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Type: Cours
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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques 1ère STI2D - suites numériques
Niveau
Première STI2D
Mots clé
suite, suites numériques, suite aarithmétique, suite géométrique, notion de limite, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathmatiques: Suites numriques},
    pdftitle={Suites numriques - Exercices},
    pdfkeywords={Mathmatiques, 1STI, 1STI2D, premire, STI, STI2D, 
      exercices, 
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      suite arithmtique, suite gomtrique, 
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
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\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

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\def\epsi{\varepsilon}
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\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
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  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
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%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
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  \vspd\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numriques - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{re}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
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\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{re}}STI2D$
\vspace{0.2cm}

%\tableofcontents



\bgex
Leonardo Fibonacci, dit Leonardo Pisano, mathmaticien italien du
XIIIe sicle, proposa le problme rcratif suivant 

\emph{ Un homme met un couple de lapins dans un lieu isol de tous les
  cts par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque
  couple engendre tous les mois un nouveau couple  compter du
  troisime mois de son existence ?  }

Si on note $C_n$ le nombre de couples de lapins le $n$-ime mois, 
on a alors: 
 
$C_1=1$, $C_2=1$, $C_3=2$, $C_4=1+2=3$, $C_5=2+3=5$, \ \dots

et d'un manire plus gnrale, le $n$-ime mois, 
$C_n=C_{n-2}+C_{n-1}$. 

Dterminer alors $C_6$, $C_7$ et $C_8$. 

Combien de couples y-a-t'il au bout d'un an ? de 2 ans ? 
de 10 ans ? de 100 ans ?
\enex



\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$. 

\bgen
\item Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$, $u_{100}$ et
  $u_{1000}$.  
\item Donner l'expression de la fonction $f$ telle que 
  $u_n=f(n)$. 
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $(v_n)$ dfinie par 
$\la\bgar{ll} v_0=2 \\ v_{n+1}=3v_n-1 \enar\right.$. 

Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$, puis $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$. 
\enex


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=u_n^2+3$. 

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 

La suite $(u_n)$ peut-elle tre arithmtique ?
\enex

\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=3n+2$. 
\bgen 
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
  La suite $(u_n)$ peut-elle tre arithmtique ? 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmtique. 
\enen
\enex



\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=u_n^2+3$. 

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 

La suite $(u_n)$ peut-elle tre gomtrique ?
\enex

\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=3^n$. 
\bgen 
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
  La suite $(u_n)$ peut-elle tre gomtrique ? 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est gomtrique. 
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie pour tout entier $n$ par 
$u_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$. 

Dmontrer que cette suite est gomtrique. 
\enex

\bgex
$(u_n)$ est gomtrique de raison $q=-2$. 

Sachant que $u_5=12$, calculer $u_6$, $u_7$ et $u_{10}$. 
\enex


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ gomtrique de raison $q=3$ et de premier terme
$u_0=4$. 

Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$ et $u_{30}$. 
\enex


\bgex
Un capital $C=10\,000$ euros est plac au taux de 4\,\%:  la fin de
chaque anne, les intrts sont ajouts au capital. 

\bgen
\item Quel est le capital $C_1$  la fin de la premire anne ? 
\item Quel est le capital $C_2$  la fin de la deuxime anne ? 
\item Soit $C_n$ le capital au bout de $n$ annes. 
  Quel est la nature de la suite $C_n$ ? 
\item Au bout de combien d'anne le capital aura-t'il doubl ?
\enen
\enex



\bgex
Une ville compte 100\,000 habitants en 2010. 
Chaque anne sa population baisse de 2\,\%. 
Soit $P_n$ sa population l'anne $2010+n$. 

\bgen
\item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$. 
\item Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ? 
\item Donner alors l'expression de $P_n$ en fonction de $n$. 
\enen
\enex



\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$. 


\bgen
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$ et $u_{10\,000}$. 
\item Quel semble tre le comportement des termes $u_n$ lorsque $n$
  devient de plus en plus grand ? 
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $(v_n)$ dfinie par 
$\la\bgar{ll} v_0=2 \\ v_{n+1}=\dfrac12 v_n+1 \enar\right.$. 

\bgen
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$. 
\item Calculer $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$. 
\item Quel semble tre le comportement des termes $v_n$ lorsque $n$
  devient de plus en plus grand ? 
\enen
\enex



\bgex
Soit la suite dfinie par son terme gnral
$u_n=\dfrac{4n^2}{n^2+1}$. 

\bgen
\item Ecrire un algorithme qui affiche les valeurs des 20 premiers
  termes de la suite. 

  Programmer cet algorithme sur une calculatrice. 
  Que peut-on conjecturer sur la limite $l$ de la suite $(u_n)$ ?

\item Modifier l'algorithme, et le programme correspondant, pour
  calculer et afficher le plus petit entier $n$ tel que 
  $l-u_n<0,01$. 

  Donner cette valeur de $n$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=3\tm\lp\dfrac12\rp^n=\dfrac{3}{2^n}$. 

Calculer $u_1$, $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$. 

Comment semble se comporter la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand ?
\enex

\bgex
Soit la suite $(u_n)$ dfinie par $u_n=3\tm\lp-2\rp^n$. 

Calculer $u_1$, $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$, 
$u_{10}$ et $u_{11}$. 

Comment semble se comporter la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand ?
\enex


\bgex
Un service commercial a constat que, chaque anne, 1000 nouveaux
abonns sont enregistrs mais que la moiti des abonns de l'anne
prcdente ne renouvlent pas leur abonnement. 

En 2010, 4000 personnes taient abonnes. 

On note $a_n$ le nombre d'abonns l'anne $2010+n$, 
ainsi, $a_0=4000$. 

\bgen
\item Dterminer le nombre d'abonns en 2011 puis 2012. 
\item Dterminer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$. 
\item Exprimer le nombre d'abonns $a_{n+1}$ en fonction du nombre
  d'abonns $a_n$. 
\item Calculer  l'aide de la calculatrice le nombre d'abonns en
  $2025$. 
\item Vers quelle valeur semble se stabiliser la suite $a_n$ ?
\enen
\enex


\bgex
En Inde, un roi,  qui un mathmaticien venait de prsenter le jeu
d'chec, fut si merveill qu'il lui proposa de choisir lui-mme sa
rcompense. 

Le mathmaticien demanda au roi de le rcompenser en grains de bl de la faon
suivante: 
\bgit
\item sur la 1re case de l'chiquier, 1 grain de bl
\item sur la 2me case, 2 grains de bl, 
\item sur la 3me case, 4 grains de bl, 
\item et ainsi de suite, en dposant sur chaque nouvelle case le
  double de grains de bl de celui de la case prcdente. 
\enit

\noindent
Un chiquier comporte 64 cases. 
On note $u_1$ le nombre de grains de bl sur la 1re case, $u_2$ sur
la 2me case, \dots, $u_{64}$ sur la 64me case. 

\bgen
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
\item On note $S$ la somme des des grains de bl sur l'chiquier. 

  Ecrire un algorithme qui permet de calculer et d'afficher $S$. 
  
  Programmer sur calculatrice cet algorithme, et donner la valeur de
  $S$. 

\item Si un grain de riz pse $0,02$g, donner, en tonnes, le poids de
  bl sur l'chiquier. 
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $(v_n)$ dfinie par 
$\la\bgar{ll} v_0=1 \\ v_{n+1}=\dfrac12 v_n+3 \enar\right.$. 

\bgen
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$. 
\item Calculer $v_{10}$, $v_{100}$ et $v_{1000}$. 
\item Quel semble tre le comportement des termes $v_n$ lorsque $n$
  devient de plus en plus grand ? 
\item On dfinit la suite $(w_n)$ par $w_n=v_n-6$. 

  \bgen[a)] 
  \item Donner l'expression de $w_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis de
    $w_n$. 
  \item Quelle est la nature de la suite $(w_n)$ ? 
    Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$. 

  \item quelle est la limite de la suite $(w_n)$. 

  \item Exprimer $v_n$ en fonction de $w_n$, puis en fonction de $n$. 
    
    En dduire la limite de la suite $(v_n)$. 
  \enen

\enen
\enex



\end{document}

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