Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: second degré, algorithme},
pdftitle={Devoir de mathématiques: second degré, algorithme},
pdfkeywords={second degré, équation du second degré,
inéquation du second degré, algorithme, STI2D,
STI, première, Mathématiques}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item $x^2+24x+20=-5x^2+x-1\iff 6x^2+23x+21=0$:
$\Delta=25>0$, l'\'equation admet donc deux solutions distinctes:
$x_1=\dfrac{-23-\sqrt{25}}{2\tm6}=\dfrac{-28}{12}=-\dfrac{7}{3}$
et
$x_2=\dfrac{-23+\sqrt{25}}{2\tm6}=\dfrac{-18}{12}=-\dfrac{3}{2}$.
\quad
\fbox{$\mathcal{S}=\la -\dfrac73\ ;\ -\dfrac32\ra$}.
\item
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
$g(x)=\dfrac{x^2-x-20}{2x+3}$.
Le trin\^ome du second degr\'e du num\'erateur a pour discriminant:
$\Delta=81>0$ et admet donc deux racines:
$x_1=-4$ et $x_2=5$.
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-4$ && $-\dfrac32$ && $5$ && $+\infty$ \\\hline
$x^2-x-20$ && $+$ &\zb&$-$ &$|$& $-$&\zb&$+$ & \\\hline
$2x+3$ && $-$ &$|$&$-$&\zb&$+$&$|$& $+$ & \\\hline
$g(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\psline(0,.5)(0,-.2)\,\psline(0,.5)(0,-.2)
&$-$&\zb& $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\]
\enen
\renewcommand{\arraystretch}{1.}
\enex
\bgex
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection, alors
$y=f(x)=g(x)$,
et donc, $x-1-\dfrac{2}{x}=0\iff \dfrac{x^2-x-2}{x}=0
\iff x\not=0 \text{ et } x^2-x-2=0$:
$\Delta=9$, l'\'equation admet donc deux solutions distinctes:
$x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=-1$
et
$x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2$.
\quad
Il y a donc deux points d'intersection:
$M_1(-1;-2)$ et $M_2(2;1)$.
\enex
\bgex
Soit $h(x)=f(x)-g(x)=2x-7-\dfrac{15}{x+3}=\dfrac{(2x-7)(x+3)-15}{x+3}
=\dfrac{2x^2-x-36}{x+3}$. \\
Le trin\^ome du second degr\'e du num\'erateur a pour discriminant:
$\Delta=289=17^2>0$ et admet donc deux racines:
$x_1=-4$ et $x_2=\dfrac92$.
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-4$ && $-3$ && $\frac92$ && $+\infty$ \\\hline
$2x^2-x-6$ && $+$ &\zb&$-$ &\zb& $-$&\zb&$+$ & \\\hline
$x+3$ && $-$ &$|$&$-$&\zb&$+$&$|$& $+$ & \\\hline
$h(x)$ && $-$ &\zb&$+$ &\psline(0,.5)(0,-.2)\,\psline(0,.5)(0,-.2)
& $-$ & \zb&$+$&\\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi,
$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$
sur $]-\infty;-4[\cup]-3;\frac92[$
et est au-dessus sur
$]-4;-3[\cup]\frac92;+\infty[$.
\enex
\bgex
La variable $N$ vaut donc initialement 4. \\
La boucle va donc faire varier $I$ de 1 \`a 4. \\
\bgit
\item Pour $I=1$, on affecte la valeur
$5\tm0+1=1$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\item Pour $I=2$, on affecte la valeur
$5\tm1+2=7$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\item Pour $I=3$, on affecte la valeur
$5\tm7+3=38$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\item Pour $I=4$, on affecte la valeur
$5\tm38+4=194$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite.
\enit
L'algorithme affiche donc, successivement:
"Choisir un nombre",
"1", "7", "38", "194",
"R\'esultat final", "194"
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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