Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques 1�re STI2D: second degr� et polyn�mes},
pdftitle={Trin�me du second degr� - Polyn�mes},
pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, premi�re, STI, STI2D,
second degr�, 2nd degr�, polyn�me
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Propri�t�s}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Trin�me du second degr� - Polyn�mes}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE{} - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}
\newcommand{\Cnp}[2]{%
\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\vspace{-0.3cm}
\section{Trin�me du second degr�}
\subsection{Equations du second degr�}
\bgdef{
On appelle trin�me du second degr� toute expression de la forme
$ax^2+bx+c$, o� $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres r�els
quelconques, et $a\not=0$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} de trin�mes du second degr�:
\vspt
\begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{2.8cm}|p{2.cm}|}\hline
\rowcolor{lightgray}
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
Trin�mes & $a=$ & $b=$ & $c=$ \\[0.2cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$P(x)=3x^2+2x-5$
& $a=3$ & $b=2$ & $c=-5$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$Q(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\dfrac23$
& $a=\sqrt{2}$ & $b=-3$ & $c=\dfrac23$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$R(x)=-x^2+\dfrac52x$
& $a=-1$ & $b=\dfrac52$ & $c=0$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$S(x)=3x^2-\lp1-\sqrt{2}\rp x-\pi$
& $a=3$ & $b=-\lp1-\sqrt{2}\rp$ & $c=-\pi$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$T(x)=\dfrac65 x^2-3$
& $a=\dfrac65$ & $b=0$ & $c=-3$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$U(x)=(x-2)^2+3(x+3)$
& $a=\dots$ & $b=\dots$ & $c=\dots$
\\\hline
\end{tabular}
\bgdef{
On appelle {\bf\ul{discriminant}} du trin�me du second degr�
\quad $ax^2+bx+c$, not� $\Delta$, le nombre:
\[\Delta=b^2-4ac\].
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} de discriminant de trin�mes du second degr�:
\vspt
\begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{2.cm}|p{2.cm}|l|}
\hline
\rowcolor{lightgray}
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
Trin�mes & $a=$ & $b=$ & $c=$ & $\Delta=$ \\[0.2cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$P(x)=3x^2+2x-5$
& $a=3$ & $b=2$ & $c=-5$ & $\Delta=64$
\\[0.3cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$Q(x)=x^2+2x+1$
& $a=1$ & $b=2$ & $c=1$ & $\Delta=0$
\\[0.3cm]\hline
\rule[-0.4cm]{0.cm}{1cm}
$R(x)=x^2-\sqrt{2}x-5$
& $a=1$ & $b=\sqrt{2}$ & $c=-5$ & $\Delta=22$
\\\hline
\end{tabular}
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Si $\Delta>0$, l'�quation $ax^2+bx+c=0$
(avec $a\not=0$) admet deux solutions distinctes
(aussi appel�es {\bf\ul{racines}}):
\[
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\quad\text{ et }\quad
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\]
\item[$\bullet$] Si $\Delta=0$, l'�quation $ax^2+bx+c=0$
(avec $a\not=0$) admet une unique solution
(ou {\bf\ul{racines}}) double:
\[
x_0=\dfrac{-b}{2a}
\]
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, l'�quation $ax^2+bx+c=0$ n'admet
aucune solution r�elle.
\enit
}
\vspd
\bgex
D�terminer les solutions des �quations:
\vspt
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^2-2x+1=0$
&
b)\ $x^2-1=0$
&
c)\ $x^2+1=0$
\\[0.3cm]
d)\ $4x^2+8x-5=0$
&
e)\ $3x^2+x+6=0$
&
f)\ $\dfrac49 x^2+\dfrac23 x+\dfrac14=0$
\\[0.4cm]
g)\ $2x^2-x-4=x^2+8$
&
h)\ $x(x-1)=-2(3x+7)$
&
i)\ $2x^3+5x^2-3x=0$
\end{tabular}
\enex
\vspt
\subsection{Signe d'un trin�me du second degr�}
\bgprop{
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, ($a\not=0$).
Alors:
\bgit
\item[$\bullet$] Si $\Delta>0$, l'�quation $f(x)=0$ admet deux
solutions distinctes $x_1$ et $x_2$ et
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_1$ && $x_2$ && $+\infty$ \\\hline
\raisebox{-0.3cm}{$f(x)$}
&& Signe & \psline(0,0.4)(0,-0.9)\rput(0,-0.2){$0$}
& Signe & \psline(0,0.4)(0,-0.9)\rput(0,-0.2){$0$}
& Signe de & \\
&& de $a$ && de $-a$ && de $a$&
\\\hline
\end{tabular}
\]
\vspq
\item[$\bullet$] Si $\Delta=0$, l'�quation $f(x)=0$ admet
une unique solution $x_0$ et
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $x_0$ && $+\infty$ \\\hline
\raisebox{-0.3cm}{$f(x)$}
&& Signe & \psline(0,0.4)(0,-0.9)\rput(0,-0.2){$0$}
& Signe &\\
&& de $a$ && de $a$&
\\\hline
\end{tabular}
\]
\vspq
\item[$\bullet$] Si $\Delta<0$, le trin�me $f(x)$ n'a pas de racine
et
\[
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline
$f(x)$
&& Signe de $a$ &\\\hline
\end{tabular}
\]
\enit
}
\vspd
\bgex
Etudier le signe de:
\vspt
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $P(x)=x^2-2x+1$
&
b)\ $Q(x)=x^2-1$
&
c)\ $R(x)=x^2+1$
\\[0.3cm]
d)\ $S(x)=3x^2-5x+2$
&
e)\ $T(x)=2x^2+x+3$
&
f)\ $U(x)=\dfrac49 x^2+\dfrac23 x+\dfrac14$
\end{tabular}
\enex
\bgex
R�soudre les in�quations:
\vspt
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^2-2x+1>0$
&
b)\ $-3x^2+5x-2\leqslant 0$
&
c)\ $x^2-4x-4\geqslant 0$
\\[0.3cm]
d)\ $-2x^2+5x\leqslant 2$
&
e)\ $3x^2\geqslant 2x-1$
&
f)\ $x(2x-5)\geqslant x-6$
\end{tabular}
\enex
\bgex
R�soudre dans $\R$ les �quations:
\vspd
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x(2x-5)=x+6$
&
\multicolumn{2}{l}{b)\ $(2x-3)(2x+3)-(2x-1)(x+2)=0$}
\\[0.3cm]
c)\ $\dfrac{x-5}{5}=\dfrac{2}{x-2}$
&
d)\ $\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{3x-1}{x+3}$
&
e)\ $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x-9}=1$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Etudier le signe de:
\vspd
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $f(x)=2x^2+3x-9$
&
b)\ $g(x)=-x^2+x-3$
&
c)\ $h(x)=x-\dfrac{1}{x}$
\\[0.3cm]
d)\ $k(x)=x-3+\dfrac{2}{x}$
&
e)\ $l(x)=2x+\dfrac{4}{x-3}$
\end{tabular}
\enex
\bgex {\sl (Equations bicarr�es)}
En effectuant le changement de variable $X=x^2$, r�soudre les
�quations:
\vspd
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^4-13x^2+36=0$
&
b)\ $x^4-5x^2+4=0$
&
c)\ $9x^4-85x^2+196=0$
\\[0.3cm]
d)\ $x^4-x^2-2=0$
&
e)\ $x^2+\dfrac{1}{x^2}-6=0$
\end{tabular}
\enex
%\clearpage
\subsection{Exercices}
\bgex
D�terminer les points d'intersection (s'ils existent) de la
parabole $\mathcal{P}$ et
de la droite $\mathcal{D}$:
\noindent
a)\ \ $\mathcal{P}: y=x^2-3x+1$\quad et\quad $\mathcal{D}: y=-2x+1$
\qquad
b)\ \ $\mathcal{P}: y=\dfrac12 x^2+x-4$
\quad et\quad
$\mathcal{D}: y=3x-6$
\noindent
c)\ \ $\mathcal{P}: y=x^2-3x+1$\quad et\quad $\mathcal{D}: y=-2x+1$
\qquad
d)\ \ $\mathcal{P}: y=-x^2+x+2$
\quad et\quad
$\mathcal{D}: y=\dfrac12 x+\dfrac52$
\enex
\bgex
D�terminer la position relative des paraboles
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ :
\bgen[a)]
\item $\mathcal{P}: y=x^2-x+2$\quad et\quad $\mathcal{P}': y=-x^2+2x-6$
\item $\mathcal{P}: y=-2x^2-3x+2$
\quad et\quad
$\mathcal{P}': y=x^2+x+1$
\item $\mathcal{P}: y=2x^2-3x-4$\quad et\quad $\mathcal{P}': y=2x^2+6x+5$
\enen
\enex
\bgex
Soit $m$ un nombre r�el.
On consid�re l'�quation\quad
$4x^2+(m-1)x+1=0$.
\bgen[a)]
\item D�terminer $m$ pour que cette �quation admette une unique
solution. D�terminer cette solution.
\item Pr�ciser les cas, en fonction de $m$, o� cette �quation admet
deux solutions distinctes, et o� cette �quation n'admet aucune
solution.
\enen
\enex
\bgex
Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'�quation $y=\dfrac12 x^2$ et
$\mathcal{D}_m$ la droite d'�quation $y=x+m$.
\bgen[1.]
\item Tracer dans un rep�re orthogonal la parabole $\mathcal{P}$ et
les droites $\mathcal{D}_0$, $\mathcal{D}_{-2}$, $\mathcal{D}_2$ et
$\mathcal{D}_4$.
\item Pour quelles valeurs de $m$, la droite $\mathcal{D}_m$
coupe-t-elle $\mathcal{P}$ en deux points distincts $A_1$ et $A_2$ ?
\item Calculer, en fonction de $m$, les coordonn�es des points $A_1$
et $A_2$, puis du point $I_m$ milieu de $[A_1A_2]$.
Que peut-on dire des abscisses des points $I_m$ ?
En d�duire que $I_m$ appartient � une demi-droite que l'on
pr�cisera.
\enen
\enex
\bgex
Soit $P$ le trin�me d�fini par
$P(x)=3x^2+(a-1)x+(a+8)$, o� $a\in\R$.
\bgen[1.]
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $P$ admet-il une racine
double ?
Calculer cette racine.
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, le nombre 2 est-il racine de
$P$ ?
Calculer alors l'autre racine.
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $P$ n'a-t-il aucune racine
r�elle ?
\enen
\enex
\bgex
La vitesse moyenne d'un avion de tourisme est de 250 km/h.
Cet avion effectue le vol aller et retour Paris-Lyon.
La distance entre ces deux villes est de 400 km.
A l'aller, il b�n�ficie d'un vent favorable d'une vitesse de $x$
km/h.
Au retour, il est frein� par ce m�me vent, et met donc 40 minutes de
plus qu'� l'aller.
\bgen[1.]
\item Compte tenu du vent, quelle est la vitesse de l'avion �
l'aller ?
Quelle est la dur�e du trajet aller ?
\item Compte tenu du vent, quelle est la vitesse de l'avion au
retour ?\!
Quelle est la dur�e du trajet~retour ?
\item Ecrire une �quation reliant le temps aller et le temps retour.
\item R�soudre cette �quation et donner la vitesse du vent.
\enen
\enex
\bgex
Le p�rim�tre d'un rectangle mesure 12 cm.
\bgen
\item Soit $x$ la longueur, en cm, de ce rectangle.
Dans quel intervalle varie $x$ ?
\item Quelle est la mesure de la largeur en fonction de $x$ ?
\item Calculer l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
\item On souhaite que l'aire de ce rectangle soit sup�rieure � 5
cm$^2$.
Quelle in�quation doit-on r�soudre ?
R�soudre alors cette in�quation et en d�duire quelles dimensions
donner � la longueur.
\enen
\enex
%\bgex
%Trouver deux nombres sachant que leur diff�rence vaut 7 et leur
%produit vaut 60.
%\enex
\section{Polyn�me}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Un {\bf\ul{polyn�me}} est une expression de la forme:
\[
ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots+dx+e
\]
avec $a$, $b$ ,$c$, $d$ et $e$ des nombres r�els quelconques, et $n$
un entier naturel.
L'entier $n$ est le {\bf\ul{degr�}} du polyn�me.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
$\bullet$\ $P(x)=3x^4-2x^3+\dfrac12 x^2-\sqrt{2}x+3$ est un polyn�me
de degr� 4.
$\bullet$\ $Q(x)=5x^7-3x^2+4$ est un polyn�me de degr� 7.
$\bullet$\ $R(x)=x^2+x+1$ est un polyn�me (trin�me) de degr� 2.
\bgth{(Propri�t� fondamentale des polyn�mes)
Soit $P(x)$ un polyn�me de degr� $n$ et $a$ une racine de $P$
(c'es-�-dire que $P(a)=0$).
Alors, $P(x)$ se factorise par $(x-a)$:
il existe un polyn�me $Q(x)$ de degr� $n-1$ tel que
\[
P(x)=(x-a)Q(x)
\]
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit le polyn�me $P(x)=x^3-x^2-x-2$.
Montrer que $2$ est une racine de $P$, puis factoriser $P$.
D�terminer alors toutes les solutions de l'�quation $P(x)=0$.
\bgcorol{
Si le trin�me du second degr� $ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$
et $x_2$, alors il se factorise selon
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
}
\bgex
Factoriser les trin�mes
a)\ $P(x)=x^2-3x+2$
\quad
b)\ $Q(x)=2x^2+2x-4$
\quad
c)\ $R(x)=-3x^2-2x+1$
\enex
\bgex
Soit le polyn�me $P(x)=2x^3+5x^2+2x-1$.
Montrer que $-1$ est une racine de $P$ est factoriser $P$.
\enex
\bgex
Soit le polyn�me $P(x)=2x^3+7x^2+7x+2$.
Montrer que $-2$ est une racine de $P$, puis factoriser $P$.
D�terminer alors toutes les solutions de l'�quation $P(x)=0$, puis
dresser le tableau de signe de~$P(x)$.
\enex
\bgex{\it D�formation d'une poutre}
Une poutre de longueur 2 m�tres repose sur trois appuis simples $A$,
$B$ et $C$, l'appui $B$ �tant situ� au milieu de $[AC]$.
Elle supporte une charge uniform�ment r�partie de 1\,000 N.m$^{-1}$
(newtons par m�tre).
Sous l'action de cette charge, la poutre se d�forme.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(10,2.2)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch*](0.5,0)(10.5,0)(10.5,0.5)(0.5,0.5)
\multido{\i=1+1}{10}{
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(\i,2)(\i,0.5)
}
\pspolygon(0.2,-0.5)(0.8,-0.5)(0.5,0)\rput(0.5,-0.3){$A$}
\pspolygon(5.2,-0.5)(5.8,-0.5)(5.5,0)\rput(5.5,-0.3){$B$}
\pspolygon(10.2,-0.5)(10.8,-0.5)(10.5,0)\rput(10.5,-0.3){$C$}
\psarc[linewidth=1.4pt](3,10){10.25}{256}{284}
\psarc[linewidth=1.4pt](8,10){10.25}{256}{284}
\psline{<->}(0.5,-1)(8,-1)\rput(4.5,-0.8){$x_m$}
\psline[linestyle=dashed](8,-1)(8,-0.2)
\end{pspicture}
On d�montre que le point situ� entre $B$ et $C$ o� la d�formation (la
fl�che) est maximum, a une abscisse $x_m$ qui est solution de
l'�quation:
\[
32x^3-156x^2+240x-116=0\,.
\]
\bgen
\item V�rifier que $1$ est solution de cette �quation.
\item Factoriser alors l'�quation et la r�soudre.
\item En d�duire $x_m$, position de la section de poutre de fl�che
maximum entre les points $B$ et $C$.
\enen
\enex
\end{document}
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