR}=\V{CQ}\cdot\lp \V{AR}-\V{AP}\rp$.
%\item En dduire que les droites $(CQ)$ et $(PR)$ sont
%  perpendiculaires. 
%\enen
%\enmp\quad
%\bgmp[t]{8cm}
%\begin{pspicture}(-1,2.5)(5,4)
%  \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)
%  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
%  \rput(4.2,-0.2){$B$}
%  \rput(4.,4.2){$C$}
%  \rput(-0.2,4.2){$D$}
%  %
%  \psplot{-0.5}{1.2}{-3 x mul 3 add}
%  \psplot{-0.5}{4.6}{1 3 div x mul 8 3 div add}
%  \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(1,0)(1,3)(0,3)
%  \rput(1.2,-0.2){$P$}
%  \rput(-0.2,3){$R$}
%  \rput(1.,3.2){$Q$}
%\end{pspicture}
%\enmp
%\enex

%\bgex On se place dans un RON, dans lequel on considre le triangle
%$ABC$ avec $A(-1;2)$, $B(3;1)$ et $C(2;4)$. 
%\bgen
%\item Dterminer une quation de la mdiatrice de $[AB]$. 
%\item Dterminer une quation de la hauteur issue de $A$ dans le
%  triangle $ABC$. 
%\enen
%\enex

%\bgex Dans un RON, on donne $\Omega(2;-3)$. 
%\bgen
%\item Dterminer l'quation du cercle $C$ de centre $\Omega$ et de
%  rayon $R=5$. 
%\item Dmontrer que le point $A(-2;0)$ est un point du cercle $C$. 
%\item Dterminer une quation cartsienne de la tangente en $A$ au
%  cercle $C$. 
%\enen
%\enex


\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Une personne pousse sa voiture en exercant une force de $200$ N
suivant une direction qui fait un angle de $25^\circ$ avec le niveau
horizontal de la route. 

\bgen
\item Dcomposer le vecteur $\V{F}$ suivant les deux axes orthogonaux 
  $(Ox$ et $(Oy)$. 
\item Dterminer la norme de la force qui permet  la voiture
  d'avancer. 
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{7.5cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(6.8,4.4)
  \rput(0,2.2){$\bullet$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,2.2)(2.9,0.7)\rput(2.2,1.4){$\V{F}$}
  \psline{->}(-0.5,2.2)(6.5,2.2)\rput(6.7,2.2){$x$}
  \psline{->}(0,-0.)(0,4.2)\rput(-0.2,4.2){$y$}
  \psline(0,1)(0,2.2)(0.9,3)(3.5,3)(4.2,2.2)(5.5,2)(5.7,1.5)(5.7,1.3)(5.5,1)
  \psline(0,1)(0.4,1)
  \psline(1.6,1)(3.4,1)
  \psline(4.6,1)(5.5,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,1){0.5}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1){0.3}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](4,1){0.5}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](4,1){0.3}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex $ABCD$ est un rectangle tel que $AD=3$ et $AB=5$. 
$E$ est le milieu de $[AB]$. 

\bgmp[t]{10.8cm}
\bgen
\item Calculer les longueurs $AC$ et $DE$. 
\item En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur
  $\V{AC}$  l'aide du vecteur $\V{AB}$, 
  et le vecteur $\V{DE}$  l'aide du vecteur $\V{DA}$. 

  Calculer alors le produit scalaire $\V{AC}\cdot\V{DE}$. 
\item En dduire la valeur de l'angle 
  $\tht=\lp\V{DE},\V{AC}\rp$ en degr  $0,01$ prs. 
\enen
\enmp\qquad
\bgmp[t]{8cm}
\begin{pspicture}(0,3.5)(4,3.2)
  \pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
  \psplot{-0.3}{3}{-6 5 div x mul 3 add}
  \psplot{-0.3}{5.3}{3 5 div x mul}
  %
  \rput(0,-0.2){$A$}
  \rput(5.2,-0.2){$B$}
  \rput(5.,3.2){$C$}
  \rput(0.1,3.2){$D$}
  \rput(2.4,-0.2){$E$}
  %
  \psarc(1.666,1){0.5}{-46}{30}\rput(2.4,1){$\tht$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex

\end{document}

Haut de la page Haut de la page