@ccueil Colles

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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir sur le second degré: résolution d'équations et inéquations, tableaux de signes, intersection de courbes et position relative de courbes
Niveau
Première STI2D
Mots clé
second degré, 2nd degré, équation du second degré, inéquation du second degré, tableaux de signe, intersection de courbes, position relative de courbe, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: second degré, algorithme},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: second degré, algorithme},
    pdfkeywords={second degré, équation du second degré, 
      inéquation du second degré, algorithme, STI2D, 
      STI, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgen
\item $x^2+24x+20=-5x^2+x-1\iff 6x^2+23x+21=0$: 
  $\Delta=25>0$, l'\'equation admet donc deux solutions distinctes: 

  $x_1=\dfrac{-23-\sqrt{25}}{2\tm6}=\dfrac{-28}{12}=-\dfrac{7}{3}$
  et 
  $x_2=\dfrac{-23+\sqrt{25}}{2\tm6}=\dfrac{-18}{12}=-\dfrac{3}{2}$. 
  \quad
  \fbox{$\mathcal{S}=\la -\dfrac73\ ;\ -\dfrac32\ra$}.

\item 
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
$g(x)=\dfrac{x^2-x-20}{2x+3}$. 

  Le trin\^ome du second degr\'e du num\'erateur a pour discriminant: 
  $\Delta=81>0$ et admet donc deux racines: 
  $x_1=-4$ et $x_2=5$. 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-4$ && $-\dfrac32$ && $5$ && $+\infty$ \\\hline
    $x^2-x-20$ && $+$ &\zb&$-$ &$|$& $-$&\zb&$+$ & \\\hline
    $2x+3$ && $-$ &$|$&$-$&\zb&$+$&$|$& $+$ & \\\hline
    $g(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\psline(0,.5)(0,-.2)\,\psline(0,.5)(0,-.2)
    &$-$&\zb& $+$ & \\\hline
  \end{tabular}  
  \]
\enen
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

\enex

\bgex 
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection, alors 
$y=f(x)=g(x)$, 
et donc, $x-1-\dfrac{2}{x}=0\iff \dfrac{x^2-x-2}{x}=0
  \iff x\not=0 \text{ et } x^2-x-2=0$: 
  $\Delta=9$, l'\'equation admet donc deux solutions distinctes: 
  
  $x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=-1$
  et 
  $x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2$. 
  \quad

  Il y a donc deux points d'intersection: 
  $M_1(-1;-2)$ et $M_2(2;1)$. 
\enex

\bgex
Soit $h(x)=f(x)-g(x)=2x-7-\dfrac{15}{x+3}=\dfrac{(2x-7)(x+3)-15}{x+3}
  =\dfrac{2x^2-x-36}{x+3}$. \\
  Le trin\^ome du second degr\'e du num\'erateur a pour discriminant: 
  $\Delta=289=17^2>0$ et admet donc deux racines: 
  $x_1=-4$ et $x_2=\dfrac92$. 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-4$ && $-3$ && $\frac92$ && $+\infty$ \\\hline
    $2x^2-x-6$ && $+$ &\zb&$-$ &\zb& $-$&\zb&$+$ & \\\hline
    $x+3$ && $-$ &$|$&$-$&\zb&$+$&$|$& $+$ & \\\hline
    $h(x)$ && $-$ &\zb&$+$ &\psline(0,.5)(0,-.2)\,\psline(0,.5)(0,-.2)
    & $-$ & \zb&$+$&\\\hline
  \end{tabular}  
  \]
Ainsi, 
$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ 
sur $]-\infty;-4[\cup]-3;\frac92[$ 
et est au-dessus sur 
$]-4;-3[\cup]\frac92;+\infty[$. 
\enex

\bgex
La variable $N$ vaut donc initialement 4. \\
La boucle va donc faire varier $I$ de 1 \`a 4. \\
\bgit
\item Pour $I=1$, on affecte la valeur 
$5\tm0+1=1$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=2$, on affecte la valeur 
  $5\tm1+2=7$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=3$, on affecte la valeur 
  $5\tm7+3=38$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=4$, on affecte la valeur 
  $5\tm38+4=194$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 
\enit

L'algorithme affiche donc, successivement: 
"Choisir un nombre", 
"1", "7", "38", "194", 
"R\'esultat final", "194"

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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