Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: Trigonom�trie},
pdftitle={Trigonom�trie},
pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, 1STI2D, premi�re,
STI, STI2D, fonctions circulaires,
trigonom�trie, fonctions trigonom�triques}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
\nopagebreak%
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.8cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
\settowidth{\lprops}{Propri�t�s \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�s}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions trigonom�triques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STI2D$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{�re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\section{Cercle trigonom�trique - Mesure des angles orient�s}
\bgdef{
Dans le plan muni d'un rep�re $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
le cercle trigonom�trique est le cercle de centre $O$ et de rayon
$1$ sur lequel on a choisit:
\bgit
\item un {\bf sens direct}, ou sens positif, sens inverse des
aiguilles d'une montre
\item un {\bf sens indirect}, ou sens n�gatif, sens des aiguilles
d'une montre.
\enit
}
\ct{
\psset{unit=2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.4)
\rput(-0.15,-0.15){$O$}
\psline(-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.15){$\vec{i}$}
\psline(0,-1.2)(0,1.2)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.15,0.5){$\vec{j}$}
\pscircle(0,0){1}
%
\psarc{->}(0,0){1.3}{20}{65}\rput(1.1,1.){\large$+$}
\psarc{<-}(0,0){1.3}{-65}{-20}\rput(1.1,-1.){\large$-$}
\end{pspicture}
}
\bgdef{
Sur le cercle trigonom�trique, la mesure en radians d'un angle
orient� est �gale � la mesure alg�brique (avec un signe) de l'arc
intercept�.
}
\vspq\noindent
\ul{Exemple:}
Un tour complet, soit $360^\circ$, mesure $2\pi$ radians.
L'angle orient� $\lp\vec{i},\vec{j}\rp$ mesure
$\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ radians ($1/4$ de tour).
L'angle orient� $\lp\vec{j},\vec{i}\rp$ mesure
$-\dfrac{\pi}{2}$ radians.
\vspd
On parle d'{\bf une} mesure de l'angle orient� car il en poss�de une
infinit�:
l'angle orient� $\lp\vec{i},\vec{j}\rp$ mesure
$\dfrac{\pi}{2}$ rad, $\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2}$ rad,
$\dfrac{5\pi}{2}+2\pi=\dfrac{9\pi}{2}$ rad,\dots ,
$\dfrac{\pi}{2}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{2}$ rad,\dots
\bgex Compl�ter:
\vspd
\ct{
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\rput(-1.8,0.1){$\tm\dots$}
\psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0.1){1}{100}{260}
\begin{tabular}{|l|*8{p{1.1cm}|}}\hline
Degr�s & $0$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$ & $135$ & $180$ & $360$
\\\hline
Radians & $0$ & &&&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0.1){1}{-80}{80}
\rput(1.5,0.1){$\tm\dots$}
}
\vspace{0.6cm}\ct{
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{tabular}{|l|*7{p{1.1cm}|}}\hline
Degr�s & $1$ & & $-15$ & $20$ & $270$ & &
\\\hline
Radians & & $1$ & & & &$\dfrac{167\pi}{4}$& $\dfrac{7\pi}{3}$
\\\hline
\end{tabular}
}
\enex
\vspd
\bgdef{
La {\bf mesure principale} d'un angle orient� est la mesur de cet
angle appartenant � l'intervalle $]-\pi;\pi]$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
L'angle orient� $\lp\vec{j},\vec{i}\rp$ a plusieurs mesures:
$\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$,
$\dfrac{3\pi}{2}+2\pi=\dfrac{7\pi}{2}$,\dots
Sa mesure principale est $-\dfrac{\pi}{2}$.
\bgex
D�terminer la mesure principale des angles orient�s suivants:
\vspd\noindent
a)\ $\dfrac{7\pi}{3}$
\hspace{1.2cm}
b)\ $-\dfrac{11\pi}{6}$
\hspace{1.2cm}
c)\ $\dfrac{9\pi}{8}$
\hspace{1.2cm}
d)\ $\dfrac{15\pi}{2}$
\hspace{1.2cm}
e)\ $\dfrac{26\pi}{4}$
\hspace{1.2cm}
f)\ $-\dfrac{13\pi}{5}$
\enex
\section{Cosinus et sinus d'un angle orient�}
\bgex
\bgen
\item $ABCD$ est un carr� de c�t� $1$.
\bgmp{12cm}
Calculer la longueur $AC$, puis en d�duire les valeurs exactes de
$\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
\enmp\qquad
\bgmp{3cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.2)
\pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
\psline(0,2)(2,0)
\rput(-0.2,2.2){$A$}
\rput(2.2,2.2){$B$}
\rput(2.2,-.2){$C$}
\rput(-0.2,-0.2){$D$}
\end{pspicture}
\enmp
\item $RST$ est un triangle �quilat�ral de c�t� $1$.
\bgmp{12cm}
Calculer la longueur $TI$, en d�duire les valeurs exates de
$\cos\dfrac{\pi}{6}$,
$\sin\dfrac{\pi}{6}$,
$\cos\dfrac{\pi}{3}$ et
$\sin\dfrac{\pi}{3}$.
\enmp\qquad
\bgmp{3cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.4)
\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.7)
\psline(1,1.7)(1,0)
\psline(0.4,-0.1)(0.5,0.1)\psline(0.5,-0.1)(0.6,0.1)
\psline(1.4,-0.1)(1.5,0.1)\psline(1.5,-0.1)(1.6,0.1)
\rput(1,1.9){$T$}
\rput(-0.2,-0.2){$R$}
\rput(2.2,-0.2){$S$}
\rput(1,-0.2){$I$}
\end{pspicture}
\enmp
\enen
\enex
\bgdef{
Soit $M$ un point du cercle trigonom�trique,
et $x$ une mesure de l'angle orient�
$\lp \vec{i},\V{OM}\rp$.
\bgit
\item Le {\bf cosinus} de $x$, not� $\cos x$, est l'abscisse de $M$.
\item Le {\bf sinus} de $x$, not� $\sin x$, est l'ordonn�e de $M$.
\enit
}
\ct{
\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.4)
\rput(-0.15,-0.15){$O$}
\psline(-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.3,-0.1){$\vec{i}$}
\psline(0,-1.2)(0,1.2)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.1,0.8){$\vec{j}$}
\pscircle(0,0){1}
%
\rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.05,0.55){$M$}
\psline(0,0)(0.866,0.5)
\psarc{->}(0,0){0.6}{0}{30}\rput(0.7,0.15){$x$}
%
\psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
\rput(0.85,-0.1){$\cos x$}
\rput(-0.15,0.52){$\sin x$}
\end{pspicture}
}
\bgmp{11cm}
{\bf Angles remarquables} \\[0.3cm]
\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{tabular}{|c|*5{p{1.2cm}|}}\hline
$x$ &
\bgmp{1.2cm} $0^\circ$ \\[0.3cm] $0$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $30^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{6}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $45^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{4}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $60^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{3}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $90^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{2}$ rad \enmp
\\\hline
$\sin x$ & $0$ & $\dfrac{\bf 1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{\bf 2}}{2}$
& $\dfrac{\sqrt{\bf 3}}{2}$ & $1$
\\\hline
$\cos x$ & $1$ & $\dfrac{\sqrt{\bf 3}}{2}$
& $\dfrac{\sqrt{\bf 2}}{2}$ & $\dfrac{\bf 1}{2}$ & $0$
\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\psline(-0.1,0)(1.2,0)\rput(-0.1,1.15){$\lp\sin\rp$}
\psline(0,-0.1)(0,1.2)\rput(1.3,-0.08){$\lp\cos\rp$}
\rput(1.02,-0.08){$1$}\rput(-0.05,1.02){$1$}
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\psarc(0,0){1}{0}{90}
% pi/6
\rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1,0.5){$\dfrac{\pi}{6}$}
\psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
\rput(0.88,-0.1){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\rput(-0.06,0.5){$\frac{1}{2}$}
% pi/4
\rput(0.707,0.707){$\bullet$}\rput(0.85,0.8){$\dfrac{\pi}{4}$}
\psline[linestyle=dashed](0.707,0)(0.707,0.707)(0,0.707)
\rput(0.7,-0.1){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\rput(-0.1,0.7){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
% pi/6
\rput(0.5,0.866){$\bullet$}\rput(0.6,1){$\dfrac{\pi}{3}$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
\rput(0.5,-0.1){$\frac{1}{2}$}
\rput(-0.09,0.88){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{Pour tout r�el $x$:
\bgit
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$
\item[$\bullet$] $\cos^2 x +\sin^2 x=1$
{\sl (en notant $\cos^2 x = \lp\cos x\rp^2$
et $\sin^2 x=\lp\sin x\rp^2$)}
\enit
}
\bgex
D�terminer les valeurs exactes de:
\vspd\noindent
a)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$
\qquad
b)\ $\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
\qquad
c)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$
\qquad
d)\ $\cos\lp-\dfrac{3\pi}{4}\rp$
\qquad
e)\ $\sin\lp\dfrac{4\pi}{3}\rp$
\qquad
\enex
\section{Angles associ�s}
%\vspace{1cm}
%\hspace{-1cm}
\bgmp{8.4cm}
\psset{unit=3cm}%{xunit=5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1.3,1.5)(1.3,1.5)
\pscircle(0,0){1}
\psline[linewidth=0.8pt](-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=0.8pt](0,-1.2)(0,1.2)
\psarc[linewidth=0.6pt]{->}(0,0){0.4}{0}{19}
\put(0.45,0.05){\large{$x$}}
\psline[linewidth=0.8pt](-1.2,-0.4)(1.2,.4)
\psline[linewidth=0.8pt](-1.2,0.4)(1.2,-.4)
\psline[linewidth=0.8pt](-0.4,1.2)(.4,-1.2)
\psline[linewidth=0.8pt](0.4,1.2)(-.4,-1.2)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.94,-0.3)(0.94,0.3)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.94,-0.3)(-0.94,0.3)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.94,0.32)(0.94,0.32)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.94,-0.32)(0.94,-0.32)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.32,0.94)(0.32,0.94)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.32,-0.94)(0.32,-0.94)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.32,0.94)(-0.32,-0.94)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.32,0.94)(0.32,-0.94)
\put(1.25,-.03){\large{$0$}}
\put(1.25,0.4){\large{$x$}}
\put(1.2,-0.45){\large{$-x$}}
\put(-1.5,0.4){\large{$\pi-x$}}
\put(-1.5,-0.45){\large{$\pi+x$}}
\put(-1.4,0.){\large{$\pi$}}
\put(-0.7,1.25){\large{$\dsp\frac{\pi}{2}+x$}}
\put(0.25,1.25){\large{$\dsp\frac{\pi}{2}-x$}}
\put(-.05,1.35){\large{$\dsp\frac{\pi}{2}$}}
\put(-0.75,-1.3){\large{$\dsp\frac{3\pi}{2}-x$}}
\put(-0.1,-1.4){\large{$\dsp\frac{3\pi}{2}$}}
\put(0.28,-1.3){\large{$\dsp\frac{3\pi}{2}+x$}}
\put(0.7,-0.1){$\cos x$}
\put(-0.1,0.35){$\sin x$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{8.2cm}
\paragraph{Parit� des fonctions sinus et cosinus.}
\
La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.
En d'autres termes, pour tout nombre r�el $x$,
%\bgmp[b]{3cm}
\[\la\bgar{ll}
\cos(-x) = \cos x \vspd\\
\sin(-x) = -\sin x
\enar\right.
\]%\enmp
\vspt
\paragraph{Autres relations.} Pour tout nombre r�el $x$,
\[
\la\bgar{ll}
\dsp \cos\lp\frac{\pi}{2}-x\rp = \sin x \vspd\\
\dsp \sin\lp\frac{\pi}{2}-x\rp = \cos x
\enar\right.
\hspace{0.6cm}
\la\bgar{ll}
\dsp \cos\lp\frac{\pi}{2}+x\rp = -\sin x \vspd\\
\dsp \sin\lp\frac{\pi}{2}+x\rp = \cos x
\enar\right.
\]
\[ \la\bgar{ll}
\cos\lp\pi-x\rp = -\cos x \vspd\\
\sin\lp\pi-x\rp = \sin x
\enar\right.
\hspace{0.6cm}
\la\bgar{ll}
\cos\lp\pi+x\rp = -\cos x \vspd\\
\sin\lp\pi+x\rp = -\sin x
\enar\right.
\]
\enmp
\bgex
Simplifier les expressions: \vspd
a)\ $A=\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp+\sin(-x)+\cos(-x)$
\qquad
b)\ $B=\sin(\pi-x)+\cos(\pi+x)+\sin(x+\pi)$
c)\ $C=\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp+\cos(\pi-x)+\sin(-x)$
\qquad
d)\ $D=\cos(x+\pi)+\sin(\pi-x)+\cos(x+2\pi)$
\enex
\section{Equations trigonom�triques}
\bgprop{
Les solutions dans $\R$ de l'�quation
$\cos x =\cos a$ sont:
$\la\bgar{ll} x=a+2k\pi \\[0.3cm] x=-a+2k\pi\enar\right.$,
o� $k$ est un entier relatif quelconque.
}
\bgprop{
Les solutions dans $\R$ de l'�quation
$\sin x =\sin a$ sont:
$\la\bgar{ll} x=a+2k\pi \\[0.3cm] x=\pi-a+2k\pi\enar\right.$,
o� $k$ est un entier relatif quelconque.
}
\bgex
R�soudre les �quations sur $\R$, puis sur $[\,0;2\pi[$: \vspd
a)\ $\cos x=\cos\lp\dfrac{\pi}{6}\rp$
\qquad
b)\ $\sin x=\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
\qquad
c)\ $\cos t=\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$
\qquad
d)\ $\sin t=\sin\lp\dfrac{\pi}{8}\rp$
e)\ $\cos x=0$
\qquad
f)\ $\cos x=\dfrac12$
\qquad
g)\ $\sin t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\qquad
h)\ $\cos x=\cos\lp x+\dfrac{\pi}{4}\rp$
\vspd
i)\ $\cos x=\sin\lp\dfrac{\pi}{3}\rp$
\qquad
j)\ $\cos x=\sin\lp\dfrac{\pi}{12}\rp$
\qquad
k)\ $\sin x=\cos x$
\qquad
l)\ $\cos(2x)=\sin\lp \dfrac{x}{2}\rp$
\enex
\bgex
Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re les points
$A(1;2)$, $B(3;2)$, $C(2;2)$ et \mbox{$D(2+\sqrt{3};3)$}.
En calculant le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{CD}$ de deux mani�res
diff�rentes, d�terminer une mesure de l'angle $\lp\V{AB},\V{CD}\rp$.
\enex
\bgex On consid�re un objet soumis � deux forces $\V{F_1}$ et
$\V{F_2}$,
telles que $\|\V{F_1}\|=200$N,
et $\|\V{F_2}\|=250$N.
D�terminer une mesure de l'angle $\lp\V{F_1},\V{F_2}\rp$ pour que l'on
ait
$\V{F_1}\cdot\V{F_2}=10^4$.
\enex
\bgex {\sl Projection d'un vecteur sur deux axes orthgonaux}
\bgmp{12cm}
On consid�re la d�composition d'un vecteur $\V{F}$ sur deux axes
orthogonaux comme repr�sent� sur la figure ci-contre.
On note $F=\|\V{F}\|$,
$F_1=\|\V{F_1}\|$
et $F_2=\|\V{F_2}\|$.
\vspd
Montrer que:\quad
$F_1=F\,\cos\tht
\quad\text{ et, }\quad
F_2=F\,\sin\tht
$.
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(3,2.2)
\psline(-0.5,0)(3.4,0)
\psline(0,-0.5)(0,2.6)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
%
\psline[linewidth=1.6pt,arrowsize=8pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
\rput(2.2,2.1){$\V{F}$}
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(2.5,0)
\rput(1.6,-0.4){$\V{F}_1$}
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(0,1.8)
\rput(-0.4,0.8){$\V{F}_2$}
%
\psline[linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,1.8)(0,1.8)
\psarc{->}(0,0){1}{0}{35}
\rput(1.2,0.4){$\tht$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\section{Fonctions sinus et cosinus}
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$,
$\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
Les fonctions $x\mapsto \cos x$ et $x\mapsto \sin x$ sont
{\bf p�riodiques} de p�riode $2\pi$.
Les courbes repr�sentatives des fonctions sinus (sinuso�de) et
cosinus (cosinuso�de) sont inchang�es par translation de vecteur
$2\pi\vec{i}$.
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, $\cos(-x)=\cos x$.
La fonction cosinus est {\bf paire}, sa courbe repr�sentative
admet l'axe des ordonn�es comme axe de sym�trie.
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, $\sin(-x)=-\sin x$.
La fonction sinus est {\bf impaire}, sa courbe repr�sentative
admet l'origine du rep�re comme centre de sym�trie.
\enit
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
\psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
\rput(0.2,-0.2){$O$}
\psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul sin}
\psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
\psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
\psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
\psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
\psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
\psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
\psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
\rput(2.7,1.1){$y=\sin x$}
\end{pspicture}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
\psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
\rput(0.2,-0.2){$O$}
\psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul cos}
\psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
\psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
\psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
\psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
\psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
\psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
\psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
\rput(1.5,1){$y=\cos x$}
\end{pspicture}
\bgex
Soit $f$ la fonction p�riodique de p�riode $1$ d�finie par
$f(t)=-2t+1$ si $t\in[0;1]$.
Tracer la repr�sentation graphique de $f$ sur $[-2;4]$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction p�riodique de p�riode $2$ d�finie par
$f(t)=t^2$ si $t\in[-1;1]$.
Tracer la repr�sentation graphique de $f$ sur $[-3;5]$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction p�riodique, de p�riode 2,
d�finie par $f(t)=-2t^2+2$ si $t\in[-1;1]$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-1;1]$.
Tracer alors la repr�sentation graphique de $f$ sur $[-3;5]$.
\enex
\bgex
L''�volution de la population $P$ d'animaux dans une for�t est
mod�lis�e par:
\[P(t)=500+50\sin\lp 2\pi t-\dfrac{\pi}{2}\rp\ ,\]
o� $t$ est exprim� en ann�es.
\bgen
\item Calculer $P(0)$, $P\lp\dfrac12\rp$ et $P(1)$.
\item Quelle est la p�riode de la fonction $P$ ?
\item Pour quelle valeur de $t$, la population est-elle � son maximum
dans la premi�re ann�e ?
Quelle est la population maximum ?
\enen
\enex
\end{document}
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