Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: nombres complexes},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: nombres complexes},
pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation,
étude de fonction, STI2D,
STI, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
a) $z_1=(-2+3i)^2=(-2)^2+2(-2)(3i)+(3i)^2=-5-12i$
b) $z_2=(-2+3i)(4-5i)=7+22i$
c) $z_3=\dfrac{2+i}{3-2i} =\dfrac{(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} =\dfrac{4+7i}{13} =\dfrac{4}{13}+i\dfrac{7}{13} $
d) $z_4=\dfrac{-2+3i}{-1+i} =\dfrac{(-2+3i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} =\dfrac{5-i}{2} =\dfrac52-i\dfrac12 $
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Graphiquement, on trouve directement que $\left|z_1\right|=3$
et $\arg\lp z_1\rp=\dfrac\pi2$ d'où
$z_1=3\Bigl(\cos\dfrac\pi2+i\sin\dfrac\pi2\Bigr)$
\item $\left|z_2\right|=\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=2$
et donc $\arg\lp z_2\rp=\theta_2$ tel que
$\cos\theta_2=\dfrac12$ et $\sin\theta_2=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
d'où $\theta_2=-\dfrac\pi3$, et alors
$z_2=2\Bigl(\cos-\dfrac\pi3+i\sin-\dfrac\pi3\Bigr)$.
\item $\left|z_3\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$
et donc $\arg\lp z_3\rp=\theta_3$ tel que
$\cos\theta_3=-\dfrac{2}{2\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$
et de m\^eme $\sin\theta_3=\dfrac{\sqrt2}{2}$
d'où $\theta_3=\dfrac{3\pi}{4}$, et alors
$z_2=2\sqrt2\Bigl(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\Bigr)$.
\enen
\enex
\bgex
a) $(3+5i)z+4=1+i
\iff z=\dfrac{-3+i}{3+5i}=\dfrac{-4+18i}{34}=-\dfrac{2}{17}+i\dfrac{9}{17}$
b) $z^2+2z+5=0$ est une équation du second degré de discriminant
$\Delta=2^2-4\tm1\tm5=-16<0$ et qui admet donc deux solutions complexes:
$z_1=\dfrac{-2-i\sqrt{16}}{2}=-1-2i$
et
$z_2=\dfrac{-2+i\sqrt{16}}{2}=-1+2i$
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-3)(3,3)
\psline(1,-.1)(1,.1)\rput(1,-.3){$1$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput[r](-.1,1){$1$}
\psline{->}(-5,0)(3,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(2,-1){$\tm$}\rput(2.3,-1){$A$}
\rput(1,-3){$\tm$}\rput(1.3,-3){$B$}
\rput(-4,2){$\tm$}\rput[r](-4.2,2){$C$}
\pspolygon[linestyle=dashed](2,-1)(1,-3)(-4,2)
\end{pspicture}\]
\item $AB=\sqrt{(1-2)^2+(-3-(-1))^2}=\sqrt5$ \\
$BC=\sqrt{(-4-1)^2+(2-(-3))^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$\\
$AC=\sqrt{(-4-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{45}=3\sqrt3$
\item Comme $BC^2=50=AB^2+AC^2$ on en déduit, d'après le théorème de Pyhtagore, que $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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