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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques 1ère STI2D - Second degré et polynômes
Niveau
Première STI2D
Mots clé
second degré, trinôme du second degré, polynôme, équation du second degré, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices mathmatiques 1re STI2D: second degr et polynmes},
    pdftitle={Exercices - Trinme du second degr - Polynmes},
    pdfkeywords={Mathmatiques, 1STI, premire, STI, STI2D, 
      second degr, 2nd degr, polynme
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\textwidth=18cm
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\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Proprits}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
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\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Dfinition\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercices - Second degr - Polynmes}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{$1^{\text{re}}$STI2D\ - \TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}

\newcommand{\Cnp}[2]{%
  \mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}STI2D$


\bgex
Dterminer les solutions des quations: 
\vspd

\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^2-2x+1=0$ 
&
b)\ $x^2-1=0$
&
c)\ $x^2+1=0$
\\[0.1cm]
d)\ $4x^2+8x-5=0$
&
e)\ $3x^2+x+6=0$
&
f)\ $\dfrac49 x^2+\dfrac23 x+\dfrac14=0$
\\[0.3cm]
g)\ $2x^2-x-4=x^2+8$
&
h)\ $x(x-1)=-2(3x+7)$
&
i)\ $2x^3+5x^2-3x=0$
\end{tabular}
\enex


\bgex
Etudier le signe de:
\vsp

\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $P(x)=x^2-2x+1$ 
&
b)\ $Q(x)=x^2-1$
&
c)\ $R(x)=x^2+1$
\\[0.1cm]
d)\ $S(x)=3x^2-5x+2$
&
e)\ $T(x)=2x^2+x+3$
&
f)\ $U(x)=\dfrac49 x^2+\dfrac23 x+\dfrac14$
\end{tabular}
\enex


\bgex
Rsoudre les inquations: 
\vsp

\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^2-2x+1>0$ 
&
b)\ $-3x^2+5x-2\leqslant 0$
&
c)\ $x^2-4x-4\geqslant 0$
\\[0.1cm]
d)\ $-2x^2+5x\leqslant 2$
&
e)\ $3x^2\geqslant 2x-1$
&
f)\ $x(2x-5)\geqslant x-6$
\end{tabular}
\enex


\bgex
Rsoudre dans $\R$ les quations: 

\vsp
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x(2x-5)=x+6$
&
\multicolumn{2}{l}{b)\ $(2x-3)(2x+3)-(2x-1)(x+2)=0$}
\\[0.1cm]
c)\ $\dfrac{x-5}{5}=\dfrac{2}{x-2}$
&
d)\ $\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{3x-1}{x+3}$
&
e)\ $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x-9}=1$
\end{tabular}
\enex


\bgex
Etudier le signe de: 

\vsp
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $f(x)=2x^2+3x-9$
&
b)\ $g(x)=-x^2+x-3$
&
c)\ $h(x)=x-\dfrac{1}{x}$
\\[0.1cm]
d)\ $k(x)=x-3+\dfrac{2}{x}$
&
e)\ $l(x)=2x+\dfrac{4}{x-3}$
\end{tabular}
\enex


\bgex {\sl (Equations bicarres)} 

En effectuant le changement de variable $X=x^2$, rsoudre les
quations: 

\vsp
\begin{tabular}{*3{p{5cm}}}
a)\ $x^4-13x^2+36=0$
&
b)\ $x^4-5x^2+4=0$
&
c)\ $9x^4-85x^2+196=0$
\\[0.1cm]
d)\ $x^4-x^2-2=0$
&
e)\ $x^2+\dfrac{1}{x^2}-6=0$
\end{tabular}
\enex


\bgex
Dterminer les points d'intersection (s'ils existent) de la 
parabole $\mathcal{P}$ et
de la droite $\mathcal{D}$: 
a)\ \ $\mathcal{P}: y=x^2-3x+1$\quad et\quad $\mathcal{D}: y=-2x+1$
\qquad
b)\ \  $\mathcal{P}: y=\dfrac12 x^2+x-4$
  \quad et\quad 
  $\mathcal{D}: y=3x-6$

\noindent
c)\ \ $\mathcal{P}: y=x^2-3x+1$\quad et\quad $\mathcal{D}: y=-2x+1$
\qquad
d)\ \ $\mathcal{P}: y=-x^2+x+2$
  \quad et\quad 
  $\mathcal{D}: y=\dfrac12 x+\dfrac52$
\enex

\vspace{-0.2cm}
\bgex
Dterminer la position relative des paraboles 
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ : 
\bgen[a)]
\item $\mathcal{P}: y=x^2-x+2$\quad et\quad $\mathcal{P}': y=-x^2+2x-6$
\item $\mathcal{P}: y=-2x^2-3x+2$
  \quad et\quad 
  $\mathcal{P}': y=x^2+x+1$
\item $\mathcal{P}: y=2x^2-3x-4$\quad et\quad $\mathcal{P}': y=2x^2+6x+5$
\enen
\enex


\vspace{-0.2cm}
\bgex
Soit $m$ un nombre rel. 
On considre l'quation\quad
$4x^2+(m-1)x+1=0$. 

\bgen[a)]
\item Dterminer $m$ pour que cette quation admette une unique
  solution. Dterminer cette solution. 
\item Prciser les cas, en fonction de $m$, o cette quation admet
  deux solutions distinctes, et o cette quation n'admet aucune
  solution. 
\enen
\enex

\vspace{-0.4cm}
\bgex
Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'quation $y=\dfrac12 x^2$ et 
$\mathcal{D}_m$ la droite d'quation $y=x+m$. 

\bgen[1.]
\item Tracer dans un repre orthogonal la parabole $\mathcal{P}$ et
  les droites $\mathcal{D}_0$, $\mathcal{D}_{-2}$, $\mathcal{D}_2$ et
  $\mathcal{D}_4$. 
\item Pour quelles valeurs de $m$, la droite $\mathcal{D}_m$
  coupe-t-elle $\mathcal{P}$ en deux points distincts $A_1$ et $A_2$ ? 
\item Calculer, en fonction de $m$, les coordonnes des points $A_1$
  et $A_2$, puis du point $I_m$ milieu de $[A_1A_2]$. 

  Que peut-on dire des abscisses des points $I_m$ ? 

  En dduire que $I_m$ appartient  une demi-droite que l'on
  prcisera. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $P$ le trinme dfini par 
$P(x)=3x^2+(a-1)x+(a+8)$, o $a\in\R$. 

\bgen[1.]
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $P$ admet-il une racine 
  double ?  
  Calculer cette racine.

\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, le nombre 2 est-il racine de
  $P$ ?
  Calculer alors l'autre racine. 

\item Pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $P$ n'a-t-il aucune racine
  relle ?
\enen
\enex


\bgex
La vitesse moyenne d'un avion de tourisme est de 250 km/h. 
Cet avion effectue le vol aller et retour Paris-Lyon. 
La distance entre ces deux villes est de 400 km. 

A l'aller, il bnficie d'un vent favorable d'une vitesse de $x$
km/h. 
Au retour, il est frein par ce mme vent, et met donc 40 minutes de
plus qu' l'aller. 

\bgen[1.]
\item Compte tenu du vent, quelle est la vitesse de l'avion  
  l'aller ? 
  Quelle est la dure du trajet aller ? 

\item Compte tenu du vent, quelle est la vitesse de l'avion au  
  retour ?\! 
  Quelle est la dure du trajet~retour ? 

\item Ecrire une quation reliant le temps aller et le temps retour. 
\item Rsoudre cette quation et donner la vitesse du vent. 
\enen
\enex

\bgex
Le primtre d'un rectangle mesure 12 cm. 

\bgen
\item Soit $x$ la longueur, en cm, de ce rectangle. 
  Dans quel intervalle varie $x$ ? 
\item Quelle est la mesure de la largeur en fonction de $x$ ? 
\item Calculer l'aire de ce rectangle en fonction de $x$. 
\item On souhaite que l'aire de ce rectangle soit suprieure  5
  cm$^2$. 

  Quelle inquation doit-on rsoudre ? 

  Rsoudre alors cette inquation et en dduire quelles dimensions
  donner  la longueur. 
\enen
\enex


%\bgex
%Trouver deux nombres sachant que leur diffrence vaut 7 et leur
%produit vaut 60. 
%\enex

\bgex
Factoriser les trinmes: 

a)\ $P(x)=x^2-3x+2$
\quad
b)\ $Q(x)=2x^2+2x-4$
\quad
c)\ $R(x)=-3x^2-2x+1$
\enex


\bgex
Soit le polynme $P(x)=2x^3+5x^2+2x-1$. 

Montrer que $-1$ est une racine de $P$ est factoriser $P$. 
\enex


\bgex
Soit le polynme $P(x)=2x^3+7x^2+7x+2$. 

Montrer que $-2$ est une racine de $P$, puis factoriser $P$. 

Dterminer alors toutes les solutions de l'quation $P(x)=0$, puis
dresser le tableau de signe de~$P(x)$. 
\enex

\bgex{\it Dformation d'une poutre} 

Une poutre de longueur 2 mtres repose sur trois appuis simples $A$,
$B$ et $C$, l'appui $B$ tant situ au milieu de $[AC]$. 

Elle supporte une charge uniformment rpartie de 1\,000 N.m$^{-1}$ 
(newtons par mtre). 
Sous l'action de cette charge, la poutre se dforme. 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(10,2.2)
  \pspolygon[fillstyle=crosshatch*](0.5,0)(10.5,0)(10.5,0.5)(0.5,0.5)
  \multido{\i=1+1}{10}{
    \psline[linewidth=1.4pt]{->}(\i,2)(\i,0.5)
  }
  \pspolygon(0.2,-0.5)(0.8,-0.5)(0.5,0)\rput(0.5,-0.3){$A$}
  \pspolygon(5.2,-0.5)(5.8,-0.5)(5.5,0)\rput(5.5,-0.3){$B$}
  \pspolygon(10.2,-0.5)(10.8,-0.5)(10.5,0)\rput(10.5,-0.3){$C$}

  \psarc[linewidth=1.4pt](3,10){10.25}{256}{284}
  \psarc[linewidth=1.4pt](8,10){10.25}{256}{284}
  \psline{<->}(0.5,-1)(8,-1)\rput(4.5,-0.8){$x_m$}
  \psline[linestyle=dashed](8,-1)(8,-0.2)
\end{pspicture}

On dmontre que le point situ entre $B$ et $C$ o la dformation (la
flche) est maximum, a une abscisse $x_m$ qui est solution de
l'quation: 
\[
32x^3-156x^2+240x-116=0\,.
\]

\bgen
\item Vrifier que $1$ est solution de cette quation. 
\item Factoriser alors l'quation et la rsoudre. 
\item En dduire $x_m$, position de la section de poutre de flche
  maximum entre les points $B$ et $C$. 
\enen

\enex


\end{document}

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