Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques en 1STI2D: probabilités, loi binomiale},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques: probabilités - Loi binomiale},
pdfkeywords={probabilités, loi binomiale, devoir corrigé}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Avec la calculatrice:
\bgen[a)]
\item $P\lp X=7\rp\simeq0,2668 $.
\item $P\lp X\leqslant7\rp\simeq 0,6172$
\item $P\lp X>7\rp=1-P\lp X\leqslant7\rp\simeq0,3828$.
\enen
\enex
\bgex
Un avion a une capacité de 100 personnes.
On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet
ne se présente pas à l'embarquement est de 5\%.
\bgen
\item 100 billets, un par place, ont été vendus.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes
qui se présentent à l'embarquement.
\bgen[a)]
\item On répète $n=100$ fois l'épreuve de Bernoulli:
un client au hasard se présente ou non à l'embarquement,
dont le succès est S:"le client se présente" de probabilité 95\%=0,95.
La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès,
c'est-à-dire au nombre de personnes dans l'avion,
suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,95$.
\item La probabilité que l'avion soit plein est
$P\lp X=100\rp=0,95^{100}\simeq 0,0059\simeq0,59\%$.
L'avion a donc très peu de chance d'\^etre plein !
\item La probabilité pour qu'il reste des places
libres dans cet avion est
$P\lp X<100\rp=1-P\lp X=100\rp\simeq 99,41\%$.
C'est l'événement contraire de la question précédente:
il y a de très fortes chances pour que l'avion ne soit pas plein !
\item La probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes
dans l'avion est, avec la calculatrice
$P\lp X<96\rp=P\lp X\leqslant 95\rp\simeq 0,564\simeq56\%$.
Il ya donc plus d'une chance sur deux pour qu'il y a it plus de 5 places
libres dans cet avion.
\enen
\item Comme on estime que la probabilité que cet avion ne soit pas plein
est importante, on décide de vendre 105 billets pour ce vol.
On reprend le raisonnement précédent, en notant $Y$ la variable
aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à
l'embarquement, et qui suit maintenant la loi binomiale de
paramètres $n=105$ et $p=0,95$.
La probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place
est la probabilité que moins de 100 personnes ne se présentent
à l'embarquement, soit
$P\lp Y\leqslant100\rp\simeq0,608$.
En vendant 5 billets supplémenaires
(c'est ce qu'on appelle du \textit{surbooking}), il a presque deux chances
sur trois pour que personne ne soit lésé en se retrouvant sans place dans
l'avion.
\enen
\enex
\bgex
Le programme affiche successivement: \\
0 2 \\
1 3 \\
2 5 \\
3 8 \\
4 13 \\
1.625
\medskip
\textit{Il s'agit des premiers termes de la suite de Fibonacci.
Le dernier nombre affiché est le rapport des deux derniers termes
consécutifs.
On peut montrer que ce rapport tend vers le nombre d'or,
lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini.}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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