Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: Suites num�riques},
pdftitle={Suites num�riques},
pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, 1STI2D, premi�re, STI, STI2D,
suites, suites num�riques,
suite arithm�tique, suite g�om�trique,
limite, limite d'une suite}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
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\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newlength{\ldef}
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\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites num�riques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{�re}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $1^{\text{�re}}STI2D$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{�re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\section{Introduction - G�n�ralit�s}
\bgdef{
Une suite num�rique est une liste de nombres r�els, ordonn�e, et
ind�x�e par les entiers naturels.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}
\bgit
\item[$\bullet$] $1, 2, 3, 4, \dots$ est la suite des entiers
naturels;
{\sl (On passe d'un terme au suivant en \ \dots \ \dots\ )}
\vspd
\item[$\bullet$] les 6 premiers termes de la suite des nombres pairs
sont: \ \dots
{\sl (On passe d'un terme au suivant en \ \dots \ \dots\ )}
\vspd
\item[$\bullet$] les 8 premiers termes de la suite des puissances de
2, de premier terme $2^0$ sont: \ \dots
{\sl (On passe d'un terme au suivant en \ \dots \ \dots\ )}
\enit
\bgex
Leonardo Fibonacci, dit Leonardo Pisano, math�maticien italien du
XIIIe si�cle, proposa le probl�me r�cr�atif suivant
\emph{"Un homme met un couple de lapins dans un lieu isol� de tous les
c�t�s par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau couple � compter du
troisi�me mois de son existence ?" }
Si on note $C_n$ le nombre de couples de lapins le $n$-i�me mois,
on a alors:
$C_1=1$, $C_2=1$, $C_3=2$, $C_4=1+2=3$, $C_5=2+3=5$, \ \dots
et d'un mani�re plus g�n�rale, le $n$-i�me mois,
$C_n=C_{n-2}+C_{n-1}$.
D�terminer alors $C_6$, $C_7$ et $C_8$.
Combien de couples y-a-t'il au bout d'un an ? de 2 ans ?
de 10 ans ? de 100 ans ?
\enex
\bgdef{
On note $(u_n)$ la suite constitu�e par les termes:
$u_0$, $u_1$, $u_2$, \dots , $u_n$, $u_{n+1}$, $u_{n+2}$, \dots
$u_n$ est le terme g�n�ral de la suite, ou terme de rang $n$.
Le premier terme est ici (et en g�n�ral) $u_0$
(ce pourrait �tre $u_1$, ou $u_2$ ou $u_{100}$ \dots).
}
\section{Modes de g�n�ration d'une suite}
On peut d�finir une suite de deux fa�ons:
\bgit
\item[$\bullet$] � partir d'une fonction $f$:
le terme g�n�ral de la suite est alors
$u_n=f(n)$.
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(5.5,10.8)
\psline{->}(-1,0)(6,0)\rput(6.2,-0.3){$n$}
\psline{->}(0,-4)(0,10)\rput(-0.2,10.2){$u_n$}
\nwc\f[1]{#1 3 exp 0.52 mul #1 2 exp 2.5 mul sub 4.8 add}
\psplot{0}{5.12}{\f{x}}\rput(4.2,4){$\Cf$}
\multido{\i=0+1}{6}{
\rput(! \i \space \f{\i}){$\bullet$}
\psline[linestyle=dashed](! \i \space \f{\i})(\i,0)
\rput(\i,-0.4){$\i$}
\psline[linestyle=dashed](! 0 \space \f{\i})(! \i \space \f{\i})
\rput(! -0.4 \space \f{\i}){$u_\i$}
}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8.4cm}
On parle d'{\bf �chantillonnage}:
la suite $(u_n)$ est constitu�e d'�chantillons de la fonction $f$:
\[
u_0=f(0)\ ; \ u_1=f(1)\ ;\ u_2=f(2)\ ; \ \dots
\]
\vspd
{\sl On parle aussi de {\bf num�risation d'un signal}.}
\enmp
\item[$\bullet$] par une relation de {\bf r�currence}: comme chaque
terme de la suite est num�rot�, chaque terme a un pr�d�cesseur et un
successeur; on peut donc d�finir une suite en indiquant son premier
terme $u_0$ et une relation permettant de conna�tre un terme
connaissant son (ou ses) pr�decesseur.
\vspd\noindent
Par exemple: Soit la suite $(u_n)$ d�finie par
$u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$.
Alors,
$u_1=u_0^2+1=1^2+1=2$,
$u_2=u_1^2+1=2^2+1=5$,
$u_3=u_2^2+1=5^2+1=26$,
\dots
\enit
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$.
\bgen
\item Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$, $u_{100}$ et
$u_{1000}$.
\item Donner l'expression de la fonction $f$ telle que
$u_n=f(n)$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(v_n)$ d�finie par
$\la\bgar{ll} v_0=2 \\ v_{n+1}=3v_n-1 \enar\right.$.
\bgen
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\item Calculer $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$.
\enen
\enex
\section{Suites arithm�tiques}
\bgdef{Une suite $(u_n)$ est arithm�tique si pour passer d'un terme au
suivant on ajoute toujours le m�me nombre $r$, qu'on appelle alors
la raison de la suite.
On a ainsi,
\[
(u_n) \text{ arithm�tique }
\iff \text{ Pour tout entier } n, u_{n+1}=u_n+r\ .
\]
}
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=u_n^2+3$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle �tre arithm�tique ?
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=3n+2$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle �tre arithm�tique ?
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est arithm�tique.
\enen
\enex
\bgprop{Si $(u_n)$ est une suite arithm�tique de raison $r$,
alors, pour tout entier $n$,
\[
u_n=u_0+nr .
\]
}
\section{Suites g�om�triques}
\bgdef{Une suite $(v_n)$ est g�om�trique si pour passer d'un terme au
suivant on multiplie toujours par le m�me nombre $q$, qu'on appelle alors
la raison de la suite.
On a ainsi,
\[
(u_n) \text{ g�om�trique }
\iff \text{ Pour tout entier } n, u_{n+1}=qu_n\ .
\]
}
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=u_n^2+3$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle �tre g�om�trique ?
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=3^n$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle �tre g�om�trique ?
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est g�om�trique.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie pour tout entier $n$ par
$u_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.
D�montrer que cette suite est g�om�trique.
\enex
\bgex
$(u_n)$ est g�om�trique de raison $q=-2$.
Sachant que $u_5=12$, calculer $u_6$, $u_7$ et $u_{10}$.
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ g�om�trique de raison $q=3$ et de premier terme
$u_0=4$.
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$ et $u_{30}$.
\enex
\bgex
Un capital $C=10\,000$ euros est plac� au taux de 4\,\%: � la fin de
chaque ann�e, les int�r�ts sont ajout�s au capital.
\bgen
\item Quel est le capital $C_1$ � la fin de la premi�re ann�e ?
\item Quel est le capital $C_2$ � la fin de la deuxi�me ann�e ?
\item Soit $C_n$ le capital au bout de $n$ ann�es.
Quel est la nature de la suite $C_n$ ?
\item Au bout de combien d'ann�e le capital aura-t'il doubl� ?
\enen
\enex
\bgprop{Si $(u_n)$ est une suite g�om�trique de raison $q$,
alors, pour tout entier $n$,
\[
u_n=u_0\tm q^n .
\]
}
\bgex
Une ville compte 100\,000 habitants en 2010.
Chaque ann�e sa population baisse de 2\,\%.
Soit $P_n$ sa population l'ann�e $2010+n$.
\bgen
\item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ?
\item Donner alors l'expression de $P_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enex
\section{Notion de limite d'une suite}
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$.
\bgen
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$ et $u_{10\,000}$.
\item Quel semble �tre le comportement des termes $u_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ?
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(v_n)$ d�finie par
$\la\bgar{ll} v_0=2 \\ v_{n+1}=\dfrac12 v_n+1 \enar\right.$.
\bgen
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\item Calculer $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$.
\item Quel semble �tre le comportement des termes $v_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ?
\enen
\enex
\bgdef{Si une suite $(u_n)$ se rapproche ind�finiment d'une valeur $l$
quand $n$ devient grand, on dit que $l$ est {\bf la limite} de la
suite $(u_n)$.
}
\bgex
Soit la suite d�finie par son terme g�n�ral
$u_n=\dfrac{4n^2}{n^2+1}$.
\bgen
\item Ecrire un algorithme qui affiche les valeurs des 20 premiers
termes de la suite.
Programmer cet algorithme sur une calculatrice.
Que peut-on conjecturer sur la limite $l$ de la suite $(u_n)$ ?
\item Modifier l'algorithme, et le programme correspondant, pour
calculer et afficher le plus petit entier $n$ tel que
$l-u_n<0,01$.
Donner cette valeur de $n$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=3\tm\lp\dfrac12\rp^n=\dfrac{3}{2^n}$.
Calculer $u_1$, $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$.
Comment semble se comporter la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand ?
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=3\tm\lp-2\rp^n$.
Calculer $u_1$, $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$,
$u_{10}$ et $u_{11}$.
Comment semble se comporter la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand ?
\enex
\bgprop{
Soit $(v_n)$ une suite g�om�trique de raison $q$, alors:
\bgit
\item[$\bullet$] si $-1<q<1$, la suite $(v_n)$ a pour limite $0$
\item[$\bullet$] si $q>1$, la suite $(v_n)$ a pour limite $+\infty$
\item[$\bullet$] si $q<-1$, la suite $(v_n)$ n'a pas de limite
\enit
}
\vspd
\bgex
Un service commercial a constat� que, chaque ann�e, 1000 nouveaux
abonn�s sont enregistr�s mais que la moiti� des abonn�s de l'ann�e
pr�c�dente ne renouv�lent pas leur abonnement.
En 2010, 4000 personnes �taient abonn�es.
On note $a_n$ le nombre d'abonn�s l'ann�e $2010+n$,
ainsi, $a_0=4000$.
\bgen
\item D�terminer le nombre d'abonn�s en 2011 puis 2012.
\item D�terminer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
\item Exprimer le nombre d'abonn�s $a_{n+1}$ en fonction du nombre
d'abonn�s $a_n$.
\item Calculer � l'aide de la calculatrice le nombre d'abonn�s en
$2025$.
\item Vers quelle valeur semble se stabiliser la suite $a_n$ ?
\enen
\enex
\bgex
En Inde, un roi, � qui un math�maticien venait de pr�senter le jeu
d'�chec, fut si �merveill� qu'il lui proposa de choisir lui-m�me sa
r�compense.
Le math�maticien demanda au roi de le r�compenser en grains de bl� de la fa�on
suivante:
\bgit
\item sur la 1�re case de l'�chiquier, 1 grain de bl�
\item sur la 2�me case, 2 grains de bl�,
\item sur la 3�me case, 4 grains de bl�,
\item et ainsi de suite, en d�posant sur chaque nouvelle case le
double de grains de bl� de celui de la case pr�c�dente.
\enit
\noindent
Un �chiquier comporte 64 cases.
On note $u_1$ le nombre de grains de bl� sur la 1�re case, $u_2$ sur
la 2�me case, \dots, $u_{64}$ sur la 64�me case.
\bgen
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
\item On note $S$ la somme des des grains de bl� sur l'�chiquier.
Ecrire un algorithme qui permet de calculer et d'afficher $S$.
Programmer sur calculatrice cet algorithme, et donner la valeur de
$S$.
\item Si un grain de riz p�se $0,02$g, donner, en tonnes, le poids de
bl� sur l'�chiquier.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(v_n)$ d�finie par
$\la\bgar{ll} v_0=1 \\ v_{n+1}=\dfrac12 v_n+3 \enar\right.$.
\bgen
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\item Calculer $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$.
\item Quel semble �tre le comportement des termes $v_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ?
\item On d�finit la suite $(w_n)$ par $w_n=v_n-6$.
\bgen[a)]
\item Donner l'expression de $w_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis de
$w_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(w_n)$ ?
Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$.
\item quelle est la limite de la suite $(w_n)$.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $w_n$, puis en fonction de $n$.
En d�duire la limite de la suite $(v_n)$.
\enen
\enen
\enex
\end{document}
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