Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: produit scalaire},
pdftitle={Produit scalaire},
pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, 1STI2D, premi�re,
STI, STI2D, produit scalaire}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
%\nopagebreak%
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.8cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
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\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
\settowidth{\lprops}{Propri�t�s \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�s}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Produit scalaire}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE{} - $1^{\text{�re}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{�re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\section{Expressions et propri�t�s du produit scalaire}
\subsection{D�finitions}
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$,
not� $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est le nombre,
$
\vec{u}\cdot\vec{v}
=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{u}\right\|.\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp
$.
\vspq
\ct{
\fbox{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.2)(7,1.3)
\psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,1)
\rput(0.9,0.8){$\vec{v}$}
\psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1.5,-1)
\rput(0.7,-0.8){$\vec{u}$}
\psarc{->}(0,0){1.2}{-29}{25}\rput(1.5,0){$\tht$}
\rput[l](3,0){$\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{u}\right\|.\cos\tht$}
\end{pspicture}
}}
\vspq
Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan, alors: \quad
\fbox{$\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\tm AC\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
$}
\noindent
\ul{Exemple:}
\psset{arrowsize=5pt,unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.4)(4,3.5)
\psline{->}(-1,0)(4,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2,0)\rput(1,0.3){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,3)\rput(1.5,1.8){$\vec{v}$}
\multido{\i=1+1}{3}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
\rput[l](5.5,2){$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\tm3\sqrt{2}\tm\cos\dfrac{\pi}{4}
=6
$}
\end{pspicture}
\bgprops{
\bgit
\item[$\bullet$] Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
colin�aires de m�me sens, alors
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{v}\right\|$.
\vspd
\item[$\bullet$] Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
colin�aires de sens contraires, alors
$\vec{u}\cdot\vec{v}=-\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{v}\right\|$.
\vspd
\item[$\bullet$] Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul:
\vspd
\ct{\fbox{$\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$}}
\enit
}
\vspd\noindent
{\bf Attention:} A la diff�rence du produit entre nombres r�els, on
n'a pas\ \ \
%\qquad\qquad\qquad
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0
\!\!\iff\!\!
\vec{u}=\vec{0} \text{ ou } \vec{v}=\vec{0}$ {\bf\Large !}
\vspd\noindent
{\bf D�finition et notation:}
Pour tout vecteur $\vec{u}$, on note
$\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|u\|^2$.
\hspace{4.7cm}
$\vec{u}^2$ est le carr� scalaire du vecteur $\vec{u}$.
\subsection{Propri�t�s du produit scalaire}
\bgprop{
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$
et pour tout nombre r�el $k$:
\bgen[$\bullet$]
\item $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
\item $\vec{u}\cdot\lp\vec{v}+\vec{w}\rp
=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$
\item $\lp k\vec{u}\rp\cdot\vec{v}
=\vec{u}\cdot\lp k\vec{v}\rp
=k\vec{u}\cdot\vec{v}$
\enen
}
\vspq\noindent
\ul{Exemples:}
$\bullet$\ \
$2\vec{u}\cdot\lp\vec{v}-3\vec{w}\rp
=2\vec{u}\cdot\vec{v}-6\vec{u}\cdot\vec{w}$
\qquad
$\bullet$\ \
$\lp \vec{u}+\vec{v}\rp^2=\cdots$
\vspd
$\bullet$\ \
$\lp \vec{u}-\vec{v}\rp^2=\cdots$
\qquad
$\bullet$\ \
$\lp \vec{u}-\vec{v}\rp\cdot\lp \vec{u}+\vec{v}\rp=\cdots$
\vspace{-0.2cm}
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle �quilat�ral de c�t� 4 cm.
$I$ est le milieu de $[AB]$.
\vspd
Calculer les produits scalaires:
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AC}$
\quad
b)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AI}$
\quad
c)\ \ $\V{IA}\cdot\V{BI}$
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
%\fbox{
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1.cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,3)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
\rput(-0.2,-0.1){$A$}
\rput(3.2,-0.1){$B$}
\rput(1.5,2.9){$C$}
\rput(1.5,-0.3){$I$}
\end{pspicture}
\enmp%}
\vspd\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
$ABCD$ est un carr� de c�t� 2 cm de centre $O$.
Calculer les produits scalaires:
\vspd
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AD}$
\quad
b)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AC}$
\quad
c)\ \ $\V{BC}\cdot\V{BD}$
\quad
d)\ \ $\V{OB}\cdot\V{DC}$
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,3.4)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
\rput(-0.2,-0.1){$A$}
\rput(3.2,-0.1){$B$}
\rput(3.2,3.1){$C$}
\rput(-0.2,3.1){$D$}
\rput(1.5,1.2){$O$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
Dans le triangle $ABC$ ci-contre,
$H$ est le projet� orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.
On donne de plus $AC=2$, $AB=4$, et
$\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.
\bgen[a)]
\item Calculer $AH$.
\item D�terminer $\V{AB}\cdot\V{AC}$ et $\V{AB}\cdot\V{AH}$.
\item Que remarque-t-on ?
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)
\pspolygon(0,0)(5,0)(1.,2.7)
\psline[linestyle=dashed](1.,0)(1.,2.7)
\psarc(0,0){0.5}{0}{65}\rput(0.6,0.5){$\frac{\pi}{3}$}
\rput(-0.2,-0.1){$A$}
\rput(5.2,-0.1){$B$}
\rput(1.,2.9){$C$}
\rput(1.,-0.2){$H$}
\rput(0.3,1.4){$2$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Projection orthogonale}
\bgprop{
Soit $\V{AB}$ et $\V{CD}$ deux vecteurs,
et $C'$ et $D'$ les projet�s othogonaux de $C$ et $D$ sur la droite
$(AB)$;
alors $\V{AB}\cdot\V{CD}=\V{AB}\cdot\V{C'D'}$.
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt](-1,0)(4,0)
\psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.5pt]{->}(1,0)(3.,0)
\rput(1,-0.2){$A$}\rput(3,-0.2){$B$}
%\psline(-0.5,-0.5)(3,3)
\psplot[linewidth=0.5pt]{-1}{4}{0.5 x mul}
\psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.5pt]{->}(1.6,0.8)(3.6,1.8)
\rput(1.6,1){$C$}\rput(3.6,2){$D$}
%
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,0.8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt](1.6,0)(1.75,0)(1.75,0.15)(1.6,0.15)
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,0)(3.75,0)(3.75,0.15)(3.6,0.15)
\rput(1.7,-0.2){$C'$}\rput(3.7,-0.2){$D'$}
%
\rput[l](5,1){$\V{AB}\cdot\V{CD}=\V{AB}\cdot\V{C'D'}$}
\end{pspicture}
Soit deux vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ et $H$ la projection
orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$.
%\nopagebreak
\bgmp{8cm}
Si $\V{AB}$ et $\V{AH}$ ont le m�me sens:
\[\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\tm AC\]
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(4,3)
\psline(1.5,2.7)(0,0)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
\rput(-0.2,-0.1){$A$}
\rput(4.2,-0.1){$B$}
\rput(1.5,2.9){$C$}
\rput(1.5,-0.2){$H$}
\psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{9cm}
Si $\V{AB}$ et $\V{AH}$ ont un sens contraire:
\[\V{AB}\cdot\V{AC}=-AB\tm AC\]
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(2,3)
\psline(-1.5,2.7)(0,0)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(-1.5,0)(-1.5,2.7)
\rput(0.,-0.2){$A$}
\rput(2.2,-0.1){$B$}
\rput(-1.5,2.9){$C$}
\rput(-1.5,-0.2){$H$}
\psline(-1.3,0)(-1.3,0.2)(-1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
\vspd
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(9,6.)
\multido{\i=0+1}{10}{
\psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
}
\multido{\i=0+1}{7}{
\psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(9,\i)
}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(3,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(7,2)
\rput(0.7,1.6){$A$}
\rput(3.,1.6){$H$}
\rput(7.4,1.6){$B$}
\rput(3.4,5.4){$C$}
\rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6.)
\multido{\i=0+1}{8}{
\psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
}
\multido{\i=0+1}{7}{
\psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(7,\i)
}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(1,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(7,1)
\rput(3.8,.5){$A$}
\rput(6.8,.5){$B$}
\rput(1.4,5.4){$C$}
\rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6.)
\multido{\i=0+1}{8}{
\psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
}
\multido{\i=0+1}{7}{
\psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(7,\i)
}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,3)(2,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,3)(6,2)
\rput(1.6,5.4){$B$}
\rput(6.4,1.5){$C$}
\rput(1.7,2.6){$A$}
\rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\enex
\vspd\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex
$ABD$ est un triangle rectangle isoc�le en $B$.
L'angle $\widehat{BCD}$ mesure $30^\circ$ et $AB=3$.
\bgen
\item Calculer les longueurs $AD$, $CD$ et $BC$.
\item D�terminer les produits scalaires suivants:
\vspd
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AD}$
\quad
b)\ \ $\V{CD}\cdot\V{CB}$
\quad
c)\ \ $\V{DA}\cdot\V{DC}$
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1.5,0)(3,3)
\pspolygon(0,0)(8,0)(3,3)
\psline(3,0)(3,3)
\rput(-0.1,-0.3){$A$}
\rput(3.,-0.3){$B$}
\rput(3,3.2){$D$}
\rput(8,-0.3){$C$}
\psline(2.8,0)(2.8,0.2)(3,0.2)
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle isoc�le de sommet $A$ tel que
$AB=2,5$ cm et $BC=3$ cm.
$I$ est le milieu de $[BC]$.
\vspd
Exprimer le produit scalaire
$\V{BC}\cdot\V{BA}$ de deux mani�res diff�rentes,
et en d�duire la valeur de l'angle $\widehat{ABC}$ � $0,1$ degr�
pr�s.
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,3)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
\rput(-0.2,-0.1){$B$}
\rput(3.2,-0.1){$C$}
\rput(1.5,2.9){$A$}
\rput(1.5,-0.2){$I$}
\psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un losange de centre $O$ dont les diagonales mesurent
$AC=4$ cm et $DB=3$ cm.
\vspd
Calculer une valeur approch�e de l'angle $\widehat{DAC}$ � $0,1$
pr�s.
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-1.8)(2.3,2)
\pspolygon(-2,0)(0,1.5)(2,0)(0,-1.5)
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-1.5)(0,1.5)
\rput(-2.2,0){$A$}
\rput(2.2,0){$C$}
\rput(0,1.7){$B$}
\rput(0,-1.7){$D$}
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Expression du produit scalaire � l'aide des normes uniquement}
On a:
\quad
$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=
\lp\vec{u}+\vec{v}\rp^2
=\vec{u}^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$.
Or, $\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$
et de m�me, $\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2$.
\vspd
Ainsi,
$2\,\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$,
et donc,
\bgprop{Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a:
\quad
$
\vec{u}\cdot\vec{v}=
\dfrac12\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigr]
$.
}
\bgex
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que
$\|\vec{u}\|=3$,
$\|\vec{v}\|=2$
et
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp=\dfrac{\pi}{3}$.
Calculer $\|\vec{u}+\vec{v}\|$.
\enex
\subsection{Produit scalaire et coordonn�es}
\bgprop{
Soit dans un rep�re orhonormal $\lp 0;\vec{i},\vec{j}\rp$ les
vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$,
alors
\[
\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'
\]
}
\bgex
Dans un rep�re orthonormal $\lp 0;\vec{i},\vec{j}\rp$,
calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ dans chacun des cas
suivants,
et en d�duire une valeur de l'angle
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ � $0,1$ degr� pr�s.
\vspd
a)\ $\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(6;5)$
\qquad
b)\ $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}\lp3;\dfrac12\rp$
\qquad
c)\ $\vec{u}(\sqrt{2};-2)$ et $\vec{v}(\sqrt{2};1)$
\enex
\bgex
On se place dans un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
Dans chacun des cas, d�terminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
\noindent
a)\ \ $\vec{u}\lp m;5\rp$ et $\vec{v}\lp 1;-4\rp$
\quad
b)\ \ $\vec{u}\lp 2m;1\rp$ et $\vec{v}\lp 3;2\rp$
\quad
c)\ \ $\vec{u}\lp \dfrac{m}{2};2\rp$ et $\vec{v}\lp 3;-1\rp$
\quad
d)\ \ $\vec{u}\lp m;3\rp$ et $\vec{v}\lp m;-4\rp$
\enex
\bgex
Dans un un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid�re les points
$A(-3;1)$, $B(4;-1)$ et $C(1;15)$.
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enex
\section{D�composition d'un vecteur sur deux axes orthogonaux}
\bgmp{12cm}
On consid�re le vecteur $\V{AB}$ dans le rep�re orthogonal
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
D�composer le vecteur $\V{AB}$ selon les axes
$\lp\vec{i};\vec{j}\rp$
(ou $(A;\vec{i})$, $(A,\vec{j})$) revient � projeter orthogonalement
le point $B$ sur chacun de ces deux axes.
\vspd
On obtient
\quad
$\V{AB}=\V{AH}+\V{AK}$
\vspq
avec,
$AH=\V{AB}\cdot\vec{i}=AB\cos\tht$
\vspd
et\hspace{0.5cm}
$AK=\V{AB}\cdot\vec{j}=AB\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-\tht\rp=AB\sin\tht$
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,3.4)
\psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(1.5,0)
\rput(0.7,-0.3){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(0,1)
\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
\psline[linewidth=1pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(3,2)
\rput(-.2,-.2){$A$}
\rput(3.2,2.2){$B$}
\psarc{->}(0,0){1}{0}{34}\rput(1.2,0.4){$\tht$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,2)(3,2)(3,0)
\rput(3.2,-0.2){$H$}
\rput(-0.2,2.2){$K$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspt
En r�sum�, on a: \quad
$\V{AB}=
\underbrace{\lp\V{AB}\cdot\vec{i}\rp}_{=AH}\ \vec{i}
\ +\,
\underbrace{\lp\V{AB}\cdot\vec{j}\rp}_{=AK}\ \vec{j}
$
\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Une personne tire sur une corde attach�e au sommet d'un mur vertical
avec une force de 200 N suivant un angle de $40^\circ$ avec
l'horizontale.
\vspd
D�terminer la d�composition de cette force sur des axes horizontaux et
verticaux, et calculer l'intensit� de chacune de ces forces.
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,4)
\psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=8pt]{->}(4,3)(0,0)
\rput(4,3){$\bullet$}\rput(4,3.3){$A$}
\newcommand\f[1]{#1 0.3 mul}
\renewcommand{\g}[1]{\f{#1} 0.3 add}
\psline(!4\space\f{-2})(4,3)(6,3)
\multido{\i=-2+1}{12}{
\psline(! 4\space\f{\i})(! 4.5\space \g{\i})
}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,0)
\psarc(0,0){1}{0}{34}\rput(1.4,0.4){$40^{\circ}$}
\end{pspicture}
\enmp
\section{Exercices}
\bgex
Le plan est rapport� � un RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
On consid�re les points
$A(1;-1)$, $B(3;3)$, $C(-4;4)$, $D(2;1)$, $E(17;12)$ et $F(5;-12)$.
\bgen
\item Montrer que $(AB) \perp (CD)$.
\item Montrer que $(AB) /\!/ (EF)$.
%\item D�terminer l'�quation de la droite $d$ perpendiculaire � $(AB)$
% et passant par l'origine du rep�re.
%\item D�terminer de deux m�thodes diff�rentes l'�quation de la
% m�diatrice de $[AB]$.
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{11.cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que
$AB=3$ cm et $BC=4$ cm.
On appelle $H$ le projet� orthogonal de $B$ sur $(AC)$.
\vspd
Calculer la longueur $AH$
{\em (on pourra utiliser le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$)}.
\enex
\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,3)
\pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.44,1.92)
\rput(-0.2,-0.2){$B$}
\rput(-0.2,3){$A$}
\rput(4,-0.2){$C$}
\rput(1.65,2.1){$H$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Dans un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid�re les points
$A(2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(0;-2)$.
\bgen
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs
$\V{AB}$, $\V{BC}$ et $\V{AC}$.
\item Calculer les longueurs des c�t�s du triangle $ABC$.
\item Calculer les produits scalaires
$\V{AB}\cdot\V{AC}$,
$\V{BC}\cdot\V{BA}$
et $\V{CA}\cdot\V{CB}$.
\item En d�duire au degr� pr�s les angles du triangle $ABC$.
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Un solide est en �quilibre sur un plan inclin�.
Ce solide estsoumis � trois forces:
\bgit
\item son poids $\V{P}$
\item la r�action du support $\V{R}$
\item la tension de la corde $\V{T}$
\enit
On sait de plus que $P=20$ N et $\alpha=30^\circ$.
On cherche � d�terminer l'intensit� de chacune de ces forces.
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(1,0)(5,5)
\pspolygon(0,0)(8,0)(8,4)
\psarc(0,0){1}{0}{28}\rput(1.3,0.3){$\alpha$}
\pspolygon[linewidth=1.4pt](4,2)(5,2.5)(4.6,3.3)(3.6,2.8)
\rput(4.,2.6){$G$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(4.3,.5)\rput(4.6,1.2){$\V{P}$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(6.3,3.65)\rput(5.3,3.5){$\V{T}$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(3.2,4.5)\rput(3.8,4.2){$\V{R}$}
\psline(4.3,2.65)(8,4.5)
\psline(8,4)(8,4.5)\rput(8,4.5){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
On se place pour cela le rep�re orthonormal
$\lp G;\vec{i},\vec{j}\rp$:
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(3.5,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.25,0.5){$\vec{j}$}
\rput(-0.4,-0.2){$G$}
\psline[linewidth=0.4pt](-2,0)(2.5,0)\rput(2.5,-0.2){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt](0,-2)(0,3)\rput(-0.2,3){$y$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(-1,-1.5)\rput(-1,-1){$\V{P}$}
\psarc(0,0){1}{236}{270}\rput(-0.4,-1.2){$\tht$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)\rput(1.4,0.3){$\V{T}$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2.4)\rput(-0.3,2){$\V{R}$}
\end{pspicture}
\enmp\quad
\bgmp{11.5cm}
\bgen
\item Justifier que $\tht=30^\circ$.
\item On pose $\V{P}=\V{P}_x+\V{P}_y$,
o� $\V{P}_x$ et $\V{P}_y$ sont les composantes de $\V{P}$ suivant
les axes $(Gx)$ et $(Gy)$.
Calculer $\|\V{P}_x\|$ et $\|\V{P}_y\|$.
\item D�composer suivant les axes du rep�re les vecteurs
$\V{T}$, $\V{R}$ et $\V{P}$.
\item Le solide est en �quilibre, cela signifie que
$\V{P}+\V{R}+\V{T}=\V{0}$.
Montrer que $\|\V{R}\|-\|\V{P}\|\cos\tht=0$
et
$\|\V{T}\|-\|\V{P}\|\sin\tht=0$
\item En d�duire l'intensit� des forces $\V{R}$ et $\V{T}$.
\enen
\enmp
\bgex {\sl(Equation d'une m�diatrice)}
Dans un rep�re orthonormal, on consid�re les points
$A(1;4)$ et $B(5;-4)$.
\bgen
\item Calculer les coordonn�es du milieu $I$ du segment $[AB]$.
\item On consid�re un point $M$ appartenant � la m�diatrice de
$[AB]$.
D�terminer $\V{IM}\cdot\V{AB}$.
\item On note $M(x;y)$ les coordonn�es du point $M$.
Montrer que les coordonn�es du point $M$ v�rifient l'�quation
$x-2y-3=0$, appel�e �quation cart�sienne de la droite $(IM)$.
\item D�terminer l'�quation r�duite de la droite $(IM)$.
\item Placer les points $A$ et $B$ dans un rep�re et tracer la droite
$(IM)$.
\enen
\enex
\bgex {\sl (Equation d'une hauteur)}
Dans un rep�re orthonormal, on consid�re les points
$A(4;2)$, $B(-3;4)$ et $C(-1;-2)$.
\bgen
\item Soit $M$ un point de la hauteur du triangle $ABC$ issue du
sommet $C$.
D�terminer $\V{CM}\cdot\V{AB}$.
\item On note $M(x;y)$ les coordonn�es du point $M$.
D�terminer l'�quation v�rifi�e par les coordonn�es $x$ et$y$ du
point $M$.
\item D�terminer l'�quation r�duite de la droite $(CM)$.
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans un rep�re et tracer la droite
$(CM)$.
\enen
\enex
\bgex {\sl (Equation d'un cercle)}
On consid�re, dans un rep�re orthonormal, le cercle $\mathcal{C}$ de
centre $\Omega(3;4)$ et de rayon $2$.
\bgen
\item Soit $A(1;4)$ et $B(6;4)$.
Montrer que le segment $[AB]$ est un diam�tre du cercle
$\mathcal{C}$.
\item Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$.
D�terminer $\V{MA}\cdot\V{MB}$.
\item On note $M(x;y)$ les coordonn�es du point $M$.
D�terminer l'�quation v�rifi�e par les coordonn�es $x$ et$y$ du
point $M$.
\enen
\enex
\bgex
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ est un RON direct.
Soit $A$ et $B$ les points du cercle trigonom�trique $\mathcal{C}$
associ�s aux angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
\bgen
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ ?
\item
\bgen[a)]
\item Quelles sont les coordonn�es de $A$ et $B$ ?
\item En d�duire que
$\V{OA}\cdot\V{OB}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Justifier que $\V{OA}\cdot\V{OB}=\cos\dfrac{\pi}{12}$.
\item En d�duire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$.
%puis v�rifier que
%$\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
\enen
\enen
\enex
%\bgex
%Dans les deux cas de figure ci-dessous,
%calculer la longueur $AO$:
%
%\begin{pspicture}(-2,-1)(5,2.6)
% \pspolygon(0,0)(3,0)(1.2,2)
% \psline(1.5,0)(1.2,2)
% \rput(1.2,2.3){$A$}
% \rput(-0.2,-0.1){$B$}
% \rput(3.2,-0.1){$C$}
% \psline(0.7,-0.1)(0.8,0.1)\psline(0.8,-0.1)(0.9,0.1)
% \psline(2.2,-0.1)(2.3,0.1)\psline(2.3,-0.1)(2.4,0.1)
% \rput(1.5,-0.2){$O$}
% \rput(0.3,1){$5$}
% \rput(2.5,1){$7$}
% \psline{<->}(0,-0.5)(3,-0.5)
% \rput(1.5,-0.8){$8$}
%\end{pspicture}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(4,2.8)
% \pspolygon(0,0)(5,0)(3.5,2)
% \psline(2.5,0)(3.5,2)
% \rput(3.5,2.3){$A$}
% \rput(-0.2,-0.1){$B$}
% \rput(2.5,-0.2){$C$}
% \psline(1.2,-0.1)(1.3,0.1)\psline(1.3,-0.1)(1.4,0.1)
% \psline(3.7,-0.1)(3.8,0.1)\psline(3.8,-0.1)(3.9,0.1)
% \rput(5.2,-0.2){$O$}
% \rput(1.2,1){$6$}
% \rput(2.8,1){$3$}
% \psline{<->}(0,-0.5)(2.5,-0.5)
% \rput(1.5,-0.8){$4$}
%\end{pspicture}
%\enex
%\bgex
%On consid�re un segment $[AB]$, avec $AB=2$ cm, de milieu $I$.
%
%\vspd
%Montrer que, pour tout point $M$ du plan,
% $MA^2-MB^2=2\,\V{IM}\cdot\V{AB}$.
%\enex
%\bgex
%Soit $ABCD$ un carr�.
%On construit un rectangle $APQR$ tel que: \vsp
%$\bullet$\ $P$ et $R$ sont sur les c�t�s $[AB]$ et $[AD]$
%
%\vsp
%$\bullet$\ $AP=DR$.
%
%\bgmp[t]{10cm}
%\bgen
%\item Justifier que:
% \quad $\V{CQ}\cdot\V{PR}=\V{CQ}\cdot\lp \V{AR}-\V{AP}\rp$.
%\item En d�duire que les droites $(CQ)$ et $(PR)$ sont
% perpendiculaires.
%\enen
%\enmp\quad
%\bgmp[t]{8cm}
%\begin{pspicture}(-1,2.5)(5,4)
% \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)
% \rput(-0.2,-0.2){$A$}
% \rput(4.2,-0.2){$B$}
% \rput(4.,4.2){$C$}
% \rput(-0.2,4.2){$D$}
% %
% \psplot{-0.5}{1.2}{-3 x mul 3 add}
% \psplot{-0.5}{4.6}{1 3 div x mul 8 3 div add}
% \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(1,0)(1,3)(0,3)
% \rput(1.2,-0.2){$P$}
% \rput(-0.2,3){$R$}
% \rput(1.,3.2){$Q$}
%\end{pspicture}
%\enmp
%\enex
%\bgex On se place dans un RON, dans lequel on consid�re le triangle
%$ABC$ avec $A(-1;2)$, $B(3;1)$ et $C(2;4)$.
%\bgen
%\item D�terminer une �quation de la m�diatrice de $[AB]$.
%\item D�terminer une �quation de la hauteur issue de $A$ dans le
% triangle $ABC$.
%\enen
%\enex
%\bgex Dans un RON, on donne $\Omega(2;-3)$.
%\bgen
%\item D�terminer l'�quation du cercle $C$ de centre $\Omega$ et de
% rayon $R=5$.
%\item D�montrer que le point $A(-2;0)$ est un point du cercle $C$.
%\item D�terminer une �quation cart�sienne de la tangente en $A$ au
% cercle $C$.
%\enen
%\enex
\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Une personne pousse sa voiture en exercant une force de $200$ N
suivant une direction qui fait un angle de $25^\circ$ avec le niveau
horizontal de la route.
\bgen
\item D�composer le vecteur $\V{F}$ suivant les deux axes orthogonaux
$(Ox$ et $(Oy)$.
\item D�terminer la norme de la force qui permet � la voiture
d'avancer.
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{7.5cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(6.8,4.4)
\rput(0,2.2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,2.2)(2.9,0.7)\rput(2.2,1.4){$\V{F}$}
\psline{->}(-0.5,2.2)(6.5,2.2)\rput(6.7,2.2){$x$}
\psline{->}(0,-0.)(0,4.2)\rput(-0.2,4.2){$y$}
\psline(0,1)(0,2.2)(0.9,3)(3.5,3)(4.2,2.2)(5.5,2)(5.7,1.5)(5.7,1.3)(5.5,1)
\psline(0,1)(0.4,1)
\psline(1.6,1)(3.4,1)
\psline(4.6,1)(5.5,1)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,1){0.5}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1){0.3}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](4,1){0.5}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](4,1){0.3}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex $ABCD$ est un rectangle tel que $AD=3$ et $AB=5$.
$E$ est le milieu de $[AB]$.
\bgmp[t]{10.8cm}
\bgen
\item Calculer les longueurs $AC$ et $DE$.
\item En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur
$\V{AC}$ � l'aide du vecteur $\V{AB}$,
et le vecteur $\V{DE}$ � l'aide du vecteur $\V{DA}$.
Calculer alors le produit scalaire $\V{AC}\cdot\V{DE}$.
\item En d�duire la valeur de l'angle
$\tht=\lp\V{DE},\V{AC}\rp$ en degr� � $0,01$ pr�s.
\enen
\enmp\qquad
\bgmp[t]{8cm}
\begin{pspicture}(0,3.5)(4,3.2)
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
\psplot{-0.3}{3}{-6 5 div x mul 3 add}
\psplot{-0.3}{5.3}{3 5 div x mul}
%
\rput(0,-0.2){$A$}
\rput(5.2,-0.2){$B$}
\rput(5.,3.2){$C$}
\rput(0.1,3.2){$D$}
\rput(2.4,-0.2){$E$}
%
\psarc(1.666,1){0.5}{-46}{30}\rput(2.4,1){$\tht$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\end{document}
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