Source Latex: Cours de mathématiques en Première STI2D


Fichier
Type: Cours
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Cours de mathématiques 1ère STI2D - Fonctions: 1ère partie (généralités)
Niveau
Première STI2D
Table des matières
  • Généralités sur les fonctions
    • Définition d'une fonction
    • Courbe représentative d'une fonction
    • Variations d'une fonction
    • Taux de variation
  • Fonctions de référence (ou usuelles)
    • Fonctions affines
    • Signe d'une expression affine et tableaux de signes
    • Fonction carré
    • Fonction cube
    • Fonction inverse
    • Fonction racine carrée
  • Résolution d'équations et inéquations
    • Résolution graphique et algébrique d'équations
    • Résolution graphique et algébrique d'inéquations
Mots clé
fonctions, courbe représentative d'une fonction, signe d'une expression, fonctions usuelles, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
lien vers la documentation Latex
Source LaTex icone

Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{calc}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: Fonctions},
    pdftitle={Fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D, 
      fonctions}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-.3em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.3em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \ }
  \noindent
  \paragraph{Définition}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp
}

\newlength{\lexp}
\nwc{\bgexp}[1]{
  \settowidth{\lexp}{Exemple:}
  \noindent\paragraph{Exemple:}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lexp-1em}{\it #1}\enmp
}

\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp
}

\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
}


\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1.2cm
\textheight=27.cm
\textwidth=19.cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.4cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Fonctions - $1^\text{ère}$ partie - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}

%\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\alph{subsection})}
%\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection})\ }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf Fonctions - $1^\text{ère}$ partie}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$

\vfill
{%\setlength{\baselineskip}{1.3\baselineskip}
\setlength{\baselineskip}{2.2em}
\tableofcontents\par}


%\bigskip
%\psline(0,0)(\linewidth,0)
\vfill

\clearpage
\section{Généralités sur les fonctions}

\subsection{Définition d'une fonction}

On considère un ensemble $D$, un intervalle ou une réunion d'intervalles 
de $\R$. \\
On définit une fonction en associant à chaque nombre réel $x$ de $D$ 
un unique réel appelé {\bf image de $x$} et noté {\bf $f(x)$}. 

\medskip
On peut définir une fonction par une expression algébrique, 
par exemple, 
la fonction $f$ qui a tout nombre réel $x$ de $D=[-10;10]$ associe le nombre 
$2x-3$. 

Symboliquement, on écrit $f:x\mapsto 2x-3$ ou encore on donne l'expression 
algébrique $f(x)=2x-3$. 

\bgdef{
\bgit
\item L'ensemble $D$ s'appelle l'{\bf ensemble de définition} de $f$: 
  c'est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie 
  (ou existe). 
\medskip
\item Dans la relation 
  $x\stackrel{f}{\longrightarrow}y=f(x)$, 
  \bgen[$\bullet$]
  \item $x$ est l'{\bf antécédent} de $y$ 
  \item $y=f(x)$ est l'{\bf image} de $x$
  \enen
\enit
}

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=2x^2-3$. 
\bgen
\item Donner les images de 3; 5; 0; $-1$ et $-3$.
\item Quels sont les antécédents de 1 ? 
\enen
\enex

\bigskip
On peut aussi définir une fonction par une situation physique: 

\bgex
$ABCD$ est un trap\`eze rectangle tel que $AB= 5$, $AD=10$ 
et $BC= 22$. $M$ est un point du segment~$[BC]$.  
 
\[\psset{unit=.4cm}\begin{pspicture}(0,-.5)(22,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,5)(0,0)(22,0)(10,5)(0,5)
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](22,0){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ur](10,5){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{$x$}}
\uput[d](7,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(7,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](10,5)(7,0)
\end{pspicture}
\]
On pose $x = BM$. Soit $f$ la fonction telle que $f(x) = DM$.

{\sl On ne cherche pas ici \`a donner l'expression alg\'ebrique $f(x)$ de la
  fonction $f$ en fonction de $x$.}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de d\'efinition de la fonction $f$ ?
\item D\'eterminer $f(0)$, $f(10)$ et $f(22)$. 
\item Détailler comment varie $f(x)$ lorsque $x$ augmente. 
  
  Représenter graphiquement ces détails à l'aide d'un graphique et/ou 
  d'un tableau représentant les variations. 
\item 7 a-t-il un antécédent par $f$ ? 
\end{enumerate}
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-12x+11$. 
\bgen
\item Montrer que, pour tout réel $x$, 
  $f(x)=(x-11)(x-1)$. 
\item Déterminer l'image de 3 par la fonction $f$. 

  Déterminer de m\^eme l'image de $-2$ par $f$. 
\item Déterminer les antécédents éventuels de 0 par $f$. 

  Déterminer de m\^eme les antécédents éventuels de 11 par $f$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-6x-20$. 
\bgen
\item Montrer que, pour tout réel $x$, 
  $f(x)=2(x+2)(x-5)$. 
\item Déterminer l'image de $-2$ par la fonction $f$. 

  Déterminer de m\^eme l'image de $-3$ par $f$. 
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-20$ par $f$. 

  Déterminer de m\^eme les antécédents éventuels de 0 par $f$. 
\enen
\enex

\subsection{Courbe représentative d'une fonction}

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
$M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. 

\bgmp{8cm}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.1){\footnotesize $x$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$y=f(x)$}}
  \rput(2.1,0.8){\footnotesize $M(x;y)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\[M(x;y) \in \mathcal{C}_f \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
\]
\enmp


\bgexp{Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$.

Un point $M(x;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y=f(x)$, 
c'est-à-dire si $y=f(x)=2x-1$. 

$\mathcal{C}_f$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$. 
}

%\vspd\noindent
\bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=2x^2-3x+2$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ 
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$  \ ;\ 
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .

\vsp
Placer ces points dans un repère et tracer une courbe $\mathcal{C}_f$ possible. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $g$ définie par l'expression 
$g(x)=\dfrac{x+6}{x-2}$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

$A(0;-3)$ \ ; \ $B(1;-7)$ \ ;\ 
$C(-1;-2,5)$ \ ; \ $D(2;8)$  \ ;\ 
$E(-2;-1)$ \ ; \ $F(6;3)$\ ;\ 
$G(3;10)$\ ; \ $H(4;5)$

\vsp
Placer ces points dans un repère et tracer une courbe $\mathcal{C}_g$ possible. 
\enex

\subsection{Variations d'une fonction}

Un des objectifs principaux de l'étude d'une fonction est de déterminer son 
sens de variation, c'est-à-dire lorsqu'elle est croissante ou décroissante. 

On résume en général ces résultats dans un tableau de variation. 

Par exemple, 
soit la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ 
par l'expression $f(x)=-2x^2+3x+20$. 


\`A l'aide d'une calculatrice, ou ordinateur \dots, on peut tracer 
l'allure \textbf{approximative} de la courbe $\mathcal{C}_f$ de~$f$: 
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.1cm,arrowsize=7pt}
\newcommand{\f}[1]{-2 #1 2 exp mul 3 #1 mul add 20 add}
\begin{pspicture}(-6,-50)(6,30)
  \psline{->}(-6,0)(6,0)
  \psline{->}(0,-50)(0,30)
  \psplot{-5}{5}{\f{x}}
  \psline[linestyle=dashed](-5,0)(! -5\space\f{-5})%(!0\space\f{-5})
  \rput(-5,1){$-5$}
  \psline[linestyle=dashed](.75,0)(! .75\space\f{.75})%(!0\space\f{.75})
  \rput(.75,-3){$\simeq1$}
  \psline[linestyle=dashed](5,0)(!5\space\f{5})
  \rput(5,1){$5$}
\end{pspicture}\]
Le tableau de variation est un schéma de la courbe, 
ne montrant que les variations: 
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-5$ && $\simeq1$ && 5 \\\hline
&&&$\simeq21$&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&$-45$&&&&$-15$\\\hline
\end{tabular}\]
dans lequel on indique les valeurs extr\^emes: 
$f(-5)$ et $f(5)$ ainsi que la valeur du maximum 
(approximatif pour l'instant\dots): 
$f(1)=21$. 

\bgex
Soit $g$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
l'expression $g(x)=2x-3$. \\
Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_g$ à l'aide d'une calculatrice 
(ou ordinateur\dots) et donner le tableau de variation correspondant. 


\enex

\bgex
Soit $h$ la fonction définie sur $[0;15]$ par l'expression 
$h(x)=x^2+6x-3$\\
Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_h$ à l'aide d'une calculatrice 
(ou ordinateur\dots) et donner le tableau de variation correspondant. 
\enex

\bgex
Soit $k$ la fonction définie sur $[-4;7]$ par l'expression 
$k(x)=x^3-3x^2+2$\\
Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_k$ à l'aide d'une calculatrice 
(ou ordinateur\dots) et donner le tableau de variation correspondant. 
\enex


\subsection{Taux de variation}

\bgex
On considère la fonction carré $f:x\mapsto x^2$. 
\bgen[a)]
\item Quelle est la variation de $f$ entre $x=1$ et $x=2$ ? 
\item Quelle est la variation de $f$ entre $x=1$ et $x=3$ ? 
\item Quelle est la variation de $f$ entre $x=1$ et $x=1.5$ ? 
\item Comparer ces trois variations. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{10cm}
\[\psset{xunit=3cm,yunit=3cm,arrowsize=7pt}
\nwc{\f}[1]{#1 #1 mul #1 mul -1.6 #1 mul #1 mul add 0.5 add}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.4)(2.4,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.7,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.85}{\f{x}}
  \rput(1.95,1.25){$\mathcal{C}_f$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](.4,0)(! .4\space\f{.4})(!0\space\f{.4})
  \rput(.4,-0.1){\footnotesize $x_1$}
  \rput[r](!-0.05\space\f{.4}){\footnotesize{$y_1=f\lp x_1\rp$}}
  \rput(.4,0.4){\footnotesize $M_1$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(! 1.7\space\f{1.7})(!0\space\f{1.7})
%  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.1){\footnotesize $x_2$}
  \rput[r](!-0.05\space\f{1.7}){\footnotesize{$y_2=f\lp x_2\rp$}}
  \rput(1.8,0.8){\footnotesize $M_2$}
  \psplot{-.7}{2.3}{\f{1.7} \f{.4} sub 1.7 .4 sub div x .4 sub mul \f{.4} add}
  %
  \psline{<->}(!-.7\space\f{.4})(!-.7\space\f{1.7})
  \rput[r](-.72,.55){$\Delta y$}
  \psline{<->}(.4,-.2)(1.7,-.2)
  \rput(1,-.3){$\Delta x$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgmp{8cm}
La \textbf{variation absolue} de $f$ entre $M_1$ et $M_2$ 
est $y_2-y_1=f\lp x_2\rp-f\lp x_1\rp$. 
\\[2em]
La \textbf{variation relative}, \\ou 
\textbf{taux de variation} est 
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
=\dfrac{f\lp x_2\rp-f\lp x_1\rp}{x_2-x_1}\]
\enmp

\bgprop{Le \textbf{taux de variation} est le coefficient directeur de la droite 
$\lp M_1M_2\rp$.}

\bgex
On considère la fonction carré $f:x\mapsto x^2$ 
et la fonction cube, $g:x\mapsto x^3$, définies sur $\R$. 

Calculer les taux de variation de $f$ et de $g$, puis les comparer, \\[.5em]
a) entre 0 et 1 \qquad 
b) entre 0 et 2 \qquad 
c) entre 0 et 4 \qquad
d) entre $-1$ et 0 \qquad
e) entre $-2$ et $-1$ \qquad 
\enex


\bgprop{\vspace{-.9em}

\bgen[$\bullet$]
\item Si pour tous réels distincts $x_1$ et $x_2$, le taux de variation 
  de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est positif, alors $f$ est croissante. 
\item Si pour tous réels distincts $x_1$ et $x_2$, le taux de variation 
  de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est négaitf, alors $f$ est décroissante. 
\enen
}


\section{Fonctions de références (ou usuelles)}

Les fonctions de référence, ou fonctions usuelles, 
sont les quelques fonctions avec lesquelles toutes 
les autres fonctions (du moins au lycée) sont construites. 

Dans chaque cas, on donnera les éléments et propriétés caractéristiques 
(à conn\^itre sans hésiter\dots): 
un bref tableau de valeurs (à calculer de t\^ete !), 
la courbe représentative, 
le tableau de variation et le tableau de signes. 

\subsection{Fonctions affines}
{\small\textit{Voir aussi 
\url{https://xymaths.fr/Lycee/Common/Cours-fonction-affine-droite-systeme.php}}}

\medskip
Une fonction affine est une fonction dont l'expression peut s'écrire 
sous la forme 
$f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels. 

La courbe représentative de la fonction affine $f(x)=mx+p$ est 
l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $y=f(x)$, soit $y=mx+p$, 
c'est-à-dire la droite d'équation $y=mx+p$. 


\bgex
Tracer les courbes représentatives des fonctions 
$f_1:x\mapsto 2x+1$, 
$f_2:x\mapsto 2x-3$, 
$f_3:x\mapsto 2x$ et 
$f_4:x\mapsto -x+1$. 

Donner pour chacune le tableau de variation et le tableau de signes. 
\enex

\bgdef{\vspace{-.9em}
\bgen[$\bullet$]
\item Le coefficient $m$ est le coefficient directeur de la droite 
  (qui donne la direction)
\item le coefficient $p$ est l'ordonnée à l'origine de la droite 
  (l'ordonnée lorsque $x=0$)
\enen}


\bgprop{
Pour une afonction affine $f:x\mapsto mx+p$

\bgmp[t]{.5\linewidth}
\[m>0\]
\ct{$f$ est croissante sur $\R$}

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-3,-1.4)(3,3)
  \psline{->}(-3,0)(3,0)
  \psline{->}(0,-3)(0,3)
  \psplot{-3}{3}{.8 x mul 1 add}
  \rput(3,-.3){$x$}
  \rput[r](-.1,3){$y$}
  \psline(-1.25,.15)(-1.25,-.15)\rput(-1.25,-.3){$x_0$}
\end{pspicture*}\]
\hspace*{3.5cm}\mbox{$x_0$ est solution de $f(x)=0\iff mx+p=0$}


\enmp\hfill
\bgmp[t]{.5\linewidth}

\[m<0\]
\ct{$f$ est décroissante sur $\R$}

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-3,-1.4)(3,3)
  \psline{->}(-3,0)(3,0)
  \psline{->}(0,-3)(0,3)
  \psplot{-3}{3}{-.8 x mul 1 add}
  \rput(3,-.3){$x$}
  \rput[r](-.1,3){$y$}
  \psline(1.25,.15)(1.25,-.15)\rput(1.25,-.3){$x_0$}
\end{pspicture*}\]
\enmp

\bigskip
\hspace*{-2em}\textbf{Tableau de variation}

\bgmp[t]{.5\linewidth}
\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $+\infty$\\\hline
&&&\\
$f$ &&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enmp\hfill
\bgmp[t]{.5\linewidth}
\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $+\infty$\\\hline
&&&\\
$f$ &&\Large{$\searrow$}&\\
&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enmp

\bigskip
\hspace*{-2em}\textbf{Tableau de signes}

\bgmp[t]{.5\linewidth}
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_0$ && $+\infty$\\\hline
$mx+p$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline
\end{tabular}\]
\enmp\hfill
\bgmp[t]{.5\linewidth}
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_0$ && $+\infty$\\\hline
$mx+p$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline
\end{tabular}\]
\enmp
}


\bgex
Soit les fonctions affines $f:x\mapsto 3x+2$ et $g:x\mapsto-2x+1$. 
\bgen
\item Tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère. 
\item Donner les tableaux de variations et de signes de $f$ et $g$. 
\item Calculer les taux de variation de $f$ et $g$: \quad  
  a) entre 0 et 1 
  \quad 
  b) entre 0 et 5
  \quad 
  c) entre $-1$ et $1$
\enen
\enex

\bgprop{
  Le coefficient directeur de la droite 
  passant par $A\lp x_A;y_A\rp$ et $B\lp x_B;y_B\rp$ 
  est le taux de variation: 
  \[m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]
  On peut ensuite calculer l'ordonnée à l'origine $p$ en 
  utilisant $y_A=mx_A+p$ ou $y_B=mx_B+p$. 
}

\bgex
Déterminer l'équation de la droite $(AB)$ avec 
$A(2;-1)$ et $B(6;7)$. 

Tracer alors cette droite. 
\enex


\bgex
Déterminer l'expression de la fonction affine 
dont la courbe passe par les points 
$A(-2;-2)$ et $B(1;7)$. 
\enex 

\subsection{Signe d'une expression affine et tableaux de signes}
\bgex
Donner les tableaux de signes des expressions affines: \\[.6em]
\begin{tabular}{*7{p{2.5cm}}}
a) $3x+6$ &
b) $2x+8$ &
c) $-2x+4$ &
d) $-6x-3$ &
e) $x+2$  &
f) $-x+7$ \\[.5em]
g) $2x$ &
h) $x$ &
i) $-x$ &
j) $3-6x$ &
k) $2+3x$ & 
l) $-8-3x$
\end{tabular}
\enex

\bgex
En utilisant la règle des signes, donner les tableaux de signes 
des expressions suivantes: \\[.5em]
\begin{tabular}{*3{p{5.4cm}}}
a) $A(x)=(3x+6)(2x+8)$ &
b) $B(x)=(-2x+4)(x+3)$ &
c) $C(x)=(-6x-3)(8-2x)$ \\[.5em]
d) $D(x)=2x(x+3)$ &
g) $E(x)=\dfrac{2x-4}{x+5}$ &
h) $F(x)=\dfrac{2x+1}{3-x}$ 
\end{tabular}
\enex

\bgex
Après avoir factorisé ou mis sur le m\^eme dénominateur, 
donner les tableaux de signes de: \\[.5em]
\begin{tabular}{p{6cm}p{5cm}p{5cm}}
a) $A(x)=3x(2x+1)+6(2x+1)$ &
\multicolumn{2}{l}{b) $B(x)=(x+3)(x+2)-(x+2)(2x+1)$}\\[.5em]

c) $C(x)=\dfrac3{2x+1}+\dfrac2{x+2}$ &
d) $D(x)=2+\dfrac1{x+2}$ &
g) $E(x)=\dfrac{2x-4}{x-5}-3$ \\[1em]
h) $F(x)=\dfrac{2x+1}{3-x}+2$ &
i) $G(x)=(x+2)-3x(x+2)$ &
j) $H(x)=\dfrac2{4-2x}-3$
\end{tabular}
\enex

\subsection{Fonction carré}

La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par: 
$f(x)=x^2$

%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$  && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ \\\hline
\end{tabular}

\medskip
\ct{Tableau de signes}\vsp
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
$f$  && $+$ &\zb& $+$& \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\[\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-.5)(2.5,3.)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)\rput(1,-0.3){$1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,4)(2,4)\rput(2,-0.3){$2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,4)
  \rput(-0.2,1.2){$1$}
  \rput(-0.2,3.8){$4$}
\end{pspicture}\]
\enmp


\subsection{Fonction cube}

La fonction cube est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par
\fbox{$f(x)=x^3$}. 

\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&\Large{$\nearrow$}&\\
$f$  &&&$0$&& \\
&&\Large{$\nearrow$}&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& $-8$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}

\medskip
\ct{Tableau de signes}\vsp
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
$f$  && $-$ &\zb& $+$& \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(2.5,5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-9)(0,9)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul x mul}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(-2,0)\rput(-2,0.5){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(0,-8)\rput(0.3,-8){$-8$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,0)\rput(-1,0.5){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)\rput(0.3,-1){$-1$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)\rput(1,-0.5){$1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)\rput(-0.3,1){$1$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,8)\rput(2,-0.5){$2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,8)(0,8)\rput(-0.3,8){$8$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsection{Fonction inverse}

La fonction inverse est la fonction $f$ définie pour $x$ réel 
\ul{non nul} par \fbox{$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$}. 

\psset{unit=1cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$  && \Large{$\searrow$} &
\psline(-0.05,-0.7)(-0.05,0.9)
\psline(0.05,-0.7)(0.05,0.9)
& \Large{$\searrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & -$1$ & -$0.5$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& -$0.5$ & -$1$ & -$2$ &$0$ & $2$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}

\medskip
\ct{Tableau de signes}\vsp
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
$f$  && $-$ &\db& $+$& \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}%\vspace{3cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.2,1.2)(2.5,2.2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3.2,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,3)\rput(-0.1,-0.2){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-3}{-0.33}{1 x div}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0.33}{2.5}{1 x div}

  \multido{\i=-2+1}{5}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
    \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
  }

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-0.5)(0,-0.5)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,-1)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,-2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,-2)(0,-2)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0.5)(0,0.5)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,2)(0,2)

  \rput(-2,0.3){-$2$}\rput(-1.1,0.3){-$1$}\rput(-0.4,0.4){-$0.5$}
  \rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(0.4,-0.4){$0.5$}
  \rput(0.3,-2){-$2$}\rput(0.3,-1){-$1$}
  \rput(-0.3,2){$2$}\rput(-0.3,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspq
\subsection{Fonction racine carrée}

La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel
\ul{positif} par: 
\fbox{$f(x)=\sqrt{x}$}

\bigskip
\noindent
\bgmp[t]{4.8cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$  &&  \Large{$\nearrow$}& \\
&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
}
\enmp\qquad
\bgmp[t]{7cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
  $x$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ & $4$ & $9$ \\\hline
  $f(x)$& $0$ & $\simeq0.7$ & $1$ & $2$ & $\simeq1,4$ & $3$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp\qquad
\bgmp[t]{7cm}
{Tableau de valeurs}\\[.2cm]
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
$f$  &0&  $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\enmp

\[\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.5,-0.5)(9.5,4.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(9.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0}{9.5}{x sqrt}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,0.707)(0.5,0.707)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.707)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.414)(2,1.414)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,1.414)(2,0)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,2)(4,2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](4,2)(4,0)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,3)(9,3)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](9,3)(9,0)

  \rput(-0.2,1){$1$}\rput(-0.2,2){$2$}\rput(-0.2,3){$3$}
  \rput(1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(4,-0.3){$4$}
  \rput(9,-0.3){$9$}
\end{pspicture}\]

\section{Résolution d'équations et inéquations}

\subsection{Résolution graphique et algébrique d'équations}

\bgex
On cherche à résoudre l'équation $E: 2x^2-6=1$. 

On introduit la fonction $f:x\mapsto 2x^2-6$. 

\bgen[a)]
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$ 
  et résoudre approximativement l'équation $E$. 

\item Résoudre algébriquement $E$, en isolant tout d'abord 
  le terme $x^2$. 
\enen
\enex

\bgex
On cherche à résoudre l'équation $E: 2x^3-6=1$. 

On introduit la fonction $f:x\mapsto 2x^3-6$. 

\bgen[a)]
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$ 
  et résoudre approximativement l'équation $E$. 

\item Résoudre algébriquement $E$, en isolant tout d'abord 
  le terme $x^3$. 
\enen
\enex


\bgprop{
  \bgmp[t]{9.6cm}
  Pour un réel $a\geqslant0$, l'équation $x^2=a$ 
  admet deux solutions: 
  $x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$. 
  \enmp\quad
  \bgmp{6cm}
  \[\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-3,-.7)(3,7.5)
    \psline{->}(-2.9,0)(2.9,0)
    \psline{->}(0,-.2)(0,7.4)
    \psplot{-2.6}{2.6}{x 2 exp}
    \psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)(2,4)(2,0)
    \rput(-.2,4.2){$a$}
    \rput(-2,-.5){$-\sqrt{a}$}
    \rput(2,-.5){$\sqrt{a}$}
  \end{pspicture}\]
  \enmp

  \bgmp[t]{9.6cm}
  Pour un réel $a$, l'équation $x^3=a$ 
  admet une unique solution: 
  $x=\sqrt[3]{a}=x^{\frac13}$. 
  \enmp\quad
  \bgmp{6cm}
  \[\psset{xunit=1.2cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-2.2,-10)(2.15,10)
    \psline{->}(-2.1,0)(2.1,0)
    \psline{->}(0,-9.1)(0,9.1)
    \psplot{-2.1}{2.1}{x 3 exp}
    \psline[linestyle=dashed](1.3,0)(1.3,2)(0,2)
    \rput(-.2,2){$a$}
    \rput(1.3,-.8){$\sqrt[3]{a}$}
  \end{pspicture}\]
  \enmp
}

\bgex
Résoudre les équations: \\[.4em]
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
a) $x^2=7$ &
b) $x^2=-3$ &
c) $3x^2=6$ &
d) $2x^2+4=8$ &
e) $3x^2+6=3$ \\[.4em]
f) $x^3=7$ & 
g) $x^3=-8$ & 
h) $2x^3+3=7$ & 
i) $-3x^3=9$ & 
j) $2x^3+3=x^3+2$
\end{tabular}
\enex

\subsection{Résolution graphique et algébrique d'inéquations}

\bgdef{\'Etudier la position relative de deux courbes 
  $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, 
  c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus 
  de l'autre. \\
  Par exemple pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-5;5]$, 
  telles que:
  \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-5.5,-4.)(5.6,4.2)
    \psline{->}(-5.3,0)(5.5,0)
    \psline{->}(0,-4.2)(0,4)
    \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.4){$\i$}}
    \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.6pt]
    (-5,-4)(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)
    (1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2)
    \rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$}
    \pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt]
    (-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)
    (1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3)
    \rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$}
    %
    \psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3)
    \psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3)
    \psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3)
    \rput[r](-3.5,-.25){$a$}
    \rput(-1.8,.25){$b$}
    \rput(1.3,-.3){$c$}
  \end{pspicture}\]
  on a, 
  \bgit
  \item $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ 
    sur $[-5;a]$ et sur $[b;c]$
  \item $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ 
    sur $[a;b]$ et sur $[c;5]$
  \enit
}

\bgprop{
\bgit
\item $\bgar[t]{ll}\mathcal{C}_f \text{ est au-dessous de } \mathcal{C}_g 
  &\iff f(x)\leqslant g(x) \\[.8em]
  &\iff f(x)-g(x)\leqslant0\\[.8em]
  &\iff d(x)=f(x)-g(x) \text{ négatif}\enar$

\bigskip
\item $\bgar[t]{ll}\mathcal{C}_f \text{ est au-dessous de } \mathcal{C}_g 
  &\iff f(x)\leqslant g(x) \\[.8em]
  &\iff f(x)-g(x)\leqslant0\\[.8em]
  &\iff d(x)=f(x)-g(x) \text{ négatif}\enar$
\enit

\bigskip
Ainsi, étudier la position relative des deux courbes 
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est équivalent  
à étudier le \textbf{signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$}.
}

\bgex
Soit $f(x)=3x^2-2x-2$ et 
$g(x)=6x-2$

\bgen[a)]
\item Représenter graphiquement les courbes 
  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}_g$ et étudier graphiquement 
  leur position relative. 
\item \'Etudier précisément, algébriquement, leur position relative. 
\enen
\enex

\bgex
M\^eme exercice avec les fonctions 
\bgen[a)]
\item $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-3x+1$
\item $f(x)=3x^2-4$ et $g(x)=x^2-x+2$. \\
  \textsl{(montrer pour cela que, pour tout réel $x$, on a 
  $(2x-3)(x+2)=2x^2+x-6$)}
\enen
\enex

\bgex
Résoudre les inéquations: 
$I_1: (2x+3)(x+2)<(2x+1)(2x+3)$ \ , \\[.4em]
$I_2: (-3x+1)<(-3x+1)(2x-5)$ \ , \ 
$I_3: (x+2)(2x-3)\geqslant (2x-3)$ \ , \ 
$I_4: \dfrac1{2x-3}<2$ \ , \ 
$I_5: \dfrac2{3x+2}\leqslant\dfrac3{2x+3}$ \\[.4em]
$I_6: \dfrac{x}{-2x+1}\geqslant\dfrac{2x}{-3x+1}$ \ , \ 
$I_7: 2\leqslant\dfrac{5x+1}{3x+1}$ \ , \ 
$I_8: \dfrac4{2x+2}-\dfrac3{3x+3}\geqslant1$
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

Télécharger le fichier source Latex