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Description
Cours de mathématiques 1ère STI2D - dérivée et étude de fonction
Niveau
Première STI2D
Table des matières
  • Rappel sur les fonctions
    • Courbe représentative d'une fonction
    • Fonctions de référence
      • Fonctions affines
      • Fonction carré
      • Fonction cube
      • Fonction inverse
      • Fonction racine carrée
      • Fonction valeur absolue
  • Nombre dérivé en un point d'une fonction
  • Fonction dérivée
    • Tableaux de dérivées: fonctions de référence et opérations sur les dérivées
  • Application de la dérivation
    • Sens de variation d'une fonction
    • Extrema d'une fonction
    • Résolution d'équations
Mots clé
dérivée, dérivation, étude de fonction, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques 1ère STI2D: Calcul différentiel},
    pdftitle={Calcul différentiel - Dérivation des fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, première, STI, STI2D, 
      second degré, 2nd degré, polynôme
    }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \ }
  \noindent
  \paragraph{Définition}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp
}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp
}

\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
}


\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf Dérivation des fonctions}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$
\vspace{0.4cm}

\vspace{-0.3cm}

\section{Rappel sur les fonctions}

\subsection{Courbe représentative d'une fonction}

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble des points
$M(x;f(x))$, où $x$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. 

\bgmp{8cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.4)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.1){\footnotesize $x$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$y=f(x)$}}
  \rput(2.1,0.8){\footnotesize $M(x;y)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
\[M(x;y) \in \mathcal{C}_f \ \mbox{ si et seulement si } \ y=f(x)
\]
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Ex:} Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x-1$. 

Un point $M(x;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y=f(x)$, 
c'est-à-dire si $y=f(x)=2x-1$. 

$\mathcal{C}_f$ est donc la droite d'équation $y=2x-1$. 

%\vspd\noindent
\bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=2x^2-3x+2$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ 
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$  \ ;\ 
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .

\vsp
Placer ces points dans un repère et tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex


\subsection{Fonctions de références (ou usuelles)}

\subsubsection{Fonctions affines}

Une fonction affine est une fonction dont l'expression est de la forme 
$f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 

La courbe représentative de la fonction affine $f(x)=ax+b$ est 
l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $y=f(x)$, soit $y=ax+b$, 
c'est-à-dire la droite d'équation $y=ax+b$. 

Le coefficient $a$ est le coefficient directeur de la droite, $b$ son
ordonnée à l'origine. 

\subsubsection{Fonction carré}

La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par: 

\hspace{4cm}\fbox{$f(x)=x^2$}

%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$  && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2)(2.5,3.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,1)\rput(-2,-0.3){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,1)(1,1)\rput(-1,-0.3){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)\rput(1,-0.3){$1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,4)(2,4)\rput(2,-0.3){$2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,4)
  \rput(-0.2,1.2){$1$}
  \rput(-0.2,3.8){$4$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsubsection{Fonction cube}

La fonction cube est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par
\fbox{$f(x)=x^3$}. 

\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&\Large{$\nearrow$}&\\
$f$  &&&$0$&& \\
&&\Large{$\nearrow$}&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& $-8$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(2.5,4.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-9)(0,9)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-2.1}{2.1}{x x mul x mul}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(-2,0)\rput(-2,0.5){$-2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-8)(0,-8)\rput(0.3,-8){$-8$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,0)\rput(-1,0.5){$-1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)\rput(0.3,-1){$-1$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)\rput(1,-0.5){$1$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)\rput(-0.3,1){$1$}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,8)\rput(2,-0.5){$2$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,8)(0,8)\rput(-0.3,8){$8$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsubsection{Fonction inverse}

La fonction inverse est la fonction $f$ définie pour $x$ réel 
\ul{non nul} par \fbox{$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$}. 

\psset{unit=1cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
&&&&&\\
$f$  && \Large{$\searrow$} &
\psline(-0.05,-0.7)(-0.05,0.9)
\psline(0.05,-0.7)(0.05,0.9)
& \Large{$\nearrow$}& \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{6cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
  $x$ & $-2$ & -$1$ & -$0.5$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ \\\hline
  $f(x)$& -$0.5$ & -$1$ & -$2$ &$0$ & $2$ & $1$ & $8$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}%\vspace{3cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,2.2)(2.5,2.2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3.2,0)(2.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,3)\rput(-0.1,-0.2){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{-3}{-0.33}{1 x div}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0.33}{2.5}{1 x div}

  \multido{\i=-2+1}{5}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
    \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
  }

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-2,-0.5)(0,-0.5)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,0)(-1,-1)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-1,-1)(0,-1)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,-2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-0.5,-2)(0,-2)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,0.5)(0,0.5)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(0,1)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,2)(0,2)

  \rput(-2,0.3){-$2$}\rput(-1.1,0.3){-$1$}\rput(-0.4,0.4){-$0.5$}
  \rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(0.4,-0.4){$0.5$}
  \rput(0.3,-2){-$2$}\rput(0.3,-1){-$1$}
  \rput(-0.3,2){$2$}\rput(-0.3,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspq
\subsubsection{Fonction racine carrée}

La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel
\ul{positif} par: 

\fbox{$f(x)=\sqrt{x}$}
%\vspace{-1.6cm}
\bgmp[t]{5cm}
\ct{Tableau de variations}\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$  &&  \Large{$\nearrow$}& \\
&$0$&&\\\hline
\end{tabular}
}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{7cm}
\ct{Tableau de valeurs}\vspd
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
  $x$ & $0$ & $0.5$ & $1$ & $2$ & $4$ & $9$ \\\hline
  $f(x)$& $0$ & $\simeq0.7$ & $1$ & $2$ & $\simeq1,4$ & $3$ \\\hline
\end{tabular}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0.5,-0.5)(2.5,5.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,0)(9.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,4.5)\rput(-0.1,-0.3){$0$}
  \psplot[linewidth=1.2pt]{0}{9.5}{x sqrt}

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1,1)(1,0)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)
 
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,0.707)(0.5,0.707)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.707)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.414)(2,1.414)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](2,1.414)(2,0)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,2)(4,2)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](4,2)(4,0)

  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,3)(9,3)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](9,3)(9,0)

  \rput(-0.2,1){$1$}\rput(-0.2,2){$2$}\rput(-0.2,3){$3$}
  \rput(1,-0.3){$1$}\rput(2,-0.3){$2$}\rput(4,-0.3){$4$}
  \rput(9,-0.3){$9$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsection{Fonction valeur absolue}

\bgdef{
  Soit $x$ un nombre réel; on appelle {\bf valeur absolue} de $x$, 
  notée $|x|$ le nombre: 
  \[
  |x|=\la\bgar{cll}
  x  &\text{ si } & x\geqslant 0 \\[0.3cm]
  -x &\text{ si } & x\leqslant 0 \\[0.3cm]
  \enar\right.
  \]
}

\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
$|3|=3$ 
\ ; \ $|-3|=-(-3)=3$ 
\ ;\ 
$|x-2|=
\la\bgar{clll}
  x-2  &\text{ si } & x-2\geqslant 0 &\iff x\geqslant 2\\[0.3cm]
  -(x-2)=-x+2 &\text{ si } & x-2\leqslant 0 &\iff x\leqslant 2\\[0.3cm]
  \enar\right.
$ 


\bgdef{
  La fonction valeur absolue est la fonction définie sur $\R$ par 
  l'expression $f(x)=|x|$. 
}

\noindent
\bgmp{8cm}
\paragraph{Courbe représentative de la fonction valeur absolue}
\ \\ 

Si $x\geqslant 0$, $f(x)=|x|=x$, et 
si $x\leqslant 0$, $f(x)=|x|=-x$. 

Ainsi, sur $]-\infty;0]$, $\mathcal{C}_f$ est la demi-droite d'équation $y=-x$,
tandis que sur $[0;+\infty[$, $\mathcal{C}_f$ est la demi-droite d'équation $y=x$. 
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(4,5)
  \psline{->}(-4.2,0)(4.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,4.6)
  \multido{\i=-4+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.3){$\i$}
    \psline[linestyle=dashed](\i,0)(\i,-\i)(0,-\i)
  }
  \multido{\i=1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.3){$\i$}
    \psline[linestyle=dashed](\i,0)(\i,\i)(0,\i)
  }
  \multido{\i=1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-4.2}{0}{-1 x mul}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{4.2}{x}
  \rput(4.5,4.){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x)=|x-2|$. 
\enex

\bgex
Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=\dfrac12 x-1$, et $v$
la fonction définie sur $\R$ par $v(x)=|u(x)|$.  

\vspd
Représenter graphiquement $u$ et $v$. 
\enex


\bgex
Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$
par $f(x)=\sqrt{|x|}$. 
\enex


\noindent
\bgmp{8cm}
\bgex
Le graphique suivant donne la courbe représentative d'une fonction $f$
définie sur $[-3;4]$. 

\vspq
Tracer sur le même graphique la courbe représentative de la fonction
$g$ définie par $g(x)=|f(x)|$. 
\enex
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(4,5)
  \psline{->}(-4.2,0)(4.2,0)
  \psline{->}(0,-2.2)(0,4.6)
  \multido{\i=-4+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.3){$\i$}
    %\psline[linestyle=dashed](\i,0)(\i,-\i)(0,-\i)
  }
  \multido{\i=1+1}{4}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.3){$\i$}
    %\psline[linestyle=dashed](\i,0)(\i,\i)(0,\i)
  }
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{4}{x 2 sub 180 mul 3.14 div cos x 2
    sub mul}
  \rput(-2.4,2.6){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Soit $f$ une fonction dont on donne le tableau de variation: 

\[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
  $x$ & -1 && 0 && 2 && 5\\\hline
  &&&1&&&&7\\
  $f(x)$ &&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&& \Large{$\nearrow$}& \\
  &-2&&&&-3&&\\\hline
\end{tabular}
\]

On sait de plus que $f$ s'annule en $-0,3$, en $1$ et en $4,2$. 

\vspd
Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ définie par 
$g(x)=|f(x)|$. 

\enex



\section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction}

\noindent
\bgmp{9.cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction carré (définie par $f(x)=x^2$), 
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 

On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses
respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. 

\bgen
\item Tracer sur une figure $\mathcal{C}_f$ et placer les points $A$, 
  $M_1$, $M_2$, $M_3$. 
\item Calculer les coefficients directeurs des droites 
  $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. 

\item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse
  $1+h$. 

  Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite
  $(AM)$.  

\item Compléter le tableau: 

  \[\hspace*{-1cm}
  \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
    $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
    $m_h$ &&&&&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]

\item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ?
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1.,-2.5)(4,20)
  \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0)
  \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6)
  \multido{\i=0+1}{5}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
    \rput(\i,-0.5){$\i$}
  }
  \multido{\i=-4+2}{12}{
    \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-1.5}{4.5}{x 2 exp}
  \rput(-1.6,1.4){$\mathcal{C}_f$}
  %
  \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$}
  %
  \rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$}
  \psplot{-1}{5}{x 5 mul 4 sub}
  %
  \rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$}
  \psplot{-1}{5}{x 4 mul 3 sub}
  %
  \rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$}
  \psplot{-1}{5}{x 3 mul 2 sub}
\end{pspicture}
\enmp


\bgdef{
  $\bullet$\ 
  On appelle nombre dérivé en $a$ la limite, lorsqu'elle existe, de 
  \[
  \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 
  \]
  quand $h$ se rapproche, ou tend vers, $0$. 
  On note ce nombre, lorqu'il existe, $f'(a)$. 

  \vspd
  $\bullet$\ Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
  la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. 
}

\[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(2,1.9)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.3,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{2}{x -0.5 add}
  \psline{->}(1.2,0.7)(1.5,0.7)\rput(1.3,.6){$1$}
  \psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)\rput[l](1.54,.8){$f'(a)$}
  
  %
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
  \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
  \rput(1.3,1.3){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\]

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac12 x^2-3$. 

\bgen
\item Tracer dans un repère orthogonal $\mathcal{C}_f$ et sa tangente au point
  d'abscisse $a=1$. 

  Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. 

\item 
  \bgen[a)]
  \item Pour $h>0$, on pose $m_h=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. 
    
    Compléter le tableau: 
    \[\hspace*{-1cm}
    \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline
      $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline
      $m_h$ &&&&&& \\\hline
    \end{tabular}
    \]

    Vers quoi tend le nombre $a_h$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ? 

  \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression
    de $m_h$ et de celle de $f$. 
  \enen
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{7cm}
\vspace{-4.5cm}
\bgex
$\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. 

$T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points
d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. 

\vspt
Déterminer $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$. 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4)(4,5)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-3.6)(0,4.8)
  \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  }
  \multido{\i=-3+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(5.6,3.4){$\mathcal{C}_f$}
  %
  \psplot{-4.5}{5.4}{-1}\rput(-4.6,-0.8){$T_2$}
  \psplot{-4}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.6,-3.6){$T_1$}
  \psplot{-0.8}{5.1}{x -3 add}\rput(-1,-3.6){$T_3$}
\end{pspicture}
\enmp



\section{Fonction dérivée}


\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  $\bullet$ On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ admet un
  nombre dérivé en tout point de $I$, 
  c'est-à-dire si pour tout $a\in I$, $f'(a)$ existe.

  \vspd
  $\bullet$\ On appelle {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction notée $f'$
  qui, à tout $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$. 
}

\clearpage
\ct{\Large\ul{Dérivées des fonctions usuelles}}
%\vspq


\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction $f$} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
  \bgmp{2.4cm}
  $f$ est définie sur 
  \enmp 
}&
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{
  \bgmp{2.65cm}
  $f$ est dérivable sur 
  \enmp 
}
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=k$ (constante)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=0$} & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline 

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=x$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=1$}  & 
\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=ax$, $a\in\R$} & 
%\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=a$} &
%\multicolumn{2}{c|}{$\R$} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^2$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=2x$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^n$\ \ ($n\in\N$)} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=nx^{n-1}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R$}} \\\hline

\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\dfrac{1}{x}$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$} & 
\multicolumn{2}{c|}{
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$\R^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$}} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f(x)=\sqrt{x}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+=[0;+\infty[$} & 
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\R_+^*=]0;+\infty[$} 
\\\hline

\end{tabular}
\end{center}

\vspq
\ct{\Large\ul{Opérations sur les dérivées}}
\vspd

\noindent
$u$ et $v$ désignent deux fonctions quelconques, définies et
dérivables sur un intervalle $I$. 

%\vspd
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
\tabularnewline\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $k\in\R$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} 
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}  
\\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}  
\\\hline

\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}  
\\\hline 

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^2$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$2u'u$} \\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$u^n$ ($n\in\N$)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$nu'u^{n-1}$} \\\hline

\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{u}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp -\frac{u'}{u^2}$} \\\hline

$\sqrt{u}$ & $\dsp\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ \\\hline

\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u(v(x))$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$v'(x)\tm u'(v(x))$}
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}


\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3$
  &b) $f(x)=3x$ 
  &c) $f(x)=\dfrac52 x$
  &d) $f(x)=x^2$
  \\[0.4cm]
  e) $f(x)=x^7$ 
  &f) $f(x)=2x^3$
  &g) $f(x)=3x+2$
  &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$
  \\[0.4cm]
  i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$
  &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$
  &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$
  &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$
  \\[0.4cm]
  m) $f(x)=2x^5+\sqrt{x}$ 
  &n) $f(x)=(3x+2)x^2$
  &o) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
  &p) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$

\end{tabular}
\enex


\section{Applications de la dérivation}

\subsection{Sens de variation d'une fonction}

\noindent
\bgmp{8cm}
On a vu que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de
la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$; 
ainsi 

\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item si $f'(a)>0$, la tangente est une droite strictement croissante,
  et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 

\vspd
\item si $f'(a)<0$, la tangente est une droite strictement décroissante,
  et il en est de même de $f$ "au voisinage" de $a$ 
\enen
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.)(4,5.3)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-4.5,0)(5.5,0)
  \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-2.2)(0,5.2)
  %\multido{\i=-4+1}{10}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,4.2)
  %}
  %\multido{\i=-3+1}{8}{
  %  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(5.2,\i)
  %}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add}
  \rput(4.8,3.4){$\mathcal{C}_f$}
  %
  \psplot{-4}{-0.5}{-2 x mul -3 add}
  \psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,3)%(0,3)
  \rput(-3,-0.3){$a$}\rput(-1.7,3){$f'(a)<0$}
  %
  \psplot{-3.5}{3.4}{-1}
  \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
  \rput(1,0.2){$a$}\rput(1,-1.3){$f'(a)=0$}
  %
  \psplot{1.8}{6.1}{1.5 x mul -19 4 div add}
  \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.25)
  \rput(4,-0.3){$a$}\rput(5.2,1.3){$f'(a)>0$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgth{
  Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
  \bgen[$\bullet$]
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement
    croissante sur $I$. 
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement
    décroissante sur $I$. 
  \item Si pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur
    $I$. 
  \enen
}

\bgex
Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice précédent
de a) à l)
et des fonctions suivantes: 

\noindent
\begin{tabular}{llll}
  q) $f(x)=2x^2+4x-3$ 
  &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$
  &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
  &t) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{\lp x+1\rp^2}$
  \\
  t) $f(x)=-x^3+6x^2-1$

\end{tabular}
\enex

\subsection{Extrema d'une fonction}


\bgdef{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  $\bullet$ Un {\bf extremum} est un minimum ou un maximum. 

  \vsp
  $\bullet$ $f$ présente un {\bf maximum local} $m=f(x_0)$ si il
  existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
  $f(x)\leqslant f(x_0)$.  

  \vsp
  $\bullet$ $f$ présente un {\bf minimum local} $m=f(x_0)$ si il
  existe un intervalle $J\subset I$ tel que pour tout $x\in J$,
  $f(x)\geqslant f(x_0)$.  

  \vsp
  $\bullet$ L'extremum est dit {\bf global} lorsque $J=I$.
}

\bgth{
  Si $f(x_0)$ est un extremum local sur l'intervalle $]a;b[$, 
  alors $f'(x_0)=0$. 

  La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ admet une tangente
  horizontale au point $\lp x_0\ ;\ f\lp x_0\rp \rp$.
}


\vspd\noindent
\ul{Remarque:} 
Ce théorème dit que:\ \ 
$f(x_0)$ extremum local $\Longrightarrow$ $f'(x_0)=0$. 


La réciproque: \ \ 
$f'(x_0)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x_0)$ extremum local est FAUSSE. 

\vspd
Par exemple, soit $f(x)=x^3$. 
Alors $f'(x)=3x^2$ et $f'(x)=0\iff x=0$. 
Ainsi, $f'(0)=0$. 
Néanmoins $f(0)$ n'est ni un minimum ni un maximum  local de $f$ car 
pour $x<0$, $f(x)=x^3<0=f(0)$ et pour $x>0$, $f(x)=x^3>0=f(0)$. 

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=-x^3+6x^2-10$. 

\vsp
Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. 

Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. 
Est-ce un minimum ou un maximum ?
\enex

\noindent
\bgmp{13.3cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline 
  &&& 4 &&\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\
  & $-1$ && && 3  \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. 

On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: 

\vspd
Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. 
\enex
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline 
  &&& $0$ && && $3$\\
  $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && 
  \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&&
  \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5)
  $0$&\\
  & $-7$ && && $-1$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la
vitesse $v$, 
pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, 
par l'expression 
\[
C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ .
\]

A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale
? 

\enex


\subsection{Résolution d'équations}

\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires} 

  Soit $k$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle
  $[a;b]$ telle que 

  \bgen[$\bullet$]
  \item $f$ est dérivable sur $[a;b]$ 
  \item $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$ 
  \item $f(a)<k<f(b)$ ou $f(a)>k>f(b)$ 
  \enen

  alors, il existe un unique $\alpha\in]a;b[$ tel que $f(\alpha)=k$. 
}

\bgex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le
tableau de variation est le suivant: 
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline 
  &&& 4 &&&& 10\\
  $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} &&
  \Large{${\nearrow}$} & \\
  & 1 && && -3 && \\\hline
\end{tabular}
\]

Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle elles se situent,
de l'équation 

a) $f(x)=0$ \hspace{2cm}
b) $f(x)=2$ \hspace{2cm}
c) $f(x)=-5$
\enex

\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+x+1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur
$[-3;2]$. 

Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. 
\enex


\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3-3x-1$. 

Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions,
respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$,  $]-1;1[$ et $]1;2[$. 

Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces
solutions.  
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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