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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: Dérivées et étude de fonctions},
pdftitle={Devoir de mathématiques: dérivées},
pdfkeywords={dérivée, nombre dérivé, tangente, sens de variation,
étude de fonction, STI2D,
STI, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par:
$f(x)=x^3-3x-3$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa repr\'esentation graphique.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item D\'eterminer une \'equation de la tangente $T$ \`a $\mathcal{C}_f$ au
point d'abscisse $0$.
%\item Tracer $T$ et $\mathcal{C}_f$ dans un m\^eme rep\`ere.
%\item D\'emontrer que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution
% $\alpha$ dans l'intervalle $[2;3]$.
%
% Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\enen
\enex
\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3}$.
\bgen
\item D\'eterminer la fonction d\'eriv\'ee $f'$ de $f$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\enen
\enex
\bgex
%\enex
\vspd
{\bf Partie A.}
%\bgex
On appelle $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression
$g(x)=x^3-3x-4$.
\bgen
\item Etudier les variations de $g$, et dresser son tableau de
variation.
\item Montrer que l'\'equation $g(x)=0$ a une unique solution $a$ sur
$[2;3]$.
Donner un encadrement de $a$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item D\'eterminer le signe de $g(x)$ sur $\R$.
\enen
\vspd
{\bf Partie B.}
On appelle $h$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la0\ra$ par
$h(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$.
\bgen
\item Calculer la d\'eriv\'ee $h'$ de $h$ et montrer que
$h'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$ pour tout $x$ de $\R\setminus\la0\ra$.
\item En d\'eduire les variations de $h$.
%\item Montrer que $g(a)=\dfrac{6a-2}{a^2}$;
% en d\'eduire un encadrement de $g(a)$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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